CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL INDEFINIDA
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- Samuel Espinoza Duarte
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1 CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL INDEFINIDA Función primitiva : Una función F( se dice que es primitiva de otra función f( cuando F'( f( Por ejemplo F( es primitiva de f( Otra primitiva de f( podría ser F( + 5, o en general, F( + C, donde C es una constante. Por lo tanto una función f( tiene infinitas primitivas. Al conjunto de todas las funciones primitivas se le llama integral indefinida y se representa por d d F( + C F'( f( Propiedades de la integral indefinida : ª g( d d + g( d cos d d + cosd ª k d k d 5 d 5 d 5 Ln + sen 4 sen 4 sen 4 sen ( cos d d d 4 4 Integrales inmediatas : n n n n d C para n f f d C n ( '( n d Ln C f'( d Lnf C f ( ( f log e d C a log '( a log a e d log a C f ( f ( a Lna d a C a f'( Lna d a C f ( f ( e d e C e f'( d e C d C f'( f d f ( ( C n f'( d C d n f C n n ( n n n n sen d cos C sen f'( d cos C
2 cos d sen C cos f'( d sen C '( tg tg ( cos d C f cos d f C '( cot cot ( sen d g C f d gf C sen sen sen ( sec '( sec ( cos d C f cos f d f C cos cos ( cos '( cos ( sen d ec C f f d ecf C sen d C f'( arcsen d C f'( arccos d C f'( arctg d arc g C f'( cot d arcsen C d arccos C d arctg C d arc cot g C f arc C arc f C '( sec f f sec ( ( ( f'( arccos ec C arccos ec C Integración por partes : Puesto que dy y' d las propiedades de la diferencial deben ser las mismas que las de las derivadas, por ejemplo : d( u+v (u+v' d ( u' +v' d u' d + v' d du +dv d(u v (u v' d (u'v+v'u d u'v d + v'u d vdu + udv Si nos quedamos con esta última propiedad : d(u v v du + u dv u dv d(u v - v du u dv d( u v v du Puesto que d f'( d (salvo una constante que se pone al final entonces : u e d dv u du d u dv u v v du
3 dv e d dv v e d e e d e - e d e - e + C 4 Casos que se suelen resolver : n n n sen d e d ln d e sen d n arctg d arctgd Lnd etc. Integración de funciones racionales I Pueden ocurrir tres casos : º grado numerador > grado denominador º grado numerador grado denominador º grado numerador < grado denominador Los tres casos se reducen al º ya que si recordamos las propiedades del cociente : P( Q( R( C( P( Q( C( + R( P ( R( C( R( C( donde la integral de C( es inmediata y R( es un polinomio de menor grado que Q( y por lo tanto estamos en el tercer caso Ln( + C Para resolver el er caso debemos de factorizar el denominador y puede ocurrir : º Que el denominador tenga raíces reales simples : A B A ( B ( ( ( ( ( ( ( Si igualamos P( A ( B ( se calcula A y B comparando coeficientes o dándole valores a la Al final tendremos : A B ( ( ALn( BLn( C
4 7 9 d ( ( ( A B C A ( ( B ( ( C ( ( ( ( ( A( B( C( ( ( ( ( A B C ( A B ( A B C ( ( ( Comparando el principio con el final obtenemos : A + B + C - A + B 7 A + B -C 9 A + B + C - A + B 7 A B C 4 A + B - C Con lo que queda : d d d Ln(+ + Ln(- -4Ln(+ + C 4 d º Que el denominador tenga raíces reales múltiples : A B C D ( ( ( ( ( ( A ( B ( ( C ( ( D ( ( ( Igualando el principio con el final : P( A ( B ( ( C ( ( D ( Calculamos los coeficientes A, B, C y D. Resolvemos la siguiente integral : A B C D ( ( ( ( ( ALn BLn C ( D ( ( ALn( BLn( C D ( (
5 ( ( A B C ( ( A( B C ( ( ( A B ( A B C ( A B C ( ( ( ( + ( A B ( A B C ( A B C A, B- y C- Ln(- - Ln(+ - º Que el denominador tenga raíces reales complejas sencillas : Si al intentar resolver una ecuación de º grado nos sale una raíz negativa se dice que no tiene solución real, pero sí compleja. El denominador complejo debemos de ponerlo de la forma (-a + b y resolver la integral de la siguiente forma : A B a partir de aquí nos saldrá como solución un Ln y una arctg. ( - a + b 4 4 no tiene raíces reales por lo que igualamos 4 (-a + b 4 -a + a + b a -, b 4 A B en este caso se ve directamente que A y B Ln( Esta última integral se resuelve como una arctg : arctg Luego la solución final es Ln( arctg + C Ejemplo resumen : + C
6 5 4 6 A B C D E donde tendríamos que ( ( ( ( calcular A, B, C, D, E y después resolver cada una de las integrales. Integración por cambio de variable o sustitución Sea d donde a su vez g(t Si recordamos que la diferencial dy y' d dy( y'( d entonces si g(t d dg(t g'(t dt por lo que : d f( g( t g'( t dt Se pueden presentar los siguientes casos : º Tipo irracional : se resuelve por un cambio de variable que haga desaparecer todas las raíces. d Hacemos la sustitución - t + t d t dt d t t t dt dt arctg t t tdt t t arctg + C d sustitución t 6 d 6t 5 dt 6 t d t 6t 6t dt 6 6 dt t t t t dt t 6 t t dt t dt 6 t t t Ln( t deshaciendo el cambio Ln( + C º Tipo eponencial o logarítmica: sustitución a f( t ó logf( t e d sustitución e t Ln t d e t dt e t d e t t dt dt arctg t arctg e t
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