Límite de una función en una variable
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- José Ignacio Flores Rojas
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1 MATERIA : MATEMÁTICA I CURSO: Ier AÑO EJE ESTRUCTURA : III - ÍMITE Y CONTINUIDAD GRUPOS CONCEPTUAES: ro ímite funcional do Continuidad TEMARIO: - TEMA : ímite - TEMA : Asíntotas - TEMA : Continuidad. Introducción GUIA DE ESTUDIO Nro a. Orientación general a presente guía de Estudio complementa el desarrollo de los contenidos tratados en clase. Como prerrequisitos es importante el conocimiento de los procedimientos aplicados al cálculo algebraico y del eje estructural II en cuanto a las características y propiedades de las funciones. a guía presenta una selección comentada y resuelta de ejercicios de ites indeterminados clasificados de acuerdo a las indeterminaciones que presenta y la aplicación al cálculo de las ecuaciones de asíntotas y continuidad de una función en un punto. Se acompañan los subtemas con series de ejercicios propuestos. Una autoevaluación al final de la Guía permite que el cadete pueda evaluar sus conocimientos respecto del conjunto de temas estudiados. Resumen de contenidos ímite de una función en una variable ímite determinado ímite indeterminado a a R Salvar por factoreo Salvar por racionalización Asíntotas Continuidad b. Bibliografía CONTENIDOS Y TEMAS ÍMITE, ASÍNTOTA Y CONTINUIDAD FUENTE BIBIOGRÁFICA Haeussler, Paul, E.F.,Richard, S.P. Matemática para Administración, Economía, Cs. Sociales y de la Vida Editorial Prentice may 8ª Ed. Méico 99 Capítulo arson Hostetler. Cálculo Vol. I Ed. H.Mifflin ª Ed. 00 Capítulo Smith R.T. Minton R.B. Cálculo Vol I Ed. Mc Graw Hill. 000 Capítulo
2 . Desarrollo Tema : ÍMITE a noción de ite es muy importante en el Cálculo, fundamentalmente para el estudio del comportamiento de una función en las cercanías de un punto, para encontrar las ecuaciones de las asíntotas de ciertas funciones y analizar la continuidad en puntos específicos. Con este objetivo, se calculan ites con la variable tendiendo a valores reales o bien a infinito. Se presentan ites determinados e indeterminados. A continuación se presenta un conjunto de ejercicios con su resolución comentada. ÍMITES INDETERMINADOS Calcule el siguiente ite, estableciendo previamente la indeterminación: ( IND Como se observa al reemplazar a la variable por, se hace cero tanto el numerador como el denominador, esto implica que es raíz de ambos. Debemos descomponer en factores, ambos polinomios, para po einar la indeterminación. En el numerador aplicamos la regla de Ruffini con, pues es la raíz que nos interesa: uego, el numerador resulta igual a : ( ( 0 También debemos descomponer en factores el denominador, pero aquí podemos sacar factor común : ( Volvemos a la epresión del ite y reemplazamos ambos polinomios por sus factores: Simplificamos el factor ( ( ( 0 ( de numerador y denominador y pasamos al ite para, quedando: 0 8 Calcule el siguiente ite, estableciendo previamente la indeterminación: 0 ( IND 0 En este tipo de indeterminaciones, que contienen raíces cuadradas, debemos utilizar como artificio matemático la racionalización, multiplicando y dividiendo por la epresión conjugada de la que aparece en el problema. En nuestro caso solo aparecen raíces cuadradas en el numerador, veamos como queda: ( ( ( (
3 Tenemos una diferencia de cuadrados en el numerador, además debemos buscar las raíces del polinomio que se encuentra en el denominador para descomponerlo en factores y así po lograr alguna simplificación que nos eine la indeterminación. as raíces de, las obtenemos mediante la resolvente ( a ac b b / ± y son y, con lo que los factores en que se descompone el polinomio serán: ( y ( Reemplazando y operando, nos queda: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Simplificamos los factores ( de numerador y denominador, que son precisamente los que introducen la indeterminación cuando, nos queda: ( ( Pasamos al ite para : ( ( ( ( ( Calcule el siguiente ite: ( IND En este tipo de ites indeterminados con, lo que hacemos es dividir numerador y denominador por la variable elevada al mayor eponente que aparece en el cociente. En nuestro ejercicio será. Resulta: Distribuimos y simplificamos:
4 Observamos que todas las fracciones que aparecen son un número real dividido por alguna potencia de la variable. Por lo tanto, cuando, cada una de esas fracciones tená a cero. Entonces: Debemos hacer notar que en el ejemplo el numerador y el denominador tienen el mismo grado y en consecuencia, el resultado será el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado. En ejercicios que tengamos el grado del numerador mayor que el grado del denominador, el resultado de dicho ite será infinito (. Por último, cuando el grado del denominador sea superior al del numerador, el resultado será cero (0. Resuelva el siguiente ite indeterminado: ( IND Para este nuevo tipo de indeterminación lo que se recomienda hacer es efectuar la operación indicada (diferencia de fracciones. En primer lugar, factoreamos el polinomio del divisor del segundo término. as raíces son: y. uego: ( ( Reemplazamos en la epresión: ( ( ( Sacamos común denominador y operamos: ( ( ( ( ( ( ( ( Simplificamos y pasamos al ite para : Resuelva el siguiente ite indeterminado:
5 Dividimos numerador y denominador por la máima potencia de la variable de los términos que no pertenecen al radical. Se le asigna a la potencia el signo más ( si y signo menos ( si Recuerde que para introducir un divisor en el radical debe elevárselo al índice de la raíz: Resuelva el ite de la función anterior para Dividimos por (- numerador y denominador: Tema : ASINTOTAS Dada la función cuya fórmula es: f ( Se pide: a Determine el dominio de la función. b Proporcione la intersección de la curva con cada uno de los ejes coordenados. c Obtenga las ecuaciones de las asíntotas. d Esboce la gráfica de la función. a Como se trata de un cociente de polinomios, el dominio de la función es el conjunto de R ecepto aquellos que anulen el denominador. Por ser éste un polinomio de grado, tenemos, a lo sumo, dos valores de que lo anulan. os calculamos: ( ± ( ( ( ( 0 / as raíces de la ecuación son - y, por lo tanto, el dominio es: Dom R ; { }
6 b Intersecciones con los ejes coordenados: Para hallar la intersección con el eje igualamos a cero la función: 0 0 Nos queda una ecuación de º grado, cuyas raíces son las intersecciones con el eje : ( ± ( (( ( ; / Mientras que para hallar la intersección con el eje y debemos darle a la variable, el valor cero: 0 0 f ( 0 y 0 0 c Siendo la función un cociente de polinomios del mismo grado, podemos asegurar que presenta asíntota horizontal. También puede tener asíntotas verticales, pero hay que realizar el estudio. Recordamos primero las definiciones de Asíntotas Vertical y Horizontal: Asíntota Horizontal: Si eiste el ( b, con b R, entonces y b es Asíntota Horizontal de la función. ± f Asíntota Vertical: Si eiste el f ( ±, con a R, entonces a es Asíntota Vertical de la función. a El estudio brinda mejor información si se determinan los ites laterales (por uierda y por echa de a, es decir, calcularemos f ( y f (. a a En nuestro ejercicio tenemos Asíntota Horizontal, pues: ± ( Recuerde que, por tratarse de un cociente de polinomios de igual grado y la variable ±, se toma directamente el cociente de los coeficientes principales. Como el resultado es un número real, queda: y es A.H. de la función Para determinar la eistencia de Asíntotas Verticales aplicamos la definición en los puntos que restringen el dominio de la función: Para Por lo visto, concluimos que: - es A.V. de la función
7 Para Podemos concluir que: es A.V. de la función d Con la información obtenida en los puntos anteriores esbozamos la gráfica de la función: Tema : CONTINUIDAD EN UN PUNTO En los ejercicios que siguen vamos a analizar la continuidad de distintas funciones y en caso de presentarse discontinuidades las clasificaremos. a definición de función continua en un punto nos permite determinar analíticamente la eistencia o no de discontinuidades. Esta definición consta de tres partes y todas deben cumplirse para que la función resulte continua en el punto en estudio. Son: I- Dada una cierta función para un determinado valor de debe eistir su imagen, es decir, debe estar definida la función para dicho valor: Para a : eiste f ( a II- Debe eistir el ite para tendiendo al valor en estudio ( esto trae aparejado el análisis de los ites laterales :
8 a a f ( f ( ( a f III- El valor de la función en el punto y el ite para tendiendo a dicho punto deben ser iguales, es decir, los puntos I y II de la definición deben ser iguales: f ( a Cualquiera de las condiciones anteriores que no se cumpla determina la eistencia de una discontinuidad de la función en el punto. Dada la función cuya fórmula es: f ( Se pide: a Determine el dominio de la función. b Estudie la continuidad de la función en los puntos que restringen el dominio y clasifique las discontinuidades. c Esboce la gráfica de la función. a Por tratarse de un cociente de polinomios, las restricciones del dominio son las raíces del denominador: 0 ; El Dominio es: Dom R { ;} b Ya podemos asegurar que la función presenta una discontinuidad en - y otra en. b En -: ( ( ( ( ( ( ( ( ( En, hay una discontinuidad llamada evitable, porque si bien no eiste f (-, eiste f ( Dicho de otra forma, a la gráfica de la función le faltará un solo punto.. b En ( ( ( ( ( ( no eiste ( ( ( En, tenemos una discontinuidad no evitable ó esencial, porque los ites laterales son distintos. Ello implica un salto en la gráfica. En este caso es un salto infinito. 8
9 c Gráfica de la función: Discontinuidad evitable Discontinuidad no evitable Dada la función por partes o tramos: f ( 0 0 Se pide: a Efectúe el estudio de su continuidad y en caso de eistir discontinuidades, clasifíquelas. b Esboce la gráfica de la función. a Por tratarse de una función por partes, f ( es una unión de otras funciones y cada una de ellas por separado es una función continua (cada una es parte de una función lineal. Se debe estudiar la continuidad únicamente en los puntos donde itan entre ellas. Es decir, veremos si en 0 y en las gráficas empalman eactamente ó si se produce una discontinuidad, para lo cual estudiaremos los ites laterales que corresponden a cada valor de y veremos si son o no iguales. Podemos omitir el análisis de la primera condición. Para 0 : 0 0 ( ( 0 Salto Finito f( es Discontinua Inevitable en 0 9
10 Para : ( ( f( es Continua en b Gráfica de la función: Dada la siguiente función: f ( a b a b Se pide: a Determine los valores de a y b para que la función resulte continua. b Redefina la función f (. c Esboce la gráfica de la misma. a Se trata de una función por partes formada por tres funciones, las que a su vez, son continuas dentro de cada uno de los intervalos en los que está dividida. Por lo tanto sólo hay que hacer el estudio de la continuidad en los etremos de los intervalos indicados ( ;. : ( a b a b Para ( Como para que una función resulte continua en un punto los ites laterales en dicho punto deben ser iguales: - a b - * Que es una ecuación con dos incógnitas. Hace falta otra ecuación para po determinar los valores de a y b. Esta segunda ecuación se obtiene al igualar los ites laterales en : 0
11 ( a b a b Por lo tanto: ab * Con * y * formamos un sistema de ecuaciones: a b a b y resulta a b b Se redefine la función: f ( c Gráfica:
12 .Autoevaluación Calcule los siguientes ites: 0 d c b a Sea la función cuya fórmula es: ( f. a Obtenga las ecuaciones de las asíntotas. b Trace la gráfica de la función, con sus asíntotas. a Grafique las funciones cuyas fórmulas son: < ( 9 ( si si g a f a b Determine, en cada caso, los puntos de discontinuidad y clasifique dichas discontinuidades. RESPUESTAS DE A AUTOEVAUACIÓN 0 d c b a a Asíntota vertical: Asíntota horizontal: y b a a
13 a evitable en b f presenta una discontinuidad no evitable en g presenta una discontinuidad no evitable en
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