Linealidad. f, para toda función f ytodoescalarα. Primitivas de tipo inmediato. n+1 [f(x)] n f 0 (x)dx = [f(x)]n+1 + K dx =log x + K.

Transcripción

1 Tabla de primitivas Linealidad (f + g) = f + g αf = α f, para toda función f todoescalarα Primitivas de tipo inmediato Potencia Logaritmo Eponencial Trigonométricas n d = n+ n+ [f()] n f ()d = [f()]n+ n+ d =log f () d =log f() f() e d = e e f() f ()d = e f() cos d =sin cos[f()]f ()d =sin[f()] sin d = cos sin[f()]f ()d = cos[f()] Hiperbólicas d =tan f () d =tan[f()] cos cos [f()] d = cot f () d = cot[f()] sin sin [f()] cosh d =sinh cosh[f()]f ()d =sinh[f()] sinh d =cosh sinh[f()]f ()d =cosh[f()] Arco-argumento d =arcsin f () [f()] f () d =arcsin[f()] d = arctan d = arctan[f()] + +[f()] + d =argsinh f () d =argsinh[f()] +[f()] d =argcosh f () d =argcosh[f()] [f()] Nota: En todos los casos se supone que f es una función derivable. además se supone que n es un número real distinto de. En el primer apartado

2 sin 6 d = d = d = = 9 d = 9 d = 9 = 6 ( ) + ( ) q ( ) d = ( ) d = = + = ( ) d = ( ) d = ( ) 6 = ( ) d = 8 d = log arcsin d = (arcsin ) d = arcsin 8 log d = log 9 sin d = sin d = cos (a 6= ) cos(a)sin (a)d = a a cos(a)sin (a)d = sin (a) = a a sin (a)+k sin cos d = (sin ) cosd = sin =sin cos d = [sin ] cos d = [sin ] = sin cos sin d = sin(cos ) d = (cos ) + = (cos ) + = cos 6tand =6 sin d = 6 sin d = 6 log cos cos cos sinh d = sinh ( )d = cosh = cosh 6 cosh sinh d = cosh (sinh ) d = sinh 6 e d = e d = e 8 e d = e d = e 9 ( )d = ( )d = sin( )d = sin( )d = cos( )+K sin( )d = sin( )d = cos( )+K cos()d = cos()d = sin()+k d = d = d = = 6 d = d = log Ajuste de cuadrados En algunas integrales, como las que se reducen al tipo arcoseno arcotangente, conviene ajustar la epresión cuadrática adecuadamente. Algunos casos en los que puede ser útil esta transformación son en integrales de los siguiente tipos: a + b + c d a + b + c d con a 6=. Nota: Para utilizar este método en el segundo tipo de integral debe ocurrir que el polinomio no tenga raíces reales (tendrá raíces complejas conjugadas).

3 Sacando factor común a la epresión se puede poner como suma o diferencia de cuadrados de la forma ± + b + c = P ± ( + N) El cálculo ahora de los coeficientes que aparecen se hace sin más que desarrollar el cuadrado que ha a la derecha e igualar término a término ambas epresiones polinonómicas. Los pasos a seguir en estos tiposdeintegralesson: a b c d e f g. Poner el polinomio como suma o diferencia de cuadrados (como se acaba de indicar).. Dividir numerador denominador entre el coeficiente adecuado para que el término independiente P sea.. Ajustar la epresión para que el integrando sea la derivada del arco o del argumento correspondiente (también puede combinarse esto con algún cambio de variable, como veremos después). d = d = + + d = 9+ 9(+ d = d = )d = 9 + () d = +( ) d = d = 8 9 d = q ( 9 ) d = ++6 d = ++ d = + d = +( ) d = () d = = ( ) arctan +( ) d = arctan arcsin d (+) + = d = d = +(+) [+( + ) ] 9 d = = +(+ ) 9 +( + ) h d = (+) d = q i [ (+) ] 8 d = 6 (+6) d = d = arctan +( ) ( ) d = arcsin +( + ) d = arctan + d = + arctan( )+K +( + ) d = ( d = + ) 6 ( +6 8 ) d = ( + ) d =arcsin(+ )+K 8 d = +6 arcsin( )+K ( +6 8 ) 8 Ejemplo g (obtener la suma de cuadrados): + +=( + + ) Para descomponer este polinomio planteamos la igualdad + + = P +( + N) = P + +N+ N Así, si identificamos los términos del mismo grado tendremos que =N = P + N Entonces vamos deduciendo las siguientes igualdades =N N = = + P P = 9

4 En conclusión obtenemos los valores de los coeficientes los signos + + =( + ) + 9 = 9 +( + ) portanto + +=( + + )=[9 +( + ) ] Ejemplo i (obtener la diferencia de cuadrados): 8 =(8 ) 8 = P ( + N) = P N N (el signo negativo que lleva delante el cuadrado del binomio ( + N) se debe al signo del coeficiente de del polinomio 8 ). Así, si identificamos los términos del mismo grado tendremos que = N 8 = P N Entonces vamos deduciendo las siguientes igualdades N =6 8 = P 6 P =6 En conclusión obtenemos los valores de los coeficientes 8 =6 ( +6) Tipo logaritmo+arcotangente Son similares de las que se reducen al tipo arcotangente pero con un factor en el numerador. Esto da lugar a un sumando cua integral es de tipo logarítmico (que se suma al de tipo arcotangente). j) d = d + d = k) 8 d = 8 d = +( ) 8 +( ) 8 = 8 d l) + d = + d = = log = log m) + d = + d = + + = log + + arctan d d = log arctan 8 d = +( ) 8 8 d + +( ) 8 d = +( ) d = log +( +( ) 8 ) arctan( ) d = +6 d d = (+) d = log [+( + ) ] d = d = log +( + ) arctan( )+K d + + d = + d + + +( ) d = Nota: En el caso logaritmo+arcotangente, por consiguiente, en el caso arcotangente (por ser un caso particular) es necesario que el polinomio de grado que aparece en el denominador sea irreducible, o lo que es lo mismo, que tenga raíces complejas.

5 Método de integración por partes Z udv = uv Z vdu Nota: Esta fórmula puede ser de utilidad cuando en el integrando nos aparece un producto de dos funciones (f g ), de modo que la integral que resulta de multiplicar una primitiva de una de ellas (de g ) por la derivada de la otra (de f) es más sencilla de calcular. Por ejemplo cuando f es un polinomio g es e, cos o sin ; o cuando f es un logaritmo, un arco o un argumento, g es un polinomio. En la fórmula anterior hacemos la identificación u = f(),dv = g ()d A) En la integral e d poniendo u = dv = e d du = d v = e d = e e d = e e d = e e = e ( ) B) En la integral C) En la integral log d poniendo u =log dv = d du = d log d =log d = log d = v = d = log arctan d poniendo u = arctan dv = d du = d + v = d = arctan d = arctan d = arctan + D) En la integral d = arctan log + + cos d poniendo u = dv =cosd du =d v = cos d = sin cos d = sin sin d = sin sin d En esta última integral poniendo u = dv =sind du = d v = sin d = cos α sin d = ( cos ) ( cos )d = cos α + sin 9 En conclusión se tiene que cos d = sin sin d = = sin ( cos α + sin )+K = 9 sin + cos sin 9 Integrales definidas Heaquíalgunosejemplossencillosdeintegralesdefinidas: i ii iii iv π cos d = e e d = e d = [e ] = [e6 ] ( )d =[ ] =[( ) ] = π cosd = [sin ] π = [sin π sin ] = [ ] = e a d =[alog + ] =[alog e a log ] = a =a +