Cálculo de Primitivas

Transcripción

1 Departamento de Matemática Aplicada Universitat Politècnica de València, España Fundamentos Matemáticos para la Ingenieria Civil

2 Esquema Esquema de la exposición

3 Definición de primitiva Primitivas Integral indefinida Integrales inmediatas Integrales inmediatas para funciones compuestas Definición Sea una función f : I R donde I es un intervalo de R. Se dice que la función F : I R es una primitiva de f en I si F es derivable y F = f. Ejemplo: La función F(x)= x3 3 es una primitiva de f(x)=x2 ya que F (x)=x 2. También la función G(x)= x3 + 4 es una primitiva de f. Ambas en 3 cualquier intervalo de la recta real.

4 Integral indefinida Primitivas Integral indefinida Integrales inmediatas Integrales inmediatas para funciones compuestas Definición Se llama integral indefinida de una función f(x) en un intervalo I al conjunto de todas las primitivas de la función f en el intervalo I. Se escribe f(x) dx y se lee integral de f(x). Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) son de la forma G(x)+C, donde C es una constante arbitraria que puede ser cualquier número real. Ejemplo: La integral indefinida de f(x)=e x es G(x)=e x +C, donde C es una constante e x dx=e x +C

5 Propiedades de la integral indefinida Primitivas Integral indefinida Integrales inmediatas Integrales inmediatas para funciones compuestas 1 k f(x) dx=k f(x) dx Las constantes pueden salir y entrar fuera del signo de la integral indefinida. 2 ( f(x)±g(x)) dx= f(x) dx ± g(x) dx

6 Integrales inmediatas Primitivas Integral indefinida Integrales inmediatas Integrales inmediatas para funciones compuestas x n dx= xn+1 +C, si n 1, n R n+1 1 x dx=ln x +C e x dx=e x +C a x dx= ax +C, si a>0, a 1 lna sinx dx= cosx+c cosx dx=sinx+c 1 1 x 2 dx=arcsinx+c= arccosx+c

7 Integrales inmediatas 1 1+x 2 dx=arctanx+c sinhx dx=coshx+c coshx dx=sinhx+c Primitivas Integral indefinida Integrales inmediatas Integrales inmediatas para funciones compuestas 1 1+x 2 dx=argsinhx+c=ln x+ 1+x 2 +C 1 x 2 1 dx= ( ln x+ ) x 2 1 +C=argcoshx+C si x>1 ( ln x+ ) x 2 1 +C = argcosh( x) +C si x < 1

8 Tipo potencial Primitivas Integral indefinida Integrales inmediatas Integrales inmediatas para funciones compuestas x n dx= xn+1 +C, para cualquier n 1, n R. n+1 Tipo general f (x)( f(x)) n dx= ( f(x))n+1 +C n+1 para n 1 Ejemplo: cos2xsin 3 2x dx = 1 2 2cos2xsin 3 2x dx = 1 sin 4 2x +C 2 4 = 1 8 sin4 2x+C

9 Tipo logarítmico Primitivas Integral indefinida Integrales inmediatas Integrales inmediatas para funciones compuestas 1 x dx=lnx+c Tipo general f (x) f(x) dx=ln f(x) +C Ejemplo: tan4x dx= 1 4sin4x = 1 4 cos4x 4 ln cos4x +C

10 Tipo exponencial Primitivas Integral indefinida Integrales inmediatas Integrales inmediatas para funciones compuestas a x dx= ax +C, si a>0, a 1 lna Para a=e se obtiene e x dx=e x +C Tipo general f (x)a f(x) dx= a f(x) +C, si a>0, a 1 lna : x 3 e x4 dx= 1 4 cos(3x)2 sin3x dx= 1 3 4x 3 e x4 dx= 1 4 ex4 +C 3cos(3x)2 sin3x dx= 1 2 sin3x 3 ln2 +C

11 Tipo trigonométricas Primitivas Integral indefinida Integrales inmediatas Integrales inmediatas para funciones compuestas sinx dx= cosx+c, cosx dx=sinx+c Tipo general f (x)sin f(x) dx= cos f(x)+c f (x)cos f(x) dx=sin f(x)+c : 1 e 2x sin(e 2x + 5) dx= 1 2e 2x sin(e 2x + 5) dx= cos(e2x + 5)+C x 2 cos 2 x 2 dx= 1 2x 2 cos 2 x 2 dx= 1 2 tan(x2 )+C

12 Tipo trigonométricas inversas 1 1 x 2 dx=arcsinx+c= arccosx+c Primitivas Integral indefinida Integrales inmediatas Integrales inmediatas para funciones compuestas Tipo general f (x) dx=arcsin f(x)+c 1 (f(x)) 2 Ejemplo: e 3x 1 e 6x dx = e 3x 1 (e 3x ) 2 dx = 1 3 3e 3x 1 (e 3x ) 2 dx = 1 3 arcsine3x +C

13 Tipo trigonométricas inversas 1 1+x 2 dx=arctanx+c Tipo general Primitivas Integral indefinida Integrales inmediatas Integrales inmediatas para funciones compuestas f (x) dx=arctan f(x)+c 1+(f(x)) 2 Ejemplo: 5 2+3x 2 dx = = 5 6 5/ dx= 5 2 x ( dx= 3 2 x)2 1 dx 3 1+( 2 x)2 5 3 arctan 6 2 x+c

14 Cambio de variable Cambio de variable Integración por partes Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene: (F g) (x)=f (g(x))g (x)= f (g(x))g (x) Con la notación de integrales se escribe f (g(x))g (x) dx=f(g(x))+c Si se escribe x=g(u), entonces dx=g (u)du. Con esta sustitución se tiene: f(x) dx= f (g(u))g (u) du=f(g(u))+c=f(x)+c

15 Cambio de variable Integración por partes Cálculo de primitiva con cambio de variable Para calcular una integral por cambio de variable: Buscar una transformación u=g(x) que reduzca su cálculo al de una integral inmediata. Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial mediante. du=g (x)dx Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final. : 1 e x xlnx dx, 2e 2x 1+e x dx, dx 7a x + 4a x

16 Integración por partes Cambio de variable Integración por partes Si f y g son dos funciones derivables con derivadas continuas se tiene: f(x)g (x) dx= f(x)g(x) f (x)g(x) dx Es muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación abreviada que se obtiene poniendo: u= f(x) y v=g(x) u dv=uv v du

17 Integración por partes Cambio de variable Integración por partes Consejos Llamar g a una función de la que sea fácil obtener g. Si es fácil obtener g sea cual fuere la elección que hagamos para g, llamar entonces g a aquella que haga que f g sea más fácil de calcular que f g. : x 2 e x dx, sin(ln x) dx, ln(1+x) dx, x cos 2 x dx, x 3 cosx dx arcsinx dx, xe x2 cos(x 2 ) dx

18 Descomposición en elementos simples Los distintos casos P(x) dx P, Q polinomios Q(x) Si grado(p) grado (Q) dividimos los polinomios: P(x) R(x) P(x)=Q(x)C(x)+R(x) Q(x) dx= C(x) dx+ Q(x) dx R(x) dx con grado(r(x))< grado (Q(x)): Q(x) I) Comprobamos que la integral no sea inmediata: 2x+5 Tipo ln: x 2 + 5x+3 dx=ln x2 + 5x+3 +C dx Tipo arctan: x dx= 1 arctan x +C 6 6 II) Si no lo es Haremos descomposición en fracciones simples.

19 Descomposición en elementos simples Descomposición en elementos simples Factor en el Término en la denominador descomposición en fracciones simples A x b x b (x b) k A 1 x b + A 2 (x b) A k (x b) k, k=1,2,3,... (x a) 2 + b 2 Ax+B (x a) 2 + b 2 ( (x a) 2 + b 2) k A 1 x+b 1 (x a) 2 + b A k x+b k ((x a) 2 + b 2 ) k, k=1,2,3,... Para cada factor en el denominador añadimos el término de la tabla y calculamos las incógnitas (A,B,A 1,B 1,A 2,B 2,...) igualando los denominadores. Después hay que hallar la integral de cada término.

20 Primitivas de las fracciones simples Descomposición en elementos simples Tipo 1: Tipo 2: Tipo 3: A x a dx=aln x a +C A dx=a(x a) n+1 (x a) n +C, n 1 n+1 Ax+B x 2 + px+q dx= A 2 A 2 2x+ p x 2 + px+q dx+ 2x+ p x 2 + px+q dx= A 2 ln x2 + px+q +C B Ap 2 x 2 + px+q dx B Ap 2 x 2 + px+q dx= B Ap 2 (x a) 2 + b 2 dx= B Ap 2 b ( x a arctan b ) +C

21 Descomposición en elementos simples 2x 5 2x 3 x 2 x dx=5ln x ln x 1 4ln 2x+1 +C 2x 3 2 x 3 3x 2 dx= + 3x 1 x (x 1) 2 +C 1 9x 4 + x 2 dx= 1 x 3arctan3x+C 2x 2 + 3x+2 x 3 + 4x 2 + 6x+4 dx=ln(x+2)2 arctan(x+1)+c

22 Integración de funciones trigonométricas Integración de funciones hiperbólicas Fórmulas trigonométricas fundamentales cos 2 ax+sin 2 ax=1 cos2ax=cos 2 ax sin 2 ax sin2ax=2sinaxcosax cos 2 ax= 1+cos2ax 2 sin 2 ax= 1 cos2ax 2 sinacosb= 2 1(sin(a+b)+sin(a b)) cosacosb= 1 2 (cos(a+b)+cos(a b)) sinasinb= 2 1(cos(a b)+cos(a+b)) 1+tan 2 ax= 1 cos 2 ax, 1+cot2 ax= 1 sin 2 ax Fórmula fundamental de la trigonometría Seno y coseno del ángulo doble Fórmulas de reducción de grado Fórmulas de conversión de productos de senos y cosenos en suma

23 Métodos de integración Integración de funciones trigonométricas Integración de funciones hiperbólicas sin 2n x dx, cos 2n x dx Fórmulas de reducción de grado sin 2n+1 x dx= cos 2n+1 x dx= sin 2n xsinx dx= cos 2n xcosx dx= (1 cos 2 x) n sinx dx (1 sin 2 x) n cosx dx cosmxsin px dx Fórmulas de conversión de productos de senos y cosenos en suma

24 Métodos de integración Integración de funciones trigonométricas Integración de funciones hiperbólicas R(sinx,cosx) dx Si R es: 1 impar en sinx t = cosx 2 impar en cosx t = sinx 3 par en cosx y sinx t = tanx 4 Resto de problemas t = tan(x/2), sinx= 2t 1 t2 2 1+t2, cosx= 1+t2, dx= 1+t 2 dt

25 Fórmulas fundamentales Integración de funciones trigonométricas Integración de funciones hiperbólicas cosh 2 ax sinh 2 ax=1 Fórmula fundamental cosh2ax=cosh 2 ax+sinh 2 ax Seno y coseno hiperbólico sinh2ax=2sinhaxcoshax del ángulo doble cosh 2 ax= cosh2ax+1 Fórmulas de reducción 2 sinh 2 ax= cosh2ax 1 de grado 2 sinhacoshb= 2 1(sinh(a+b)+sinh(a b)) Fórmulas de conversión de coshacoshb= 2 1(cosh(a+b)+cosh(a b)) productos de senos y sinhasinhb= 1 2 (cosh(a+b) cosh(a b)) cosenos hiperbólicos en suma 1 tanh 2 1 ax= cosh 2 ax

26 Métodos de integración Integración de funciones trigonométricas Integración de funciones hiperbólicas sinh 2n x dx, cosh 2n x dx Fórmulas de reducción de grado sinh 2n+1 x dx= cosh 2n+1 x dx= sinh 2n xsinhx dx= cosh 2n xcoshx dx= (cosh 2 x 1) n sinhx dx (1+sinh 2 x) n coshx dx cosh mx sinh px dx Fórmulas de conversión de productos de senos y cosenos hiperbólicos en suma

27 Integración de funciones trigonométricas Integración de funciones hiperbólicas sin 5 3x dx, cos 4 x 3 dx sin 2 3xcos 2 3x dx, cos 4 5xsin 3 5x dx cosh 4 x dx, sinh 2 xcosh 2 x dx 1 1+cos 2 x dx, 1 cosx cos 2 x

28 Integración de funciones irracionales cuadráticas Integración de algunas funciones irracionales cuadráticas Las integrales del tipo R(x, a 2 ± x 2 dx, R(x, x 2 a 2 dx con R función racional se reducen a alguno de los tipos analizados anteriormente mediante los siguientes cambios de variable: R(x, a 2 x 2 dx x=asint o x=acost R(x, a 2 + x 2 dx x=atant o x=asinht R(x, x 2 a 2 dx x=acosht o x= a cost

29 Integración de funciones irracionales cuadráticas Integración de otras funciones irracionales cuadráticas Las integrales del tipo ( ) R x, ax 2 + bx+c dx con R función racional se reducen a uno de los tipos analizados anteriormente mediante la transformación siguiente: (qx+r) 2 + p 2 ax 2 + bx+c= (qx+r) 2 p 2 p 2 (qx+r) 2

30 Integración de funciones irracionales cuadráticas 1 x 2 dx, 4x 2 1 dx x 2 + 2x+2 dx, x 2 2x+3 dx 1 x 2 4 x 2 dx, 1 x 2 4+x 2 dx