Grado en Ingeniería Mecánica

Transcripción

1 Tema O Grado en Ingeniería Mecánica INTEGRAL INDEFINIDA DEFINICIONES Primitiva Definición (Función primitiva). Se dice que F ( ) es una función primitiva de otra función f () si y sólo si se verifica F () = f() " Î D siendo D el dominio de la función f ( ) f f Obsérvese que si F ( ) es una primitiva de f ( ) también se verificará df( ) f ( ). PROPOSICIÓN. Si F ( ) es un primitiva de f ( ), también serán primitivas de f () todas aquellas funciones G ( ) que verifiquen G () = F () + C y sólo esas. TEOREMA (Eistencia de primitiva). La condición necesaria y suficiente para que f ( ) tenga función primitiva en un intervalo I, es que sea continua en I. Integral indefinida El proceso de cálculo de primitivas se denomina integración y se denota por el símbolo, llamado signo integral. Definición (Integral indefinida). Dada una función, f () continua en un intervalo I, se llama integral indefinida de f ( ) y se representa por f ( ) al conjunto de funciones que tienen por derivada f ( ) ( tienen por diferencial f () ). Es decir, donde f () f () = F () + C se llama integrando o función subintegral y C constante de integración. Debiendo verificarse d é F () + C ù = f () êë úû Propiedades de la Integral indefinida. Sea f () una función continua en el intervalo abierto I. Entonces se verifican las siguientes propiedades:, siendo k una constante éf gù ê ú= f g P. kf ( ) = k f ( ) P. ë ( ) ( ) û ( ) ( ) Las propiedades P y P confieren al operador carácter lineal.

2 TO MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO Una forma coloquial de epresar que dos operadores son inversos, consiste en decir que cada uno anula o destruye el efecto producido por el otro. Resulta inmediato comprobar que la integración es la operación inversa de la diferenciación. TEOREMA. Los operadores (integración) y d (diferenciación), son inversos, si bien cuando se aplican en el orden d debe añadirse una constante arbitraria. CÁLCULO DE PRIMITIVAS El cálculo de primitivas interesa sobre todo como auiliar del cálculo de integrales definidas, por lo que los métodos que se presentan son de tipo práctico pero también de alcance limitado. Es importante señalar que todos los métodos de integración están inspirados en la misma idea: reducir la integral planteada a una integral inmediata. 3 Inmediatas La siguiente tabla incluye algunas de las integrales inmediatas más frecuentes. Convendremos en llamar integrales inmediatas a todas aquellas cuya solución puede escribirse sin más recursos que el recuerdo de las reglas de derivación. Tabla de integrales inmediatas a = a + C ( ) ( + ) m+ m a + a = + C ( m ¹-) m + log a C + a = + + e = + ¹ a a a e C a ( 0) ( 0, 0) a a k k = + C k > a ¹ alogk sen cosa = a + C a ¹ 0 a ( ) cos sena =- a + C a ¹ 0 a ( )

3 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 3 Tabla de integrales inmediatas tga =- log cosa + C a ¹ 0 a ( ) a - = arcsen + C ¹ 0 a ( a ) arctg 0 ( a ) C a + = a a + ¹ Ch Sha = a + C a ¹ 0 a ( ) Sh Ch a = a + C a ¹ 0 a ( ) + a = + = ¹ a ArgSh C log a C ( a 0) -a = + = ¹ a ArgCh C log a C ( a 0) a + = ArgTh + C = log + C ( a ¹ 0) a - a a a a - Tabla. Integrales inmediatas. 3 Integrales inmediatas: Ejemplos

4 4 TO MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO

5 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5

7 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 4 Integración por cambio de variable El cambio de variable es una de las técnicas más utilizadas para obtener la primitiva de una función. También se conoce este método como método de sustitución. TEOREMA. Se considera la integral f ( ) y el cambio de variable = g() t. Si f y g verifican: (a) f es continua en el intervalo I. entonces: (b) g tiene derivada continua en el intervalo I. (c) gi ( ) Í I con I f () = fégt () ù ê g ë úû () tdt Î, t Î I De esta forma se obtiene una nueva integral en la variable t que debe ser más sencilla de resolver que la integral de partida. La primitiva que se obtenga debe epresarse en la variable inicial, por lo que se deshará el cambio de variable una vez realizada la integración. 4 Integración por cambio de variable: Eemplos

8 8 TO MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO Nota: Los siguientes ejercicios requieren conocer primero cómo obtener las primitivas de funciones racionales.

11 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 Integración por partes Este método es eficiente para integrandos en los que aparezcan productos de funciones trascendentes. TEOREMA. Sean u = u( ) y v = v( ) dos funciones con derivadas continuas en un cierto intervalo I. Entonces: udv = uv - vdu 5 Integración por partes: Ejemplos

12 TO MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO

13 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 3 6 Integración de funciones racionales Recordemos que se llama función racional R ( ), a toda función en la que sólo se efectúan con las cuatro operaciones racionales. Cualquier función racional puede epresarse como cociente de polinomios: P ( ) R ( ) = Q ( ) Este apartado está dedicado al cálculo de integrales de funciones de este tipo. Es decir, P ( ) integrales de la forma con P ( ) y Q ( ) polinomios. Q ( ) Distinguiremos dos casos:. Grado de P () ³ Grado Q ( ) En este caso se divide P ( ) entre Q ( ), obteniéndose P ( ) r ( ) = c( ) + Q ( ) Q ( ) r ( ) siendo c () la integral de un polinomio (por tanto inmediata) y una integral Q ( ) racional en la que el grado del numerador es inferior al del denominador que se estudia en el caso siguiente.. Grado de P () < Grado Q ( ) Estas integrales se resuelven por descomposición en fracciones simples. Para ello se descompone Q() en factores irreducibles, m m ( ) ( ) ( ) ( ) m q Q = éa b c ù éa b c ù q ê ë úû êë j j júû, donde los últimos factores tienen raíces complejas (se cumple b - 4a c < 0). k k k Nota: Supondremos en este curso que Q no tiene raíces complejas múltiples. La descomposición en fracciones simples es la siguiente: ( ) A B m m m ( ) ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) P A A B B = m Q a + b a + b a + b a b c a b c a b c j j j j j Las integrales que resultan son todas de los tipos siguientes:

14 4 TO MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO A ( - ) A m m m - m ( - ) ( m -)( - ) j a + b a + b+ c j j j = A log - + C j -A = + C; = logaritmo + arco tangente OBSERVACIÓN: Es interesante darse cuenta de que la primitiva de una función racional, en el caso más general, está compuesta por una parte racional y otra parte trascendente y que, además, la componente racional procede únicamente de la integración de raíces múltiples. 6 Integración de funciones racionales: Ejemplos

19 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 7 Integración de productos de senos y cosenos Son integrales de la forma I ì senmü ì sennü = ï ï ï ï í ý í ý con mn, cosm cosn ïî ïþ ïî ïþ Las distintas integrales que surgen al combinar de todas las formas posibles estos productos se resuelven recordando las fórmulas de trigonometría que enseñan a transformar productos de senos y cosenos en sumas o diferencias. Estas fórmulas son las siguientes: ìï sen( ) sen cos cos sen senacosb ésen( a b) sen( a b) ù a + b = a b + a bü = ï êë úû ý ï í sen ( a - b) = sen a cos b- cos a sen b ïþ ï ï cosasenb = ésen( a + b) -sen( a -b) ù êë ú ïî û ìï cos( ) cos cos sen sen cosacosb écos( a b) cos( a b) ù a + b = a b- a bü = ï êë úû ý ï í cos ( a - b) = cos a cos b + sen a sen b ï ïþ ïsenasenb = écos( a -b) - cos( a + b) ù êë ú ïî û Aplicando estas fórmulas, las integrales se convierten en inmediatas.

20 0 TO MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO 7 Integración de productos de senos y cosenos: Ejemplos 8 Integración de funciones trigonométricas Son integrales de la forma ( sen, cos ) R donde R indica una función racional. Estas integrales se resuelven mediante un cambio de variable que depende de la forma de la función (sen, cos ) R. Los más frecuentes son: Si R(sen, cos ) es par en (sen, cos ), el cambio es tg = t con lo que: t dt sen = cos = = + t + t + t Si R(sen, cos ) es impar en cos, el cambio es sen = t. Si R(sen, cos ) es impar en sen, el cambio es cos = t.

21 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA Si R(sen, cos ) general aplicable es tg no tiene ninguna de las paridades anteriores, entonces el cambio = t. En este caso: sen t - t dt = cos = = + t + t + t Epresiones básicas de las funciones trigonométricas + = sen cos = - = cos cos sen sen sen cos + cos -cos = = tg cos = sen = + tg + tg cos sen ; 8 Integración de funciones trigonométricas: Ejemplos Forma. Utilizando fórmulas trigonométricas

22 TO MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO 9 Integración de funciones irracionales En los casos en los que una función irracional es integrable, la integración se basa en la racionalización de la integral mediante cambio de variable. Es habitual la integración de algunas funciones irracionales cuadráticas mediante un cambio de variable trigonométrico o hiperbólico que conduzca a una integral de uno de estos tipos. Consideremos (, + + ) f a b c, donde f es una función racional de las variables del integrando, con a 0. Se distinguen tres casos que darán lugar a tres posibles cambios de variable, a + b + c = p - q + r cambio de variable, q + r = p sen t.- ( ) a + b + c = p + q + r cambio de variable, q + r = p Sh t.- ( ) a + b + c =- p + q + r cambio de variable, q + r = p Ch t 3.- ( )

23 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 3 e Ch = RELACIONES BÁSICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS + e - e Sh = Ch = Ch + Sh Sh ShCh ( ) ArgCh = log + - -e - Ch - Sh = = ArgSh = log( + + ) æ+ ö ArgTh = log ç è- ø 9 Integración de funciones irracionales: Ejemplos

25 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 Ejercicios propuestos (a) (c) Calcular las siguientes integrales 3 5 (b) 3-3 (d) - + arctg (e) (f) 4 + e (g) (h) -e (i) 6e + 4e - Solución: a) F( ) b) F( ) 75 = + C log 75 ( ) c) ( ) 3 sen = + + C ; F = log C F = arc sen + C 8 8 d) ( ) ( ) e) ( ) é æ ö ù F = arctg C 4 ç + çè ø ; êë úû f) F( ) = C g) ( ) = arc sen( ) + h) ( ) arc tg 4 ( ) F e C F = + C 4 F = arc tg e + C ; 8 i) ( ) ( ) cos Calcular las siguientes integrales indefinidas, aplicando el método de integración por partes: (a) arc sen (b) (c) æ ö arc tg ç çè + ø 3 e (d) sen (e) e cos (f) log (g) 5 log (h) sen e - (i) arc tg (j) arc tg ( ) (k) log( - + 5) (l) log( + ) Solución: a) ( ) ( ) F = arc sen C b) æ ö F( ) = arc tg + ç è+ ø + - log( + + ) + C 3 c) ( ) ( 3 6 6) d) ( ) =- cos( ) + sen( ) + e) F( ) = e ( sen + cos ) + C F = e C F C f) ( ) ( log ) 6 æ ö g) ( ) ç log( ) F = C F = C 6 ç çè 6 ø - e h) ( ) ( sen cos ) i) F =- + + C 3/ F( ) = arc tg - + log( + ) + C j) 3 F( ) = arc tg( ) - + log( + ) + C k) F( ) = ( -) log( - + 5) - + æ ö 4arc tg - ; + ç + C çè ø F = + log C l) ( ) ( )

26 6 TO MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO 3 Determinar el valor de las siguientes integrales: + -3 (a) 3 + (b) ( + ) (c) (d) (e) (f) (g) (h) ( - ) Solución: a) 3 7 F( ) =- log + log( + ) + 4 æ ö + arctg ç + C çè ø F = arctg + + C ; b) ( ) ( ) c) F( ) = - + log - + ; + log log + + C d) F( ) = log + - log( + ) æ ö + arc tg ç + C 3 çè ø e) ( ) ( ) 4 F = + log log + + C 4 + f) F( ) = + log + C - - g) æ ö F( ) =- log arctg ç + 3 çè 3 ø + 3log C + h) ( ) F 5 3 = log ( - ) C ( - ) ( - ) 4 Determinar el valor de las siguientes integrales: (a) (b) (c) 9-4 (d) (e) (f) Solución: a) F( ) - - = log + C - + b) ( ) F = log - + C 9 æ æö ö F = arc sen 9 4 C ç è ç è 3 ø 9 ø c) ( ) d) ( ) arc sen( 3) F = - + C e) F( ) æ - ö = arc sen ç + C ; çè 3 ø f) ( ) arc sen ( ) F = + + C