Integrales indefinidas. Teoremas 2º Bachillerato. Editorial SM

Transcripción

1 Integrales indefinidas. Teoremas º Bachillerato Editorial SM

2 Esquema

3 Primitiva de una función La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I si G'(x) = f(x) para todo x del intervalo I. Ejemplo: la función F(x) = x4 4 es una primitiva de f(x) ya que F '(x) = x3. También la función G(x) = x4 + es una primitiva de f. Ambas en 4 cualquier intervalo de la recta real.

4 Integral indefinida Se llama integral indefinida de una función f(x) en un intervalo I al conjunto de todas las primitivas de la función f en el intervalo I. Se escribe f(x) dx, y se lee «integral de f(x)» Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) son de la forma G(x) + C, donde C es una constante arbitraria que puede ser cualquier número real. Ejemplo: la integral indefinida de f(x) = e x es G(x) = e x + C, donde C es una constante. Se expresa de la siguiente manera: e x dx = e x + C

5 Las primitivas se diferencian en una constante Derivando Integrando

6 Propiedades de la integral indefinida Propiedades de la derivada I (kf )' (x) = k f '(x) con k R La derivada de una constante por una función es el producto de la constante por la derivada de la función. Propiedades de la integral indefinida I k f(x) dx = k f(x) dx con k R Las constantes pueden salir y entrar fuera del signo de la integral indefinida. II (f ± g) ' (x) = f ' (x) ± g ' (x) La derivada de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las derivadas de cada una de ellas. II [ f(x) ± g(x)] dx = f(x) dx ± g(x) dx La integral indefinida de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las integrales indefinidas.

7 Integrales inmediatas Integrales inmediatas: una tabla de derivadas leída al revés proporciona primitivas e integrales indefinidas. 1.- x a dx = xa+1 a+1 + C, si a -1, a R.- 1 x dx = ln x + C 3.- e x dx = e x + C x 4.- a x a = ln a + C, si a>0, a sen x dx = cos x + C 6.- cos x dx = sen x + C ( ) 1 x 1 1+ x dx = arcsen x + C 8.- arctg ( ) dx = x + C

8 Integrales inmediatas para funciones compuestas x r x r+1 dx = r C, para cualquier constante r 1 Tipo general f '(x) [f(x)] r dx = [f(x)]r+1 r C para r -1 Ejemplo: 1 cos x sen 3 x dx = 1 cos x sen 3 x dx = sen 4 x 4 = 1 8 sen4 x + C

9 Integrales inmediatas para funciones compuestas 1 x dx = ln x + C Tipo general f'( x) dx f ( x) = ln f(x) + C Ejemplo: tg 3x dx = sen 3x cos 3x dx = 1 ln cos 3x + C 3

10 Integrales inmediatas para funciones compuestas a x a x dx = + C, para cualquier a > 0 ln a Para a = e se obtiene e x dx = e x + C Tipo general f '(x) a f(x) dx = af(x) ln a + C, para a > 0 Ejemplo: x e x3 dx = 1 3 3x e x3 dx = 1 3 ex3 + C

11 Integrales inmediatas para funciones compuestas sen x dx = cos x + C Tipo general f '(x) sen f(x) dx = cos f(x) + C Ejemplo: e 3x sen (e 3x + 5) dx = e 3x sen (e 3x + 5) dx = 1 3 cos (e3x + 5) + C

12 Integrales inmediatas para funciones compuestas cos x dx = sen x + C Tipo general f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C Ejemplo: e 7x cos (e 7x + 5) dx = e7x cos (e 7x + 5) dx = 1 7 sen (e7x + 5) + C

13 Integrales inmediatas para funciones compuestas 1 1 x dx = arcsen( x) + C Tipo general g '(x) 1 - [g(x)] dx = arcsen g(x) + C Ejemplo: e 3x 1 e 6x dx = e 3x 1 (e 3x ) dx = 1 3 3e 3x 1 (e 3x ) dx = 1 3 arcsen e3x + C

14 Integrales inmediatas para funciones compuestas x dx = arctg x + C Tipo general f( ʹ x) ( x ) 1+ f( ) dx = arctg( x) + C Ejemplo: x dx = ( x) dx = ( x) dx = arctg ( x ) + C

15 Integración por partes Si f y g son dos funciones derivables con derivadas continuas se tiene: f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) g(x)f '(x) dx Es muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación abreviada que se obtiene poniendo: u = f(x), dv = g '(x)dx, v = g(x) y du = f ' (x) dx: u dv = uv v du Consejos 1. Llamar gʹ a una función de la que sea cómodo obtener g.. Si es cómodo obtener g sea cual fuere la elección que hagamos para gʹ, llamar entonces gʹ a aquella que haga que f ʹg se más cómoda que f g ʹ.

16 Integración por partes: Ejemplos x e x dx = x e x e x x dx = x e x x e x dx = u = x du = x dx dv = e x. dx v = e x u = x du = dx dv = e x. dx v = e x = x e x [xe x e x dx ] = e x (x x + ) + C sen(ln x). dx = u = sen (L x) du = cos(l x). (1/x). dx dv = dx v = x = x. sen(ln x) x cos(ln x) sen(ln x). dx x. sen (ln x) cos (ln x). dx = u = cos (L x) du = sen(l x). (1/x). dx dv = dx v = x Despejando la integral buscada queda: 1 sen(ln x). dx = x [sen(ln x) cos(ln x)] + C

17 Integración por sustitución o cambio de variable Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene: (F o g)'(x) =F(g(x)) = F '[g(x)] g'(x) = f[g(x)] g'(x) Por lo que la integral del elemento final es: f[g(x)]g'(x) dx = F[g(x)] + C Si se escribe u = g(x), Con esta sustitución se tiene entonces du = g' (x) dx. f(u) du = F(u) + C

18 Integración por sustitución: Ejemplos I Para calcular una integral por cambio de variable: Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral inmediata. Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial mediante. du = g'(x) dx Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final. 1 x ln x dx 1/ x = dx Lnx = 1 u du = ln u + C = ln ln x + C deshacer el cambio Cambio ln x = u dx / x = du

19 Integración por sustitución: Ejemplos II x 3 x 4 + dx = u du 4 Cambio x 4 + = u 4x 3. dx = du x 3 dx = du/4 deshacer el cambio sen 3 x. cos x dx = 1 t 3. dt = 1 t C = 1 8 sen4 x + C Cambio sen x = t cos x. dx = dt cos x dx = dt/ deshacer el cambio

20 Integración de funciones racionales Pretendemos obtener P(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que Q(x) grad[p(x)] = m y grad[q(x)] = n Caso 1: m n. Veremos que este caso se puede convertir al Caso. Como m n, es posible la división entera entre P(x) y Q(x) P(x) Q(x) R(x) C(x) P(x) = C(x). Q(x) + R(x) P(x) Q(x) con grad[r(x)] < grad[q(x)] Por tanto: P(x) Q(x) dx = C(x).dx + R(x) Q(x) dx = C(x) + R(x) Q(x) En donde la primera integral es inmediata y la segunda corresponde al Caso Caso : m < n. Entonces la integral se hace por descomposición en fracciones simples.

21 Descomposición en fracciones simples I Pretendemos obtener P(x) Q(x) Paso 1. Factorización del polinomio Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que grad[p(x)] = m < grad[q(x)] = n Supongamos que es posible factorizar el polinomio Q(x). Ello equivale a resolver la ecuación Q(x) = 0. Supongamos que la ecuación Q(x) = 0 tiene: Soluciones reales sencillas (por ejemplo x 1 ). Soluciones reales múltiples (por ejemplo x con orden de multiplicidad ). Soluciones complejas sencillas (por ejemplo tiene dos soluciones, que son necesariamente conjugadas). El caso soluciones complejas múltiples no se estudia. Por ej. Si tiene una raíz simple una doble y dos complejas conjugadas, entonces dicho polinomio se factoriza de la siguiente manera: Q(x) = a o (x x 1 ). (x x ). (x + bx + c) tal que a o es el coeficiente del término de mayor grado. P(x) Q(x) dx = 1 a o P(x) (x x 1 ). (x x ). (x + bx + c) dx =

22 Descomposición en fracciones simples II Paso. Descomponer el integrando en fracciones simples P(x) (x x 1 ). (x x ). (x + bx + c) = A x x 1 + B (x x ) + C + x x Mx + N x + bx + c Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados Proceso de cálculo: Eliminar denominadores en la igualdad anterior, para obtener una identidad polinómica. Dar valores numéricos cualesquiera, tantos como coeficientes indeterminados (en el ejemplo 5: x 1, x y 3 valores más). Resolver el sistema.

23 Descomposición en fracciones simples: ejemplo Descomponer en fracciones simples: x + x + 1 x 5 x 4 x + 1 Paso 1. Factorización del polinomio denominador Por Ruffini obtenemos: x 5 x 4 x + 1 = (x + 1). (x 1). (x + 1) Paso. Descomponer en fracciones simples x + x + 1 x 5 x 4 x + 1 = A x B (x 1) + C x 1 + Mx + N x + 1 Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados x + x + 1= A(x 1) (x +1) + B(x+1)(x +1) + C(x 1)(x+1)(x +1) + (Mx+N) (x+1)(x 1) x=1 B=3/4 x= 1 A=1/8 x=0 C + N = 1/8 x= 5C+M+N = 13/8 x= 5C+6M 3N = 3/8 Y de aquí: A = 1/8; B = 3/4; N = 1/4; C = 3/8; M = 1/4

24 Integrales racionales con denominador de grado Estudio de la integral Mx + N ax + bx + c dx Sea D el discriminante del denominador: D = b 4ac Si la derivada del denominador es el numerador salvo una constante, la integral podrá ser resuelta como inmediata tipo neperiano. En caso contrario: Si D 0 la integral se obtiene por descomposición en fracciones simples. Si D < 0 la integral es tipo neperiano + arco tangente. Pasos para su obtención: M 0 Paso 1: se busca la derivada del denominador en el numerador. Paso : como consecuencia se puede descomponer la integral en suma de otras dos: la primera es inmediata (neperiano) y la segunda es tipo arco tangente. M = 0 (Cálculo de la integral tipo arco tangente). Paso3: se convierte el denominador en un número (k) más un binomio al cuadrado (cosa que es posible por ser D < 0). Si previamente se multiplica por 4a se evitan los números fraccionarios. Paso 4: se convierte el denominador en la unidad más una función al cuadrado (sacando factor común k en el denominador), ajustamos con constantes, e integramos como inmediata tipo arco tangente

25 Integración de funciones trigonométricas: fórmulas Fórmulas trigonométricas fundamentales sen px + cos Fórmula fundamental de la px = 1 trigonometría. sen px = sen px. cos px cos px = cos px sen px cos 1 + cos px px = sen 1 cos px px = Seno y coseno del ángulo doble. Fórmulas de reducción de grado. sen a. cos b = 1 sen (a + b) + 1 sen (a b) cos a. cos b = 1 cos (a + b) + 1 cos (a b) sen a. sen b = 1 cos (a + b) + 1 cos (a b) sen ( px) = sen px cos ( px) = cos px 1 + tg px = sec px; 1 + ctg px = csc px Fórmulas de conversión de productos de senos y cosenos en suma. Seno y coseno del ángulo opuesto.

26 Integración de funciones trigonométricas: métodos Forma (I) sen n px dx cos n px dx Condiciones Método n par n impar m y n pares Reducir el grado del integrando por medio de las fórmulas de reducción de grado (3), según convenga. Sacar un factor (seno o coseno) de la potencia sustituyendo en el resto de la potencia la relación 1. Al desarrollar la potencia se obtienen integrales inmediatas tipo potencial. Reducir el grado del integrando aplicando las fórmulas 3. (II) sen n px. cos n px dx m ó n impares De la potencia de exponente impar se saca un factor, sustituyendo en el resto de la potencia la relación 1. Al desarrollar la potencia se obtienen integrales inmediatas tipo potencial. Caso particular à Si m = n Aplicar la relación (a) para obtener: sen n px. cos n px dx = 1 n sen n px dx que es del tipo (I).

27 Integración de funciones trigonométricas: métodos II Forma (III) sen px.cos qx.dx sen px.sen qx.dx cos px.cos qx..dx Condiciones Método p y q números reales cualesquiera Convertir los productos en sumas mediante la relaciones 4 según convenga.

28 Integración de funciones trigonométricas: ejemplos I Tipo I. Exponente impar sen 5 3x.dx = (sen 3x) sen 3x.dx = (1 cos 3x) sen 3x.dx = = sen3x.dx + cos 4 3x sen 3x.dx cos 3x sen 3x.dx = = 1 3 cos 3x - 9 cos 3 3x cos 5 3x+C Tipo I. Exponente par sen 4 x 3 dx = cos x sen x 3 cosx 3 dx = 1 cos x 3 dx = 3 dx = = dx + 4 = 1 4 x cos 4x 3 cos x 3 dx 1 4 dx 3 4 cos x 3 dx = sen x 3 = 3x sen x sen 4x 3 + C

29 Integración de funciones trigonométricas: ejemplos II Tipo II. Al menos un exponente impar cos 4 5x.sen 3 5xdx = cos 4 5x. sen 5x.sen 5x. dx = cos 4 5x. (1 cos 5x).sen 5x.dx = = cos 4 5x.sen 5x.dx cos 6 5x.sen 5x.dx = = 1 5 cos5 5x cos7 5x + C Tipo II. Todos los exponentes pares ( 1 cos 6x) ( 1 cos 6x) ( 1 cos 6x) ( 1 cos 6x) ( 1 + cos 6x) sen 4 3x.cos 3x.dx = (sen 3x).cos 3x.dx = 1 cos 6x 1 + cos 6x dx = = 1 (1 cos 6x)(1 cos 8 6x) dx = = 1 8 sen 6x dx 1 8 sen 6x.cos 6x.dx = = cos 1x dx 1 sen 3 6x = 48 3 x = sen3 6x sen 1x + C 19 sen 6x

30 Integración de funciones trigonométricas: ejemplos III Tipo III: Producto de funciones con distinto argumento Para resolverlas hay que utilizar las fórmulas de trasformación de sumas en productos sen 3x.cos 5x.dx = 1 sen 8x.dx + 1 sen( x).dx = = 1 16 cos 8x cos( x) + C == 1 16 cos 8x cos x + C

31 Cálculo de áreas En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área encerrada por varias curvas. Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las abcisas x = a, x = b. Área (Trapecio rectilíneo) = f(a) + f(b) =. (b a) Área (Trapecio curvilíneo) f(a) + f(b). (b a) Error