- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Cálculo II

Transcripción

1 - Fernando Sánchez Cálculo Cálculo II de primitivas Si f es una función elemental, se trata de encontrar una función F que cumpla F (x) = f (x). Para una clase amplia de funciones ya se ha demostrado la existencia de esta función F. Se dice que F es una primitiva de f y en ese caso también es una primitiva la función F(x) + C donde C R. Para expresar que F es una primitiva de f se escribe F(x) = f (x) + C. - Fernando Sánchez - - Además, si G es otra primitiva, entonces en cada intervalo I R se tiene G(x) = F(x) + C para x I. La demostración de este resultado es fácil: si F y G son primitivas de f en un intervalo I, entonces f (x) = G (x) = F (x) para x I. Por tanto F (x) G (x) = 0 en todos los puntos de I. Como ya se ha visto en Cálculo I, esto obliga a que F G sea una función constante en I. Hay otras primitivas de f que no sean de la forma F(x) + C? En un intervalo sólo puede ser de la forma F(x) + C. Pero en otro caso, puede haber primitivas algo más diferentes... Ejemplo. Las funciones F : x [, ] [3, 4] { x si x [, ] x + 6 si x [3, 4] G : x [, ] [3, 4] G(x) = x son primitivas de f (x) =. En cada intervalo difieren en una constante, pero no es verdad que F G sea una función constante. El conjunto de primitivas de f se suele denotar por f (x), { } primitivas de f = f (x) y se le llama integral indefinida de f. El nombre proviene del primer teorema fundamental del cálculo integral, que dice que si f R[a,b] entonces f tiene una primitiva, que es la función F : x [a,b] x a f. Se suele escribir f (x) = F(x) + C. Cálculo de primitivas

2 - Fernando Sánchez - - Se entiende que calcular una primitiva de f es escribir esta función F como función elemental (o ( ) combinación de funciones elementales). Por ejemplo, f (x) = cos + x + e x tiene primitiva en [0, ], y es la función F(x) = x 0 - Fernando Sánchez - - ( ) cos + t + e t dt. Ya se ha probado que ( x ( ) ( ) F (x) = cos + t + e dt) t = cos + x + e x = f (x). 0 Sin embargo, no es esta la respuesta que se está buscando. Cálculo de primitivas. Encontrar una primitiva de una función f no siempre es fácil. En algunos casos ni siquiera existe primitiva que se pueda expresar como una función elemental. Tal es el caso de funciones tan simples como f (x) = sen x que no tiene una primitiva elemental. Hay muchas funciones que no tienen una primitiva elemental, es decir, que su primitiva no se puede expresar como una función elemental. Por ejemplo, las funciones x 4 +, cos x, no tienen primitivas elementales. Así, para el cálculo de π 0 log x, x tg x, sen x,... x sen x no se puede utilizar la regla de Barrow. Eso no quiere decir que no se pueda calcular esa integral. Para el cálculo de primitivas, es decir, funciones cuya derivada sea una función dada, es esencial conocer las derivadas de las funciones elementales, Potencias: (x r ) = rx r Exponenciales: (a x ) = a x log a, Logarítmicas: (log a x) = x log a, Trigonométricas: (sen x) = cos x, (e x ) = e x (log x) = x (cos x) = sen x Funciones trigonométricas inversas: (arcsen x) = / x y (arctg x) = /( + x ). Además, las reglas más elementales permiten simplificar muchos cálculos: ( λf (x) + µд(x)) = λ f (x) + µ д(x), la integral se puede separar en sumandos y los números pueden colocarse fuera del signo integral; f (x)д (x) = f (x)д(x) f (x)д(x), es la regla de la derivada del producto, que en términos de cálculo de primitivas se llama regla de integración por partes; F (д(x)) д (x) = F(д(x)) + C, la regla de la cadena expresada en términos de primitivas. Cálculo de primitivas

3 - Fernando Sánchez - - Saber hacer derivadas lleva a conocer primitivas, por ejemplo, cos x = sen x + C. Como (f n ) = n f n f, es fácil comprobar que sen x cos x = sen x + C 7 sen x cos x = 4 3 sen3/ x + C log 3 x = log4 x + C x x = x 4 3 ( x ) 3/ + C La regla de la cadena (f (д (x))) = f (д (x)) д (x) también tiene su regla inversa para el cálculo de primitivas. Por ejemplo, cos(x ) x = sen x + C cos x tg x = = log(sen x) + C sen x 3x + x 4 = 3 arctg x + C Conviene recordar algunas derivadas de funciones compuestas: f (x) f (x) = log(f (x)) + C, f (x) + f = arctg f (x) + C (x) que se utilizarán más adelante. Por ejemplo + e x + x + e x = log( + x + ex ) + C, Se puede resumir con las siguientes expresiones f n (x)f (x) = f n+ (x) n + y para el caso n = f (x)f (x) = - Fernando Sánchez - - f (x) f (x) x = arctg(x + ) + C. + x + + C, (n ), = log(f (x)) + C. Esta forma de proceder se conoce como integración inmediata: se trata de funciones cuya primitiva o antiderivada se conoce directamente como proceso inverso de derivación. No es habitual que con este proceso se consiga encontrar una primitiva, pero es siempre lo primero que debe hacerse. Sin embargo, funciones aparentemente simples, como x e x, no tienen una primitiva fácil de calcular haciendo un proceso inverso de derivación. Por este motivo se suelen estudiar métodos que ayuden al cálculo de primitivas para los casos que ya no son inmediatos. En este curso se verán algunos métodos, como la integración por partes, integración mediante fracciones simples y, por último, el cambio de variable. Notación. Para una función f (x) la derivada es d f (x) = f (x). Cálculo de primitivas 3

4 - Fernando Sánchez - - Es frecuente escribir entonces d f = f (x) o también d f (x) = f (x). Por ejemplo, con esta notación, si u = sen x entonces du = cos x. Dadas dos funciones u y v se tiene d(uv) = u dv + v du, que representa la regla de derivación de un producto de funciones. Integración por partes Es una técnica de integración que consiste en aplicar la regla de derivación de un producto: f (x)д (x) = f (x)д(x) f (x)д(x). La integral de la izquierda se conoce si se conoce la de la derecha. Se suele escribir u dv = u v v du. En la práctica, para calcular una integral f (x) mediante este método se elige qué parte será la función u y el resto será dv. Si la elección es correcta se podrá aplicar la fórmula anterior y hacer la integral. Como regla general se deberá elegir como u aquello que no se complique derivando, y como dv aquello que permita calcular v y no se complique integrando. Ejemplos: [ ) xe x = u = x dv = e x ] du = v = e x = xe x e x = xe x e x + C. ) [ ] u = log x du = /x log x = dv = v = x - Fernando Sánchez - - = x log x = x log x x + C. 3) A veces la integración requiere aplicarlo dos veces, [ ] e x u = sen x du = cos x sen x = dv = e x v = e x = e x sen x e x cos x [ ] u = cos x du = sen x = dv = e x v = e x = e x sen x e x cos x Así, e x x sen x cos x sen x = e 4) Aplicando dos veces la integración por partes, x e x = e x (x x + ) + C. 5) x log x = (x log x x ) + C. + C. Integración de funciones racionales: descomposición en fracciones simples Se llama función racional a cualquiera del tipo P(x) Q(x) e x sen x. Cálculo de primitivas 4

5 donde P y Q son polinomios. Por ejemplo, son funciones racionales - Fernando Sánchez - - x, x 7 x 4 + 7x +, x x 3 + x +. En el cálculo de primitivas tienen especial interés porque aparecen con frecuencia. Hay funciones de otros tipos, como trigonométricas, exponenciales,... a las que se les hace un cambio de variable y se transforman en funciones racionales. No suele ser fácil calcular P(x) Q(x). Por ejemplo, x 3 x + = ( x log(x + ) ) + C. El método que se explica a continuación consiste en descomponer P/Q como suma de fracciones más sencillas, que se puedan integrar. La integral total será la suma de todas esas integrales. Por ejemplo x = x x +, y así que son integrales inmediatas. x = - Fernando Sánchez - - x x +, Cómo se puede escribir P/Q como una suma de fracciones más sencillas? Paso. Si grado(p) grado(q) entonces se hace la divisón y se obtiene P(x) = C(x)Q(x)+R(x) (C y R son el cociente y el resto de la divisón) y por tanto P(x) Q(x) = C(x) + R(x) Q(x). Además grado(r) < grado(q). En total, P(x) Q(x) = C(x) + R(x) Q(x). Para el cálculo de primitivas, el término C(x) es un polinomio, cuya primitiva es inmediata. Así, la única dificultad se encuentra en expresiones en las que el grado del numerador es menor que el denominador. Este paso no es necesario si grado(p) < grado(q). Ejemplo. Para la expresión se hace la división y se tiene x 3 + 5x 7x x + 6x + x 3 + 5x 7x = (x )(x + 6x + ) + x. Cálculo de primitivas 5

6 Así x 3 + 5x 7x x x = x + + 6x + x + 6x +. (el algoritmo de la división es idéntico al que se hace con números) y entonces - Fernando Sánchez - - x 3 + 5x 7x x + 6x + = x / x + x x + 6x +. Paso. Una vez completado el paso (siempre que sea necesario) el problema se transforma en el cálculo de la primitiva de una función racional P/Q con grado(p) < grado(q). Si Q tiene grado n, se consideran sus n raíces r,..., r n y se escribe Q(x) = a (x r )(x r ) (x r n ). Se agrupan las raíces repetidas y cada raíz compleja con su conjugada. Así, Q(x) tendrá factores (x r) k por cada raíz real repetida k veces y factores ((x a) + b ) m por cada raíz a + ib y su conjugada a ib repetidas m veces. Por ejemplo, el polinomio x 4 5x 3 + 7x 3x tiene como raíces 0,, + 3i y 3i (siempre que aparece una raíz compleja también está su conjugada). Así, ( ) ( ) x 4 5x 3 + 7x 3x = x (x ) x ( + 3i) x ( 3i) ( ) ( ) = x (x ) (x ) + 9 = x (x ) x 4x Fernando Sánchez - - Puede parecer una tarea sencilla, pero el cálculo de las n raíces de un polinomio de grado n no es fácil, ni siquiera para valores pequeños de n. Por ejemplo, para n =, un polinomio ax + bx + c tiene como raíces r = b + b 4ac a, r = b b 4ac a. Para n = 3 ya es bastante más complicado: las tres raíces de un polinomio ax 3 + bx + cx + d de grado 3 (a 0) son (una de ellas, la tercera, es obligatoriamente real; las otras otras dos pueden ser reales o complejas y conjugadas) r = r = r 3 = ( i ) ( ) ( 9a 3 + d ac3 3 b c 3 (9abc b3 )d 7a d 9abc+b 3 3 ) 6a 54a 3 ( i ) ( ) ( 9a 3 + d ac3 3 b c 3 (9abc b3 )d 7a d 9abc+b 3 3 ) 6a 54a 3 ( b 3a + i 3 +) (3ac b ) 8 ( 9a d ac3 3 b c 3 (9abc b3 )d 6a 7a d 9abc+b 3 54a 3 ( b 3a + i 3 +) (3ac b ) 8 ( 9a d ac3 3 b c 3 (9abc b3 )d 6a 7a d 9abc+b 3 54a 3 ( ) ( 9a d ac3 3 b c 3 (9abc b3 )d 7a d 9abc+b 3 3 ) b 6a 54a 3 3a 3ac b 9 ( 9a d ac3 3 b c 3 (9abc b3 )d 6a 7a d 9abc+b 3 54a 3 )( 3 ) a )( 3 ) a )( 3 ) a El teorema Abel-Ruffini (que es parte de la teoría de Galois) demuestra que no pueden resolverse por radicales las ecuaciones polinómicas generales de grado igual o superior a cinco. A veces Cálculo de primitivas 6

7 - Fernando Sánchez - - la regla de Ruffini, o cualquier otro método, permite encontrar raíces de polinomio de grados elevados, pero en general, no hay fórmulas que expresen cuáles son esas raíces. Teorema (de descomposición en fracciones simples) Si grado(p) < grado(q) entonces P(x)/Q(x) puede escribirse como una suma de factores simples. En esta suma aparecen términos de la forma A (x r) A k (x r) k si r es una raíz que se repite k veces, y términos de la forma B x + C (x a) + b B m x + C m ((x a) + b ) m si a + ib es una raíz compleja que se repite (ella y su conjugada) m veces. Se obtiene una igualdad que tiene este aspecto: [ ] [ ] P(x) Q(x) = A (x r) A k B x + C (x r) k + (x a) + b B m x + C m ((x a) + b ) m +... donde los sumandos de la derecha se llaman factores simples y aparecen según sean las raíces (y su multiplicidad) de Q(x). Los coeficientes que aparecen A i, B i,c i han de calcularse. Para ello se pueden identificar los polinomios que resultan a ambos lados de la igualdad y se identifican los términos del mismo grado. También se pueden dar valores a la variable x para ir determinando dichos coeficientes. A veces se pueden utilizar de forma conjunta ambos métodos. Ejemplo: + x (x )(x + ) = A x + Bx + C x +. Para calcular A, B, C se escribe - Fernando Sánchez x = A(x + ) + (Bx + C)(x ) Una forma de calcular es igualando términos semejantes (del mismo grado) de un lado y otro de la igualdad: y se obtiene A = B =,C = 0. = A C = B + C 0 = A + B Otra forma de calcular esos coeficientes consiste en dar valores a x en la expresión + x = A(x + ) + (Bx + C)(x ). Por ejemplo, para x = se tiene = A. Para otros valores, como x = 0 se tiene = + C( ) y así C = 0, etc. Estos dos métodos se puede combinar y a veces se agilizan los cálculos. Ejemplo: 4 x(x + 5) (x 4x + 3) = A x + B x C (x + 5) + Dx + E x 4x Fx + G (x 4x + 3). Cálculo de primitivas 7

8 - Fernando Sánchez - - donde los coeficientes se calculan según se ha explicado antes. Se puede escribir x 4x + 3 o (x ) + 3. Son el mismo polinomio, asociado a las raíces complejas + 3i y 3i. Ejemplo. Al hacer la división y calcular las raíces del denominador se tiene x 3 7 x 5x + 6 Esta última expresión puede escribirse como donde = x x 37 x 5x + 6 = x x 37 (x )(x 3). 9x 37 (x )(x 3) = A x + B x 3 9x 37 = A(x 3) + B(x ). Bien dando valores a x, bien igualando los coeficientes de igual grado, se obtiene el mismo resultado A =, B = 0. Así x 3 7 x 5x + 6 = 9x 37 (x + 5) + x 5x + 6 = x + 5x + x + 0 x 3. = x = x + 5x log(x ) + 0 log(x 3) + C + 5x + log (x 3)0 x + C - Fernando Sánchez - - Consecuencia: el cálculo de primitivas de funciones racionales se reduce entonces a conocer primitivas de expresiones del tipo para valores k,m =,, 3,... A (x r) k, Bx + C ((x a) + b ) m Las primeras, correspondientes a raíces reales son sencillas. Para k = se tiene A = A log x r + C x r y para k > A (x r) k+ = A (x r) k k + Para las expresiones correspondientes a raíces complejas simples (sin repeticiones), es decir, para m =, se tiene Bx + C Bx Ba + Ba + C (x a) + b = Bx Ba (x a) + b = (x a) + b + Ba + C (x a) + b = B (x a) Ba + C (x a) + + b b = B log ( (x a) + b ) + Ba + C b + C. ( x a b /b ) + ( x a ) arctg + K b Cálculo de primitivas 8

9 - Fernando Sánchez - - Sin embargo, para expresiones correspondientes a raíces complejas repetidas el cálculo de primitivas no es sencillo: si m > no es fácil calcular Bx + C ( (x a) + b ) m. Para este tipo de integrales hay que utilizar algún método, como el de reducción de exponente o también el método de Hermite (o Hermite-Ostrogradski). Este último es el que se va a utilizar aquí. Con este método basta saber realizar las primitivas de factores correspondientes a raíces simples. Método de Hermite. Para una expresión racional P(x)/Q(x) donde grado(p) < grado(q) se puede calcular su primitiva mediante la fórmula P(x) Q(x) = P (x) Q (x) + P (x) Q (x) donde Q contiene sólo los factores (x r) o (x a) + b de las raíces de Q elevados a y Q contiene el resto de factores, es decir, Q = Q Q. Los polinomios indeterminados P y P tiene exactamente un grado menos que su denominador y sus coeficientes se calculan derivando la fórmula. Ejemplo: Derivando, y así 3 Ax + B Cx + D (x = + ) x + + x +. - Fernando Sánchez (x + ) = A(x + ) (Ax + B)x (x + ) + Cx + D x + 3 = A(x + ) (Ax + B)x + (Cx + D)(x + ) y se calculan A, B,C, D por cualquiera de los dós métodos ya vistos. Se puede comprobar que entonces A = D = 3/, B = C = 0 y así Ejemplo: 3 (x + ) = 3 x x x x 3 (x + ) = Ax3 + Bx + Cx + D x (x + ) = Ax3 + Bx + Cx + D x (x + ) = x + = x x Ex + Fx + G x(x + ) H x + 5x + x (x + ) + 5 log x 5 log ( x + ) + C arctg x + C. Mx + N x + ya que al derivar se obtienen los valores A = C = N = 0, B = 5/, D =, H = M = 5 Cálculo de primitivas 9

10 - Fernando Sánchez - - Otros ejemplos resueltos de cálculo de primitivas utilizando el método de descomposición en fracciones simples (en el resultado final pueden aparecer los sumandos desordenados). Se han clasificado según sean las raíces del denominador.. Raíces reales y todas distintas x (x 5)(x + 8) = 5 3 (x 5) 64 3 (x + 8) + x 5 = x + (x 5)(x + 8) 3. Raíces reales y algunas repetidas log (x 5) 64 3 x (x 6) x = 8 (x 6) + 3 (x 6) 8 x log (x + 8) x (x 6) x = 3 (x 6) + 8 log (x 6) 8 log (x) 3. Raíces complejas sin repeticiones ( 3 x ) = (x ) + 3 (x + x + ) 3 x ( ) (x ) + 3 (x + x + ) = 5 4. Raíces complejas algunas con repeticiones 4 (x + 3) ( x + 5) - Fernando Sánchez - - x 7 7 (x 4 x + 7) x 7 (x + x + ) ( ) 3 arctg 3 (x ) ( ) 3 arctg 3 ( x + ) log ( x 4 x + 7 ) 4 log ( x + x + ) 4 (x + 3) ( x + 5) = 8 x (x + 3) + 6 x + 5 = Raíces reales y complejas sin repeticiones ( ) 3 arctg 3 x + 8 ( ) 0 arctg 0 x x 7 (x + )(x + x + 6) = x (x + x + 6) 8 (x + ) x 3 (x + 3) Cálculo de primitivas 0

11 x 7 (x + )(x + x + 6) = Raíces reales y complejas repetidas - Fernando Sánchez - - ( ) 3 arctg 3 ( x + ) log ( x + x + 6 ) log (x + ) x (x ) (x + )(x + )(x + 3) = x 6 (x + 3) x 8 (x + ) + x 3 6 (x + 3) (x ) 3(x ) + 64(x + ) x (x ) (x + )(x + )(x + 3) = 5 ( ) 3 arctg 3 x log (x ) log ( x + 3 ) + 8 x + 3 (x + 3) + 3 (x ) log (x + ) 6 log ( x + ) arctg (x) Estos ejemplos se han realizado con SageMath. Se pueden utilizar otros programas de cálculo como WxMaxima. Al escribir en un celda de WxMaxima f(x):=x^/((x-)*(x-)); partfrac(f(x), x); se obtiene como resultado (hay que pulsar Mayúsc+Enter) - Fernando Sánchez - - x f (x) := (x )(x ) x + 4 x + Tambien se pueden utilizar algunas páginas web, como y teclear fractions of o también (x^3-7)/(x^-5x+6) integrate (x^3-7)/(x^-5x+6) by partial fractions Integración mediante cambio de variable Un ejemplo para empezar: calcular una primitiva de h(x) = x x 5. Los métodos anteriores ya vistos no pueden aplicarse: no es una integral inmediata, ni se puede hacer por partes, ni es una función racional,... En estos caso hay una alternativa que funciona para esta función h y para otras muchas. Se trata de hacer transformaciones hasta conseguir escribir h como una expresión que tenga una primitiva conocida. Cálculo de primitivas

12 - Fernando Sánchez - - Si se eligen f (x) = x 4 + 0x y д(x) = x 5, se puede comprobar que h(x) = f ( д(x) ) д (x). Esto es un ejercicio sencillo, ya que Por tanto f ( д(x) ) д (x) = (x 5) + 0(x 5) x 5 h(x) = = x x 5 = h(x). f ( д(x) ) д (x) = F ( д(x) ) + C, donde F es una primitiva de f (que es fácil de calcular). Este tipo de expresiones f ( д(x) ) д (x) tienen siempre como primitiva F ( д(x) ), ya que aplicando la regla de la cadena ( F(д(x)) ) = F (д(x)) д (x) = f (д(x)) д (x). Si se escribe u = д(x), entonces du = д (x), y la igualdad anterior queda como h(x) = f ( д(x) ) д (x) = f (u)du = F(u) + C = F ( д(x) ) + C. Como F(x) = x 5 /5 + 0x 3 /3 entonces h(x) = x x 5 = f (u)du = 5 u u3 = 5 (x 5)5/ (x 5)3/ + C. Descripción teórica del método: esta forma de proceder se conoce como método de integración mediante cambio de variable. Es una consecuencia de la regla de la cadena. De forma más general, puede explicarse así: - Fernando Sánchez - - Sea h una función definida en algún intervalo [a, b] de la que se desconoce cómo expresar su primitiva. Si h es R-integrable (esto ocurre por ejemplo si h es continua), su primitiva es la función x x h(t)dt, pero en muchos casos no se sabe cómo escribir esta primitiva. a El método mediante cambio de variable consiste en encontrar funciones f y д tales que h(t) = f (д(t)) д (t) y que además f tenga una primitiva conocida F. En ese caso se tendrá x a h(t) dt = x a f (д(t)) д (t)dt = д(x) д(a) f (u)du = F(д(x)) F(д(a)). Esto dice que la primitiva buscada de h es la función F д. La comprobación de que todo esto está correcto es la regla de la cadena: (F д) = (F д) д = (f д) д = h. Se suele resumir el cambio escribiendo la expresión de la función д como u = д(t), y de ahí el nombre de cambio de variable, ya que aparece una nueva variable u que es función de la que ya existe. Como u = д(t) entonces du = д (t)dt. Una vez que se decide qué función es д, la función f ya queda determinada para que se cumpla h = (f д) д. Por supuesto, el nombre de la nueva variable es arbitrario: u, t,w o como se quiera llamar. Este método se puede establecer formalmente en un resultado conocido como teorema de cambio de variable o fórmula de sustitución. Cálculo de primitivas

13 Teorema (cambio de variable). Si f y д son continuas, entonces - Fernando Sánchez - - д(x) д(a) f = x a (f д) д, es decir, д(x) д(a) Demostración. Si F es una primitiva de f, entonces д(x) д(a) f (u)du = f (u)du = F(д(x)) F(д(a)). x a f (д(t)) д (t)dt. Por otra parte (F д) = (F д) д = (f д) д y así F д es una primitiva de (f д) д, con lo que se tiene x a y se termina la demostración. f (д(t)) д (t)dt = (F д)(x) (F д)(a) = F(д(x)) F(д(a)) Ejemplo. Calcular una primitiva de h(x) = sen 5 x cos x = (sen x) 5 cos x (es una integral inmediata, aunque se va a hacer con un cambio de variable). Se elige д(x) = sen x y f (x) = x 5. Entonces se tiene h(x) = f (д(x)) д (x). Llamando t = д(x) se tiene dt = д (x) y sen 5 x cos x = f (д(x)) д (x) = f (t)dt = t C. Por último, como t = д(x) = sen x, se tiene - Fernando Sánchez - - sen 5 x cos x = sen6 x 6 + C. Descripción práctica del método: lo habitual en este tipo de cálculos es sólo indicar cuál es la elección de la función д expresando t = д(x). La función f queda determinada a partir de aquí. Para el ejemplo anterior se suele decir calcular una primitiva de sen 5 x cos x mediante el cambio t = sen x. Se trata pues de transformar una función con primitiva desconocida en otra con primitiva conocida haciendo un cambio adecuado t = д(x), donde t es una nueva variable. Si el cambio es acertado, la función original se transforma en una función de una nueva variable t cuya primitiva se sabe calcular. A veces el cambio t = д(x) se expresa mediante su función inversa x = д (t). Por último, la nueva variable se cambia por la original en el resultado final. No es fácil la elección de la función д (y por tanto de la función f ) que hagan posible el cálculo de la primitiva. Sin embargo es posible estudiar varias técnicas que ayudan a la elección del cambio apropiado. Ejemplo (del comienzo de esta sección). Haciendo t = x 5 se tiene x x 5 = (t + 5) t t dt Cálculo de primitivas 3

14 ya que t = x 5 y así = tdt. Luego x ( t x 5 = (t 5 + 5) t t dt = - Fernando Sánchez - - = 5 (x 5)3/ (3x + 0) + C 5 + 5t 3 3 deshaciendo el cambio, es decir, cambiando t por su valor t = (x 5) /. ) + C Ejemplo. Haciendo t = x (equivalentemente, t = x y tdt = ) se tiene t dt dt x + = x t = + t t + = log(t + ) + C = log( x +) + C. Ejemplo. Algo similar, como t = log x no funciona para hacer el cálculo de e t log x = dt =... t ya que no se obtiene una función con primitiva conocida. Para esta integral no es fácil saber si hay algún cambio que la transforme en una función con primitiva conocida. Conviene recordar algunas fórmulas trigonométricas esenciales, como sen a + cos a = sen(a ± b) = sen a cosb ± cos a senb cos(a ± b) = cos a cosb sen a senb En particular, cos a = cos a sen a = cos a, de donde se obtiene cos a = + cos a - Fernando Sánchez - -, sen a = cos a = + cos a = cos a. Estas fórmulas permiten calcular primitivas de las funciones sen x y cos x. Ejemplo. Mediante el cambio x = sen t (así = cos tdt) se tiene x = x = = Ejemplo. Para el cálculo de sen t cos t dt = sen t ( ) sen t t + C (arcsen x x ) x + C sen x sen t dt = cos t no se conoce ningún cambio que funcione (es una función elemental cuya primitiva no es elemental) dt Cálculo de primitivas 4

15 Ejemplo. Haciendo e x = t (así e x = t = dt) se tiene e x 3e x + e x = - Fernando Sánchez - - t 3t + t dt t = = 4 log(t + ) 3(t + ) + C 3t + t dt = 4 log(e x + ) 3(e x + ) + C Cómo elegir el cambio adecuado? Estos ejemplos muestran que la dificultad está en saber cuál es el cambio que funciona, aquel que permite calcular la primitiva de una función. Una vez que se conoce que cierto cambio sí funciona, la mecánica del cálculo es sencilla. Por este motivo se suelen estudiar ciertos tipos de funciones y aprender cuáles son los cambios de variables que permiten calcular sus primitivas. En los siguientes apartados aparecen cambios que se deben conocer para calcular la primitiva. Se suelen clasificar y estudiar según sean las funciones que aparecen en la integral. Por definición, una función racional en α es una función cociente de polinomios R(α) = P(α) Q(α). Una función racional en las variables α, β,...es un cociente de funciones polinómicas R(α, β,...) = Por ejemplo, una función racional en sen x y cos x es - Fernando Sánchez - - P(α, β,...) Q(α, β,...). R(sen x, cos x) = sen x + cos x + sen x cos x + cos x + 4. Se dice que una función racional R(α, β) es par en α si R( α, β) = R(α, β). Se dice que es impar en α si R( α, β) = R(α, β). De forma análoga se define par o impar en β. Por ejemplo, R(sen x, cos x) = sen x + cos x es par en sen x, pero no es ni par ni impar en cos x. Es par en sen x puesto que si se cambia sen x por sen x, el valor de R no cambia. R(sen x, cos x) = sen x cos x es impar en sen x y par en cos x. Es impar en sen x ya que si se cambia sen x por sen x, el valor de R cambia de signo. R(sen x, cos x) = sen x + cos x no es ni par ni impar en ambos. No es ni par ni impar en sen x pues al cambiar sen x por sen x el valor de R ni se mantiene ni cambia de signo. Funciones racionales de potencias racionales de x. Son expresiones racionales del tipo R [ ] x p /q, x p /q,... Cálculo de primitivas 5

16 - Fernando Sánchez - - donde R es una función racional y p /q,p /q son racionales. Para el cálculo de su primitiva se hace el cambio x = t m donde m = mcm{q,q,...}. Un ejemplo de este tipo es el ya visto al calcular Ejemplo. Para calcular x + 3 x x + x. x + 3 x se hace el cambio x = t 6. Así = 6t 5 dt y se tiene 6t 5 dt t 3 dt ( = t 3 + t = 6 t + = t t + t + = x 3 3 x +6 6 ( ) x 6 log 6 x + + C ) dt Funciones racionales de potencias racionales de ax + b cx + d. Son expresiones racionales del tipo [ ( ) p /q ax + b ( ) p /q ax + b R x,,,...] cx + d cx + d donde R es una función racional y p /q,p /q son racionales. Se hace el cambio donde m = mcm{q,q,...}. ax + b cx + d = tm Por ejemplo, haciendo el cambio x + = t 6 se tiene = 6t 5 dt y así x 3 (x + ) x + = - Fernando Sánchez - - (t 6 )6t 5 dt t 8 t t 4 t 3 = 6 t dt que es una integral racional. Su valor es 3t 8 /4 + 6t 7 /7 + t 6 + 6t 5 /5 + 3t 4 / + t 3 3t 6t 6 log(t ) + 37/40 + C. Finalmente hay que deshacer el cambio. Funciones racionales de irracionales cuadráticas Son de la forma R [ x, ax + bx + c ] donde R es una función racional, a,b,c números reales y a 0. Para transformarlas en integrales racionales se debe hacer el cambio: ax + bx + c = a x + t si a > 0 Cálculo de primitivas 6

17 - Fernando Sánchez - - ax + bx + c = xt + c si c > 0 Si a,c < 0 se escribe ax +bx+c = a(x r )(x r ) y se hace el cambio ax + bx + c = t(x r ). También pueden convertirse en integrales trigonométricas en los siguientes casos: R [x, ] a x se hace x = a sen t o x = a cos t R [x, ] a + x se hace x = a tg t R [x, ] x a se hace x = a cos t Ejemplo: si se hace + x + x = x + t, entonces x = t t, = (t t + ) ( t) dt, y se tiene ( + x) = + x + x dt t(t ) = log t + log( t) + C = log ( + x + x x ) + log ( + x + x + x ) + C Ejemplo: haciendo el cambio x = tg t, = dt/cos t se tiene 4 + x = dt cos t - Fernando Sánchez - - ( ) + sen t = log cos t ( = log cos t + sen t ) cos t ( ) x = log + + x ( + C = log 4 + x + x) + C ya que dt cos t ( ) + sen t = log cos t como se verá más adelante, en el apartado de primitivas de funciones racionales en sen x y cos x. Ejemplo: haciendo el cambio x = sen t, = cos(t)dt se tiene que tiene primitiva elemental. x = cos (t)dt = + cos t dt Cálculo de primitivas 7

18 - Fernando Sánchez - - Funciones de tipo exponencial Son integrales del tipo R [a x ] y basta hacer el cambio a x = t para convertirlas en integrales racionales. Por ejemplo e x 3e x + e x = después de hacer el cambio e x = t, = dt/t. Funciones racionales en sen x y cos x Son integrales del tipo R [sen x, cos x] 3t + t dt y se pueden convertir en integrales racionales con alguno de los siguientes cambios: Si R [sen x, cos x] es impar en cos x se hace sen x = t Si R [sen x, cos x] es impar en sen x se hace cos x = t Si R [sen x, cos x] es par en sen x, cos x se hace tg x = t En cualquier caso funciona el cambio tg x ninguno de los otros, y se tiene sen x = sen x cos x sen x + cos x - Fernando Sánchez - - = t. Este se aplica sólo cuando no es posible = tg x + tg x = t + t cos x = cos x sen x cos x + sen x = tg x + tg x = t + t x = arctg t, = t + t Ejemplo: mediante el cambio sen x = t, se tiene cos x = dt, cos x = t y así cos x = dt dt t = = dt dt ( + t)( t) + t t Ejemplo: para hacer + t = log t ( ) + t = log t cos x sen 3 x + cos x sen x ( ) + sen x = log cos x Cálculo de primitivas 8

19 - Fernando Sánchez - - se pueden utilizar los cuatro cambios mencionados. Eligiendo el primero, sen x = t, cos x = dt se tiene cos x sen 3 x + cos x sen x = dt t 3 + ( t )t = dt t t 3 que es racional con raíces reales simples. Otras integrales útiles: productos de senos y cosenos Son integrales del tipo senmx cos nx. Para realizar el cálculo se transforman utilizando algunas relaciones trigonométricas. Como sen(a + B) = sen A cos B + sen B cos A sen(a B) = sen A cos B sen B cos A al sumar se obtiene y así De forma análoga, sen(a + B) + sen(a B) = sen A cos B sen A cos B = [sen(a + B) + sen(a B)] y al sumar y al restar se obtiene cos(a + B) = cos A cos B sen A sen B cos(a B) = cos A cos B + sen A sen B - Fernando Sánchez - - cos(a + B) + cos(a B) = cos A cos B cos(a + B) cos(a B) = sen A sen B y por tanto [ cos(a + B) + cos(a B) ] cos A cos B = Ejemplos: sen A sen B = [ cos(a + B) + cos(a B) ] sen 3x cos 4x = [ ] cos 7x sen 7x + sen( x) = + cos x 4 cos x = [ ] sen x cos x + cos 0 = + x 4 + C sen x = [ ] sen x cos x + cos 0 = + x 4 + C + C Cálculo de primitivas 9