Infinitésimos e Infinitos

Transcripción

1 Infinitésimos e Infinitos David Casado Universidad Complutense de Madrid Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Estadística e Investigación Operativa II David Casado de Lucas 4 Mayo 05 Puedes no imprimir este archivo y consultarlo en formato digital, ahorrarás papel y tinta. Si decides imprimirlo, por favor hazlo en papel reciclado, a doble cara y con poca tinta. Sé ecológico. Muchas gracias.

2 Índice Introducción Infinitésimos e infinitos equivalentes Órdenes Aproimaciones Polinomios y series de Taylor Generalizaciones Infinitésimos Infinitésimos de primer orden Infinitésimos de órdenes superiores Infinitésimos basados en la composición Infinitos Infinitos basados en infinitésimos Infinitos polinomiales Ejemplos Sustitución de un factor Sustitución de dos factores Sustitución de tres factores Agradecimientos This document has been created with Linu, LibreOffice, OpenOffice.Org, GIMP and R. I thank those who make this software available for free. I donate funds to these kinds of project from time to time. Infinitésimos e Infinitos

3 Introducción Infinitésimos e infinitos equivalentes Una función f() es un infinitésimo o un infinito en el punto 0 si se cumple, respectivamente, que lím o f ()=0 lím o f ()=. (Cuando se sobreentiende quién es 0, no siempre se menciona.) Se dice que las funciones f() y h() son infinitésimos o infinitos equivalentes en el punto 0 si se verifica que lím o f () =, y entonces se escribe f() ~ h() h() h( ) 0 Equivalentemente, puede considerarse otra constante (no nula c 0) distinta de uno, c, ya que siempre puede reescribirse como parte de f() o de h(). Esto significa que el numerador y el denominador «son prácticamente iguales» en el entorno del punto 0. Como consecuencia de lo anterior, muchas operaciones locales quedan simplificadas cuando se sustituye una función por otra. Concretamente, en este documento se estudia el caso en que estas sustituciones se utilizan para resolver límites. Dado que se pretende hacer lím o f () g () f ( ) h() o h() g () f ( ) o h() lím h( ) o g( ) h( ) o g ( ) { h() 0 g() 0 para resolver el último límite, más sencillo, debe ser todo el numerador el que se sustituya por un infinitésimo o infinito equivalente. (Lo mismo podría escribirse para el denominador.) Como casos particulares, puede suceder que f() esté compuesto de varios términos que deben caracterizarse con infinitésimos suficientemente precisos (hasta un orden suficiente); por otro lado, el denominador puede ser igual a uno: f () h() f ( ) Si h( ) 0 entonces lím o f () o h( ) o h() lím o h() o h(). Órdenes Si el límite de dos infinitésimos es cero, el numerador f() es un infinitésimo de orden superior a h(): tiende a cero más rápido, es «mejor infinitésimo», y se puede escribir Si { lím o f ()=0 lím o h()=0 y lím o f () h() =0 se escribe f = o(h). Se pronuncia «f es o pequeña de h». También se dice que el denominador h() es un infinitésimo de orden superior. El anterior límite también puede epresarse usando la notación de los límites: f() < M h() 0. Es decir, h tiende a cero, pero f lo hace más rápidamente. (Para esta definición puede considerarse el cociente inverso, h/g, y el en vez del 0.) Para infinitos se aplica un criterio análogo: si el límite de dos infinitos es cero, el denominador h() es un infinito de orden superior a f(): tiende a infinito más rápido, es «mejor infinito»: Si { lím o f ()= lím o h()= y lím o f () h() =0 se escribe f = O(h) Infinitésimos e Infinitos

4 Se pronuncia «f es o grande de h». Si el límite es infinito, el numerador f() es un infinito de orden superior. El anterior límite también puede epresarse usando la notación de los límites: M h() > f(). Es decir, f tiende a infinito, pero h lo hace más rápidamente. (También para esta definición puede considerarse el cociente inverso, h/g, y el en vez del 0.) Las anteriores notaciones o() y O() son cómodas para suprimir algunos términos de las epresiones e indicar cómo se comporta esa parte omitida, lo que es suficiente para el propósito que se persiga. Aproimaciones Una aproimación entre funciones es válida independientemente de la epresión en la que se utilice la función f(). Sin embargo, para que una nueva epresión después de cada sustitución siga siendo válida y equivalente a la anterior, es necesario que la aproimación sea suficientemente buena: del orden necesario para caracterizar las diferencias de f() entre los demás términos de la epresion. En este punto es necesario tener en cuenta dos reglas muy sencillas: Cuando tiende a cero, la velocidad de convergencia de una suma de monomios está determinada por el de menor eponente, ya que es el término más lento. Esto justifica que en el desarrollo de Taylor se consideren los términos de menor eponente, tantos como sea necesario. Cuando tiende a infinito, la velocidad de convergencia de una suma de monomios está determinada por el de mayor eponente, ya que es el término más rápido. Esto justifica que en los infinitos polinomiales se consideren los términos de mayor eponente, tantos como sea necesario. Por tanto, en algunos casos hay que tener cuidado al hacer varias sustituciones a la vez. Cuando 0 el hecho de que se cumplan sen y tg implica la aproimación sen tg 0, pero esto no es lo que se obtendría después de hacer las dos sustituciones, a saber, =0, porque entonces se estaría sustituyendo algo que es aproimadamente cero por algo que es eactamente cero, lo que en algunos casos puede introducir una falsedad. En este caso es necesario utilizar infinitésimos suficientemente precisos para discriminar el comportamiento de estas dos funciones tan parecidas. Polinomios y series de Taylor Se cumple que (tomado de Cálculo infinitesimal. Michael Spivak. Reverté. 99, º edición): Teorema de Taylor Supóngase que f',...,f (n+) están definidas en [a,], y que R n,a () está definido por Entonces f () = f (a)+f ' (a)( a) + + f (n) (a) ( a) n + R n! n, a () () R n, a () = f (n+) (t) ( t) n ( a) n! para algún t de (a,). Infinitésimos e Infinitos

5 () R n, a () = f (n+) (t) (n+)! ( a)n+ Además, si f (n+) es integrable sobre [a,], entonces para algún t de (a,). () R n, a () = f (n+) (t) (n+)! ( a)n+ para algún t de (a,). (Si < a, entonces la hipótesis debería decir que f es derivable (n+) veces sobre [,a]; el número t en () y () estará entonces en (,a), mientras que en () seguirá cumpliéndose tal como está, siempre que f (n+) sea integrable en [,a].) Se utiliza la notación f () = P n ()+R n,a (), donde el polinomio de Taylor de orden n en a se define como P n () = f (a)+f '(a)( a) + + f (n) (a) ( a) n n! Si la función f() tiene infinitas derivadas, la serie de Taylor en a se define como f (a)+f ' (a)( a) + + f (n) (a) ( a) n + = n! k=0 Sólo si se cumple que lim n R n,a ()=0 se tiene que f () = k=0 f (k) (a) ( a) k. k! f (k) (a) ( a) k. k! (Estas funciones se llaman analíticas.) A la hora de calcular límites, tanto el polinomio como la serie de Taylor se puede utilizar para hacer sustituciones, siempre que la función admita suficientes derivadas. La definición anterior no implica que los infinitésimos deban ser los primeros términos del polinomio o serie de Taylor, aunque son los más utilizados. Con estas sustituciones, las funciones quedan escritas en función de polinomios, cuyos límites son fáciles de calcular. En cualquier libro de análisis pueden encontrarse los siguientes desarrollos: Para f () = sen() y a = 0, sen() =! + 5 5! 7 7! + = ( ) k k=0 (k+)! k+ Para f () = cos() y a = 0, cos() =! + 4 4! 6 6! + = ( ) k k=0 ( k)! k Para f () = e y a = 0, e = +! +! +! + = k=0 k! k Para f () = log(+) y a = 0, log()= = ( ) k k=0 k+ k+ Para f () = arctg() y a =, arctg() = = ( ) k k=0 (k+) k+ En este mismo tipo de libros, el lector puede encontrar otros muchos desarrollos. 4 Infinitésimos e Infinitos

6 Generalizaciones En este documento, primero se presentan: () Infinitésimos elementales, basados en el desarrollo de Taylor de primer orden (primer monomio cuyo coeficiente es no nulo). Después se presentan formas de generalizarlos en varias direcciones: () Añadiendo más términos del desarrollo de Taylor. () Considerando la composición de funciones f(g()). Como caso particular de especial interés, considerando cambios de variable como 0 o 0, para considerar puntos distintos a 0. Finalmente, se mencionan brevemente los infinitos basados en infinitésimos (una cantidad tiende a cero si su inversa tiende a infinito, y viceversa) y los que tienen forma de polinomio. Infinitésimos () Infinitésismos de primer orden Cuando 0, se tienen las siguientes aproimaciones: (a) sen (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) cos e ln tg arcsen arctg a a a, a>0 (k) (+) k +k, k N (l) a k k +a k (k ) + +a 0 a k k, k N Nota: Para ayudarnos a recordar estas equivalencias, puede utilizarse la regla de L'Hôpital. 5 Infinitésimos e Infinitos

7 () Infinitésimos de órdenes superiores Cuando 0 y eiste la fórmula de Taylor de f t en t=0, se pueden considerar más términos del desarrollo, puesto que luego lím 0 f ()= f (0)+ f ' (0)! f f 0 f ' 0! + f ' ' (0)! = lím 0 f ' ' 0! + f 0 f ' 0! = (Se ha supuesto que f (0) 0 y f ' (0) 0, pero en otro caso se puede escribir un límite parecido.) Es decir, si se añaden más términos del desarrollo se obtienen otros infinitésimos equivalentes al de primer orden. No obstante, estos infinitésimos equivalentes de f() no se comportan igual en todas las epresiones donde se quieran sustituir, puesto que tienen distinta precisión. En cada caso hay que incluir el suficiente número de términos. Ya se ha mencionado que el eponente es indicativo de la velocidad de los monomios en el entorno del cero y en el del infinito. Cuando 0, se tienen las siguientes aproimaciones: (a) (b) (c) sen( )! + cos( )! + 4 4! e +! +! + (d) ln(+ ) + (e)... () Infinitésimos basados en la composición (.) Si f (t) tiene desarrollo de Taylor en t 0, se tiene que f (t) f (0)+ f ' (0)! (..) Si g 0, puede considerarse f (g( )) f (0)+ f ' (0)! g ( )+ t+ (..) Si g ( ) c, puede considerarse f (g( ) c) f (0)+ f ' (0) (g ( ) c)+! (.) Si f (t) tiene desarrollo de Taylor en t c, se tiene que f (t) f (c)+ f ' (c) (t c)+! (..) Si g( ) 0, puede considerarse f (g( )+c) f (c)+ f ' (c)! g( )+ 6 Infinitésimos e Infinitos

8 (..) Si g ( ) c, puede considerarse f (g( )) f (c)+ f ' (c) ( g () c)+! Como casos particulares en los que g ( ) 0, g( )= c 0, en el entorno del punto 0 = c g ( )=h( ) c 0, con h( ) c en el entorno de un punto cualquiera 0 g( )=h () h () 0, con h ( ) c y h () c en el entorno de un punto cualquiera 0 Como casos particulares en los que g ( ) c, g( )= +c c, en el entorno del punto 0 = 0 g( )=h( )+c c, con h( ) 0 en el entorno de un punto cualquiera 0 g ( )=h ()+h () c, con h ( ) 0 y h () c en el entorno de un punto cualquiera 0 Infinitos Infinitos basados en infinitésimos Cuando, se puede pensar en una variable y=, que cumpliría y 0, por lo que todo lo dicho para infinitésimos sería cierto al sustituir por ; por ejemplo, esto llevaría a las colecciones sen ( ) sen ( ) Del mismo modo, para una función g( ) se tiene que sen ( f ( )) f ( ) sen ( f ()) f () Infinitos polinomiales Para polinomios, la sustitución a k k +a k k + +a 0 a k k, k N es muy utilizada. Al hacerlo, o bien se alude a ella directamente o se repiten los siguientes cálculos (para el límite concreto que se esté calculando): 7 Infinitésimos e Infinitos

9 Ejemplos Sustitución de un factores Ejemplo : lím ln( ) En este caso, es útil hacer un cambio de variable en el límite: = y = y+ ln lím ln y y 0 y y y 0 y = Este límite se resuelve también aplicando la regla de L'Hôpital. Ejemplo : lím 0 + Dado que ( ) tiende a infinito más rápidamente que ( ), lím 0 0 = No obstante, quizá es más fácil resolver este límite sin utilizar infinitésimos, sino haciendo lím = Ejemplo : lím sen ( ) lím sen = Este límite se resuelve también aplicando la regla de L'Hôpital. 8 Infinitésimos e Infinitos

10 Ejemplo 4: lím lím =0 No obstante, quizá es más fácil resolver este límite sin utilizar infinitos: 5 5 lím =0 6 6 Por último, este límite se resuelve también aplicando la regla de L'Hôpital cinco veces seguidas. Ejemplo 5: lím + lím = Otra formas formas de resolver este límite consisten en dividir el numerador y el denominador por, o en aplicarla regla de L'Hôpital tres veces seguidas. Sustitución de dos factores Ejemplo 6: lím 0 sen( ) sen(5 ) ( ) lím 0 sen( ) sen(5 ) ( ) 0 5 ( ) 0 5 ( ) 5 0 ( ) =5 Resolver este límite por la regla de L'Hôpital es muy tedioso, porque hay que derivar productos. Ejemplo 7: lím 0 arcsen ln arcsen lím 0 ( ) ln( ) 0 0 = Resolver este límite por la regla de L'Hôpital es también tedioso. 9 Infinitésimos e Infinitos

11 Ejemplo 8: lím 0 sen( ) +sen( ) Dado que sen(k) k (k) + se tiene que! sen lím 0 sen = 4 Este límite se resuelve fácilmente por la regla de L'Hôpital. Ejemplo 9: lím 0 cos(m) cos(n) Dado que cos(k) (k)! + (k)4 se tiene que 4! m cos m cos n lím 0 0 n = m n Nótese que la precisión entendida como el eponente del numerador debe al menos igualar la del denominador. Este límite se resuelve también aplicando la regla de L'Hôpital dos veces seguidas. Ejemplo 0: lím 0 cos( ) sen() Dado que cos () (! + 4 4! ) lím 0 cos ( ) sen () ( 0 =( )! ) + y sen ( ) (! ) + = + 4 ( ) 0 = 0 Este límite quizá se resuelve más fácilmente por L'Hôpital. Ejemplo : lím ln ( + ) lím ln e e ln e =0 Este límite se resuelve también aplicando la regla de L'Hôpital. 0 Infinitésimos e Infinitos

12 e / cos( ) Ejemplo : lím 0 sen( ) En un entorno del cero se cumple que lado, cos()! + 4 así que 4! e / cos lím 0 0 sen e =, por lo que / e = + ( ) +. Por otro = 4 Nótese que en el numerador se han incluido suficientes términos como para caracterizar esa diferencia (los dos primeros no lo hacían). Ejemplo : sen() sen( ) lím 0 En el siguiente límite aparecen problemas cuando se sustituyen dos infinitésimos de primer orden a la vez: sen sen lím No tiene sentido porque 0 Una forma de resolver este límite consiste en añadir más precisión al numerador. Dado que es cierta la siguiente sustitución, sen() sen( ) lím 0 0 sen(k) k (k) + se tiene que!! + ( )! 0! ( 8 ) = Nótese que en el numerador se han incluido suficientes términos como para caracterizar esa diferencia. Otra forma de resolver este límite es utilizar la fórmula trigonométrica del ángulo doble: sen sen sen sen cos sen cos lím = Finalmente, este límite se resuelve también aplicando la regla de L'Hôpital tres veces seguidas. Nota: Si sólo se añadiese más precisión al segundo seno, la diferencia no se estaría caracterizando bien y se llegaría a un resultado erróneo: sen( ) sen( ) + lím 0 0 ( )! 0 = Infinitésimos e Infinitos

13 tg( ) Ejemplo 4: lím 0 sen( ) En el siguiente límite no se pueden utilizar infinitésimos de primer order, por lo que una opción es utilizar más términos en los infinitésimos de Taylor lím 0 tg sen 0 =! De nuevo, se han incluido suficientes términos como para caracterizar esas diferencia. Este límite también puede resolverse fácilmente aplicando dos veces la regla de L'Hôpital lím 0 tg sen 0 tg cos tg tg 0 = sen Sustitución de tres factores ( cos( )) sen(4 ) Ejemplo 5: lím 0 cos() cos sen 4 lím cos 0 Resolver este límite por la regla de L'Hôpital es muy tedioso, porque hay que derivar productos. = Infinitésimos e Infinitos

14