FUNCIONES ELEMENTALES.

Transcripción

1 Departamento de Análisis Matemático FUNCIONES ELEMENTALES.. Polinomios p : R R : p(x) = a n x n + +a x+a 0, x R, donde a 0,a,...,a n son constantes reales. Propiedades de los polinomios: a) p es continuo en todo R. b) p es derivable en todo R.. Funciones racionales Una función racional es el cociente de dos polinomios. Concretamente: sean p,q : R R dos polinomios y sea A = {x R : q(x) 0}. Se define la función racional R = p q : A R como R(x) = p(x) q(x) x A. Propiedades de las funciones racionales: a) R es continua en A. b) R es derivable en A. 3. Función exponencial f : R R : f(x) = e x, x R. También se escribe f(x) = exp(x). Propiedades de la función: a) f es continua en R. b) f es derivable en R, con f (x) = e x para todo x R.

2 Funciones elementales. c) f es estrictamente creciente. d) La imagen de f es R +. e) lím x ex = 0 y lím x + ex = +. f ) exp(x+y) = exp(x)exp(y) (e x+y = e x e y ). f(x) = e x Función logarítmica g : R + R, g(x) = log(x) x R +. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial: e log(x) = x y log(e x ) = x. Se suele utilizar la notación g(y) = logy o g(y) = lny (en desuso, pero que puedes encontrarla en algunos libros). Se lee logaritmo neperiano de y. Nota: Para nosotros los logaritmos siempre serán neperianos, es decir, con base e. Más adelante veremos la notación que vamos a usar para logaritmos con otra base. g(x) = log(x) e La función logaritmo tiene las siguientes propiedades: a) g es continua en R +.

3 Funciones elementales. 3 b) g es derivable en R +, con g (x) = x para todo x R. c) g es estrictamente creciente. d) lím logx = y lím logx = +. x 0 x + e) log(xy) = log(x)+log(y), x,y R +. ( x log = log(x) log(y), x,y R +. log ( x y) = ylog(x), x R +, y R. log = 0, log(e) =. Haciendo uso de la siguiente fórmula se deducen las propiedades de las funciones potenciales y exponenciales: a b = e log(ab) = e bloga, a R +, b R 5. Función exponencial de base a (a > 0, a ) f : R R f(x) = a x, x R. a) f continua en todo R y verifica a x+y = a x a y. b) f es derivable en todo R con f (x) = a x log(a) para todo x R. c) Si a >, f es estrictamente creciente y verifica lím x ax = 0 y lím x + ax = +. d) Si a <, f es estrictamente decreciente y verifica lím x ax = + y lím x + ax = 0. f(x) = a x, a > f(x) = a x, a <

4 Funciones elementales. 6. Función potencial de exponente b (b 0) f : R + R definida por f(x) = x b = e blogx, x R +. a) f es continua y verifica (xy) b = x b y b. b) f es derivable en todo R con f (x) = bx b para todo x R. c) Si b > 0, f es estrictamente creciente y d) Si b < 0, f es estrictamente decreciente y lím x 0 xb = 0 y lím x + xb = +. lím x 0 xb = + y lím x + xb = 0. 5 f(x) = x b, b > 0 00 f(x) = x b, b < Función logarítmica de base a (a ) g : R + R, g(x) = log a x = logx loga x R+. Tiene las siguientes propiedades: a) g es continua y derivable en R +, con g (x) = xloga para todo x R+. b) g es biyectiva de R + en R. Además g es la inversa de la función exponencial de base a, es decir, Verifica también que log a (xy) = log a (x)+log a (y), x,y R +. ( x ) log a = log y a (x) log a (y), x,y R +. ( log a x y ) = ylog a (x), x R +, y R. log a (a x ) = x y a log a x = x.

5 Funciones elementales. 5 c) Si a >, g es estrictamente creciente y lím log a x =, y x 0 d) Si a <, g es estrictamente decreciente y lím log a x = +, y x 0 lím log x + a x = +. lím log x + a x =. g(x) = log a (x), a > 5 g(x) = log a (x), a < a Funciones seno y coseno sen : R R, cos : R R verifican: f(x) = sen(x) f(x) = cos(x) a) Ambas funciones son continuas y derivables en todo R. Además, y d dx( cos(x) ) = sen(x) para todo x R. d ( ) sen(x) = cos(x) dx b) sen(x+) = senx, cos(x+) = cosx, x R (son periódicas de periodo ). c) sen x+cos x =, x R (fórmula fundamental de trigonometría ) d) cos : [0,] [,] es una biyección estrictamente decreciente con cos 0 =, cos = 0, cos =. e) sen : [, ] [,] es una biyección estrictamente creciente con sen =, sen0 = 0, sen =.

6 Funciones elementales. 6 f ) La imagen, tanto de la función seno como de la función coseno, es el intervalo [,]. g) cos( x) = cos x, x R (coseno es una función par). sen( x) = sen x, x R (seno es una función impar). h) cos(x+) = cosx, x R sen(x+) = sen x, x R. i) Las funciones seno y coseno no tienen límite en + ni en. j) cos(x+y) = cosxcosy senxseny, x,y R sen(x+y) = senxcosy+cosxseny, x,y R (Fórmulas de adición). 9. Función tangente Como se verifica que cosx = 0 x = + k, k Z entonces tg : A R, A = R \ { senx + K, K Z} definida por tgx = cosx, x A. 0 f(x) = tag(x) La función tg : A R es continua y derivable en todo A con d dx( tg(x) ) = + tg (x) = cos para todo x A. (x) a) tg(x+) = tgx, x A. b) tg :], [ R es una función estrictamente creciente y además verifica que lím x + tgx =, lím tgx = +. x 0. Funciones secante, cosecante y cotangente Como se verifica que senx = 0 x = k, k Z se define el conjunto B = R \ {k,k Z} y se pueden definir las funciones cosec : B R, cosecx = senx, x B

7 Funciones elementales. 7 sec : A R, secx = cosx, x A cotg : B R, cotgx = cosx senx, x B Las funciones sec, cosec y cotg son continuas y derivables en sus respectivos dominios de definición. Sus derivadas pueden calcularse usando las reglas usuales para derivar cocientes.. Función arcoseno Esta función es la inversa de la restricción de la función seno al intervalo [, ], y por tanto arcsen : [,] [, ] verificando que sen(arcsen(x)) = x, x [,]. Es biyectiva, continua y estrictamente creciente con arcsen( ) =, arcsen(0) = 0, arcsen() = La función arcoseno es derivable en ],[ con derivada d ( ) arcsen(x) = dx x x ],[. f(x) = arcsen(x) Función arcocoseno Es la función inversa de la restricción de la función coseno al intervalo [0,], y por tanto arccos : [,] [0,] verificando que cos(arccos(x)) = x, x [,].

8 Funciones elementales. 8 Esta función es biyectiva, continua y estrictamente decreciente con arccos( ) =, arccos(0) =, arccos() = 0 La función arcocoseno es derivable en ],[ con derivada d ( ) arccos(x) = dx x x ],[. f(x) = arccos(x) Función arcotangente Es la inversa de la restricción de la función tangente al intervalo ], [; y por tanto verificando que tg(arc tg(x)) = x, x R. arctg : R ], [ f(x) = arctg(x) Esta función es biyectiva, continua y estrictamente creciente con lím arctgx =, arctg0 = 0, lím x arctgx = x + La función arcoseno es derivable en todo R con derivada d ( ) arctg(x) = dx +x x ],[.

9 Funciones elementales. 9 Identidades trigonométricas Identidades pitagóricas sen (x)+cos (x) = tg (x)+ = sec (x) cotg (x)+ = cosec (x) Suma y diferencia de ángulos sen(x ± y) = senxcosy ± cosxseny Angulo doble cos(x ± y) = cosxcosy senxseny tg(x ± y) = tgx ± tgy tgxtgy senx = senxcosx cosx = cos x = sen x Angulo mitad sen x = ( cosx) cos x = (+cosx) Producto tg x = cosx senx = senx +cosx senxseny = [cos(x y) cos(x+y)]. Funciones hiperbólicas Se definen senh,cosh : R R como cosxcosy = [cos(x y)+cos(x+y)] senxcosy = [sen(x+y)+sen(x y)] senh(x) = ex e x, cosh(x) = ex + e x

10 Funciones elementales. 0 a) Las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico son continuas y derivables en todo R, con derivada: (senh(x)) = cosh(x) (cosh(x)) = senh(x) x R. b) senh(r) = R, cosh(r) = [, + [. La función tangente hiperbólica, tgh : R R, se define como tgh(x) = senh(x) cosh(x) = ex e x e x + e x. La función tgh es continua y derivable en todo R con d ( ) tgh(x) = tgh (x) = dx cosh (x) x R. También se tiene que tgh(r) =],[. 0 f(x) = senh(x) 0 g(x) = cosh(x) g(x) = tgh(x) Por analogía con las funciones trigonométricas hablaremos de cotangente hiperbólica, secante y cosecante hiperbólica. Identidades hiperbólicas cosh (x) senh (x) = tgh (x)+sech (x) = cotgh (x) cosech (x) = senh(x+y) = senh(x)cosh(y)+cosh(x)senh(y) senh(x y) = senh(x)cosh(y) cosh(x)senh(y) cosh(x+y) = cosh(x)cosh(y)+senh(x)senh(y) cosh(x y) = cosh(x)cosh(y) senh(x)senh(y) senh (x) = +cosh(x) cosh (x) = +cosh(x)

11 Funciones elementales. 5. Funciones hiperbólicas inversas La función seno hiperbólico es una biyección de R sobre R cuya inversa, representada por, argsenh, (léase argumento seno hiperbólico) viene dada por: argsenhx = log(x+ x + ) (x R) La función tangente hiperbólica es una biyección de R sobre el intervalo ],[ cuya inversa, representada por, argtgh, (léase argumento tangente hiperbólica) es la función definida en el intervalo ],[ por: argtghx = ( ) +x log x ( < x < ) La función coseno hiperbólico es inyectiva en R + o y su imagen es la semirrecta [,+ [. La función, definida en [,+ [, que a cada número x asigna el único número y > 0 tal que cosh y = x, se llama argumento coseno hiperbólico, se representa por, argcosh, y viene dada por: argcoshx = log(x+ x ) (x ) y = argsenhx y = argcoshx 3 y = argtghx - - -