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Transcripción

1 1.- DEFINICIÓN intuitiva de LÍMITE DE UNA FUNCIÓN La idea de límite no es una idea sencilla o que aparezca intuitivamente. La célebre historia de Aquiles y la tortuga estuvo sin solución durante varios miles de años, lo que nos una idea de su complejidad. Por ello creemos que para captarla es más sencillo ver un ejemplo: Tengamos la función y = 1 Función que no eiste para = 1 puesto que y(1) = epresión que no 1 tiene ningún sentido. Sin embargo nos podemos preguntar que pasa en los alrededores de = 1. Para ello construimos la siguiente tabla: y,9 1,9,99 1,99,999 1,999 1,1,1 1,1,1 1,1,1 1,1,1 Y, como podemos ver en la tabla, parece que acercándonos a = 1 tanto por encima ( > 1) como por debajo ( < 1) la función, y, se acerca a y =. A medida que nos acercamos a = 1, el numerador y el denominador se acercan a cero, son números muy pequeños, pero su cociente nos indica que el numerador tiende a ser el doble que el denominador y por lo tanto la función, el cociente, se acerca a. Para demostrarlo un poco más rigurosamente podemos efectuar los siguientes cálculos, que aparecerán también en la resolución de algunos ejercicios posteriores: 1 1 = ( 1)(+1) 1 1 = = Como veíamos en la tabla. Hemos descompuesto por Ruffini el numerador y simplificado los paréntesis ( 1) del numerador y del denominador porque, aunque sean números muy pequeños los dos por estar la variable muy cerca de uno, su cociente da dos como sabemos. Si ahora cogemos la función y = 4 = : le pasa lo mismo que a la anterior pero en Página 1 de 9

2 4 = ( )( + ) + = 4 Como vemos, el cociente de dos números muy pequeños puede dar muy distintos resultados, por lo que dicho resultado depende de la epresión matemática que tengamos y se llama por eso indeterminación. Podemos resumir diciendo: Epresiones del tipo anterior, cocientes de números muy pequeños que de ahora en adelante llamaremos tipo cero entre cero y cuyo valor depende de la fracción, las llamaremos indeterminaciones y, en este caso porque como veremos hay más, diremos que se trata de una indeterminación tipo cero entre cero. La definición rigurosa de límite está en todos los libros y no nos parece necesario incluirla en este manual. Con la idea intuitiva, saber que estamos averiguando A QUÉ VALOR se acerca una función de, a medida que la variable se acerca a otro cierto valor, creemos que es suficiente y con ello concluimos la eplicación teórica de este manual. Pasamos a ver cuántas indeterminaciones hay y como se calculan los límites. INDETERMINACIONES Como hemos quedado, son epresiones que no tienen valor fijo y dependen de a qué número se acerca la variable equis y de la forma de la función. Son las siguientes: 1 Para calcular el límite primero tenemos que sustituir la variable por el valor al que tiende y, si aparece alguna de las epresiones anteriores, observar las pautas y métodos que se dan a continuación para cada una de ellas. Hay varios métodos y en algunos problemas mezclaremos varios pero empezamos viendo cada uno por separado. En esta primera parte se utilizaran métodos muy concretos y sencillos, interesantes para un principiante de bachiller, pero acabaremos eponiendo, en el capítulo siguiente, dos métodos generales para todos ellos: regla de L Hôpital y EQUIVALENCIAS. No son indeterminaciones, aparte de los números evidentemente, las siguientes epresiones que hay que recordar aunque son muy intuitivas, creemos: Página de 9

3 a = ; a = ; a = ; a = ± (límites laterales) a = si a > 1; a = si < a < 1; =.- CALCULO DE LÍMITES Indeterminación tipo / En este primer nivel este tipo de indeterminación nos parecerá bajo dos formas: a) Cociente de polinomios como los vistos en los ejemplos del principio. Cuando ocurra esto descompondremos ambos y, por el teorema del resto (que no es necesario recordar), siempre aparecerán monomios iguales en el numerador y en el denominador que simplificando nos llevará a la solución. Ejemplo 1: + 6 = ( 4 ) = ( )( 3) ( )( + ) = 3 + = 1 4 Ejemplo : = ( ) = ( 1)( + 1) 1 ( 1) = = ( ) = ±? Donde la última epresión es la división del número dos, mejor seria decir un número que se acerca a dos, entre un número muy pequeño que se acerca a cero siendo por lo tanto el resultado un número muy grande pero que no sabemos si es positivo o negativo, no sabemos si tiende a más o a menos infinito. Por ello es obligatorio hacer los límites laterales: Página 3 de 9

4 = + = = = 1 En ellos nos hemos acercado a uno pero por la derecha 1 +, siendo como se ve en la figura de la derecha un poco mayor que uno y quedando por lo tanto la resta (-1) muy pequeña pero positiva y lo denotamos por +. Análogamente, cuando la variable tiende a uno por la izquierda es un poco más pequeña que uno (figura otra vez de la derecha) y por lo tanto la resta (-1) es muy pequeña pero negativa y lo denotamos por. b) Cociente de resta con raíces cuadradas. Suele funcionar bien multiplicar y dividir por el conjugado de esa resta: = 1 (1 )(1+ ) ( 1)(1+ ) = 1 1 ( 1)(1+ ) = 1 = En donde hemos simplificado los números (1-) y (-1) cuyo cociente da siempre -1. Comentamos que no conviene hacer las operaciones del denominador ( 1)(1 + ) porque ya no podríamos simplificar el monomio (-1). Indeterminación Veremos más adelante que este tipo de límites se puede hacer más corto, pero la primera forma es la siguiente: Se divide numerador y denominador por la de mayor grado del denominador (a veces se dice que hay que dividir entre la de mayor grado de la fracción entera pero esto nos lleva a problemas en algún caso como veremos) = ( ) = Ya que las epresiones 1, 1 a infinito., = = y 3 tienden las cuatro a cero cuando tiende 1 3 Página 4 de 9

5 En el siguiente caso vemos como dividir entre la de mayor grado del quebrado entero nos da problemas: = ( ) = = = 3 = ±? Laterales? Como hemos dicho, dividir entre la de mayor grado del denominador para no tener estos problemas: = ( ) = = ( ) = = 3 = + 3 = = = 3 = Dentro de esta indeterminación, y sólo cuando se trata de cociente de polinomios, podemos decir como atajo lo siguiente:.- Si los grados del numerador y denominador coinciden (son entonces números parecidos ) el resultado del límite es el cociente de los coeficientes de las equis de mayor grado, como en nuestro caso anterior: 1 (coeficiente de la equis de mayor grado del numerador) entre 1 (coeficiente de la equis de mayor grado del denominador) y sólo porque los dos, denominador y numerador son del mismo grado.- Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (el número del numerador es entonces mucho más grande que el del denominador) el resultado del límite es infinito o menos infinito, según el cociente de signos: = ( + + ) = = ( + ) =.- Si el grado del numerador es menor que el del denominador (el número del numerador es entonces mucho más pequeño que el del denominador) el resultado del límite es cero. Insistimos, esto son recetillas sólo para cociente de polinomios y en el caso de que equis tienda a infinito y tengamos la indeterminación infinito entre infinito. Página de 9

6 Indeterminación En esta indeterminación multiplicamos y dividimos por el conjugado + + ( ( + ( + ) ( +1) ( =( ) = )( ) ) = + +1) 3 = ( ) Como vemos, después de multiplicar y dividir por el conjugado, nos ha quedado una indeterminación del tipo por lo que el siguiente paso es dividir numerador y denominador entre la de mayor grado del denominador que en nuestro caso es = (si arriba nos hubiera quedado un número y abajo infinito ya habríamos acabado pues el resultado de ello es, como hemos dicho en las determinaciones, cero). Procedemos pues a dividir numerador y denominador entre 3 ( + = = + + 1) Ya que en la última epresión que contiene los quebrados tienden a cero por ser números divididos entre infinito. Se hace notar que al dividir el denominador entre ésta ha entrado dentro de la raíz elevada al cuadrado. = 1 Página 6 de 9

7 Indeterminación 1 Para resolver esta indeterminación, en esta primera manera sencilla, se ha de recordar la siguiente fórmula en la que nos basaremos: (1 + 1 ) = e (e, 718 ) Se advierte que la del denominador y del eponente pueden ser también epresiones de iguales y que tienden a infinito, por ejemplo: ( ) = e ( + 1) 3)( También da el mismo número e. Veamos con un ejemplo como se transforma nuestra epresión indeterminada en una de este tipo para poder resolver el límite. Se trata de calcular el siguiente límite: ( + 3 )+3 Lo primero que hacemos, como en todos los límites, es ver si está indeterminado para lo cual calculamos el límite de la base y el límite del eponente (esto lo haremos siempre que tengamos un límite eponencial) + Base: = 3 () = + 1+ = = 1 Eponente: + 3 = Por lo que tenemos una indeterminación 1. Recalcamos que si el límite de la base no da 1, la epresión no estaría indeterminada y el límite estaría acabado (si, por ejemplo, la base tiende a y el eponente a infinito el resultado sería infinito pues = ) Veamos ahora como se transforma esta fórmula en una parecida a la del número e que hemos subrayado al principio: Página 7 de 9

8 ( ) = hacemos que nos aparezca el 1 + en la base sumando y restando uno = ( ) = = 3 = ( ) Ya hemos conseguido, en el primer paso, hacer que la epresión dada tenga el 1 +, y se parezca a la epresión del número e. En el segundo paso tenemos que conseguir que el numerador de la fracción sea un uno, lo que se consigue fácilmente dividiendo numerador y denominador del quebrado entre cinco: 3 = 1 3 Nos queda pues: ( ) = ( academiavictorloza.com ) +3 Para que, por último, nos aparezca la epresión del número e, nos hace falta que el eponente sea igual que el denominador de la fracción. Para ello recordamos la siguiente identidad: a = (a b ) 1 b Lo que nos indica que podemos elevar un número al eponente que queramos con tal de elevarlo después a su inverso: Sustituyendo en la epresión del límite: ( ) +3 = [( = [(1 + 1 ) 3 ] ) 3 ] 3 = [( ) 3 ] (+3) 3 = Página 8 de 9

9 = Limite de la base, entre corchetes = e = academiavictorloza.com e = e 1 Donde el límite del eponente es una indeterminación muy sencilla de resultado 1. Página 9 de 9