Unidad Temática Cálculo de primitivas

Transcripción

1 Unidad Temática Análisis Matemático (Ingeniería Informática) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Informática Universidad Politécnica de Valencia

2 Contenidos 1 Integración

3 Primitiva Integración Definición (primitiva) Sea f : [a,b] R una función continua en [a,b]. Diremos que la funciónn F es una primitiva de f si F (x) = f (x), para todo x [a,b]. Definición (integral indefinida) Al conjunto de todas las primitivas de F se le llama integral indefinida de f y se representa como f (x)dx = F (x) + C. Teorema (fundamental del cálculo integral) Si F y G son dos primitivas de f, entonces se verifica que F (x) G(x) = C, donde C es una constante arbitraria.

4 Propiedades de las primitvas Integración Dadas las funciones f,g y α,β R, el cálculo de primitivas 1 es la operación inversa de la derivación: ( ) f (x)dx = f (x), es lineal: (αf (x) + βg(x))dx = α f (x)dx + β g(x)dx.

5 inmediata Integración dx = x + C f (x) n f (x)dx = f (x)n+1 n+1 + C si n 1. f (x) dx = log( f (x) ) + C f (x) e f (x) f (x)dx = e f (x) + C a f (x) f (x) af (x)dx = + C siendo a R+ log(a) cos(f (x))f (x)dx = sin(f (x)) + C sin(f (x))f (x)dx = cos(f (x)) + C f (x) cos f (x) dx = (1 + tan f (x))f (x)dx = tan(f (x)) + C f (x) dx = arcsin(f (x)) + C = arccos(f (x)) + C) 1 f (x) f (x) 1+f (x) dx = arctan(f (x)) + C

6 Integración por cambio de variable Dada la integral f (x)dx, consideremos una función x = u(t) que admita una función inversa t = u 1 (x), cuya derivada sea continua y no nula (para que sea inyectiva). Entonces, podemos calcular la integral respecto de la variable de esta nueva función como sigue: f (x)dx = f (u(t))u (t)dt, ya que dx = u (t)dt. Por tanto si f (u(t))u (t)dt = F (t) + C, deshaciendo el cambio de variable tenemos f (x)dx = F (u 1 (x)) + C.

7 Integración Dadas dos funciones u(x) y v(x), recordemos la derivada del producto (u(x)v(x)) dx = u (x)v(x)dx + u(x)v (x)dx. Integrando en ambos lados de la igualdad obtenemos: uv = vdu + udv, donde du = u (x)dx y dv = v (x)dx. Por tanto: udv = uv vdu. que es la regla de integración por partes.

8 Dados los polinomios P(x) y Q(x), para resolver la integral distinguiremos dos casos: 1 Grado P(x) Grado Q(x), entonces P(x) Q(x) dx = C(x) + R(x) Q(x) dx, P(x) Q(x) dx donde C(x) es el cociente resultante de hacer la división de polinomios P(x) Q(x) y R(x) es el resto de esa división, de manera que R(x) dx es una Q(x) integral del siguiente caso. Grado P(x) < Grado Q(x). Se descompone como P(x) en una suma de Q(x) fracciones simples, según el tipo de raícesces del polinomio Q(x).

9 donde P(x) Q(x) = A x x 1 A n +... x x n + B 1, B 1,k x y 1 (x y 1 ) k B m, x y m + M 1x + N 1 a 1 x M px + N p + b 1 x + c 1 a p x + b p x + c p 1 A i,b i,j,m i,n i son constantes, x i son las raíces reales simples de Q(x), 3 y i son las raíces múltiples con multiplicidad k i, y B m,k (x y m ) k +... m 4 a i x + b i x + c i representan las parejas de raíces complejas conjugadas y simples de Q(x).

10 Integración de algunas funciones irracionales Algunas integrales donde aparece raíces cuadradas, podemos resolverlas mediante los siguientes cambios de variable. Si a,b R + 1 Si aparece el factor a bx haremos el cambio bx = asin (t). En el caso de tener el factor ax + b utilizaremos el cambio ax = b tan (t). 3 Por último, si aparece el factor ax b utilitzaremos el cambio ax = b sec (t). Si tenemos que integrar una función de la forma: ( ) ax + b ax + b F x, n cx + d,..., m, cx + d podemos transformarla en una función racional mediante el cambio t M = ax+b cx+d donde M = m.c.m.(n,...,m).

11 1. Si tenemos que integrar funciones de la forma sin n (x)cos m (x)dx, donde m y n son naturales, distinguiremos varios casos: 1.1. Si m y n son pares, utilizamos las fórmulas sin(x) = sin(x)cos(x) cos(x) = cos (x) sin (x) para obtener: 1.. En otro caso sin (x) = 1 cos(x), cos (x) = 1 + cos(x) 1 Si m es impar hacemos el cambio t = sin(x) Si n es impar hacemos el cambio t = cos(x) 3 Si ambos son impares, cualquiera de estos cambios sirve.

12 . Para integrar funciones de la forma sin(ax) cos(bx)dx, sin(ax) sin(bx)dx, cos(ax) cos(bx)dx, donde a y b son reales, utilizamos las fórmulas: sin(ax)cos(bx) = 1 (sin(a b)x + sin(a + b)x) sin(ax)sin(bx) = 1 (cos(a b)x cos(a + b)x) cos(ax)cos(bx) = 1 (cos(a b)x + cos(a + b)x)

13 3. Para integrar funciones racionales de funciones trigonométricas, es decir: hacemos el cambio de variable t = tan P(sin(x),cos(x)) Q(sin(x),cos(x)) dx, ( x ), donde: sin(x) = t t + 1, 1 t dt cos(x) = t, dx = t.