Cálculo Integral: Guía II

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1 00 Cálculo Integral: Guía II Profr. Luis Alfonso Rondero García INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica /0/00

2 Integración de Potencias de Funciones Trigonométricas. Cuando las integrales presentan potencias de funciones trigonométricas es necesario utilizar diferentes identidades que permitan obtener una nueva epresión trigonométrica más sencilla para facilitar la integración. Las identidades más empleadas son: Sen + Cos = Sec - Tg = Csc - Ctg = Sen = Cos Cos = Cos Integrales de potencias de la función Seno. Si las potencias son impares deberás emplear : Sen + Cos = de donde : Sen = - Cos Si las potencias son pares deberás emplear : Sen = Cos Ejemplos: a) sen d cos d d cos d du cos u cos udu u sen c du d En algunos tetos ésta solución se ve diferente porque se emplea la identidad del ángulo doble: Sen u = Sen u Cos u du d Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

3 sen sen cos sen cos c b) sen d sensen d sen cos d cos u du cos u u du cos cos cos c Integrales de potencias de la función Coseno. Si las potencias son impares deberás emplear : Sen + Cos = de donde : Cos = - Sen Si las potencias son pares deberás emplear : Cos = Cos Ejemplos: a) cos d Cos d d cos d = cos d Cos d d cos d du cos u du u du d d cos udu sen c Como: Sen u = Sen u Cos u sen cos c Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

4 b) cos d cos cos d cos sen d cos u sen u du sen sen sen c cos sen d u sen du cos d c Integrales de potencias de la función Tangente. Debes emplear : Identidad Pitagórica: Sec - Tan u = Diferencial de la tangente: d tanu = Sec u du a) tan udu b ) tan udu y la integral : tanudu lnsecu c Ejemplos: = = sec u du sec udu du tanu u ) = tanu tan udu tanusec u tanu sec udu tanudu du c Realizando cambio de variable en la primera integral: z tanu dz sec udu c) tan udu tan u sec u z zdz ln secu c ln secu c tan u ln secu c = tan u tan udu solo se sustituye una tangente cuadrada du tan usec udu z tanu z dz sec udu Profr. Luis Alfonso Rondero García Página tan udu z dz tan udu tan u u c tan u tan u u c

5 Integrales de potencias de la función Cotangente. Debes emplear: Identidad Pitagórica: Csc - Ctg u = Diferencial de la Cotangente: d Ctgu = - Csc u du Integral de la Cotangente: ctg udu ln senu c a) cot d csc d csc d d ctg b) cot d cot cot d cot csc d cot d u c) u ctg du csc du csc cot cot d d d csc ctg cot d cot cot Ln sen c d d u cot cot csc d c u du Lnsen udu Ln sen Ln sen csc u d du csc d u du csc d d u cot du csc du csc d d u csc cot c cot c Integrales de potencias de la función Secante y Cosecante. Las integrales de las potencias impares de la Secante y Cosecante no pueden resolverse por éste método; se resolverán más adelante con el Método de <Integración por Partes> solo pueden resolverse las potencias pares que no sean múltiplos de potencias impares, ya que se puede emplear: a) sec d tan c b) csc d ctg c Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

6 Ejemplo: Siendo u=tg & d tg= sec d tenemos Como en la cotangente tenemos: d ctg = -csc d & csc d ctg c Justifica ó demuestra que: = INTEGRACIÓN DE PRODUCTOS DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SENOS Y COSENOS: Potencia par del seno e impar del coseno: Ejemplo: sen cos d Se descompone la potencia impar del coseno: sen cos cos d se toma al cos d como una semilla diferencial del seno ya que : dsen = cos d. Se respeta: sen y se transforma cos en : -sen sen cos cos d sen sen cos d sen cos d u u u du u du sen sen c sen cos d Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 6

7 Potencia impar del seno y par del coseno: Ejemplo: sen cos d Se descompone la potencia impar del seno: sen cos send y se toma send como una semilla diferencial del coseno ya que: dcos = -send Por lo que : u = cos, du = - sen d & -du = sen d RECOMENDACIÓN: Se respeta: cos y se transforma sen en : -cos,ya que no se debe repetir la misma función que es semilla diferencial. sen cos send cos cos send cos send cos send u u ( du) u ( du) c cos cos u Potencia par del seno y par del coseno: RECOMENDACIÓN: Deberás siempre emplear las identidades: Sen = Cos Cos = Cos c Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 7

8 A) Potencia impar de la tangente y par de la secante: Ejemplo: tan sec d Se descompone la potencia par de la secante dejando sec d como semilla diferencial : tan sec sec d Se descompone la otra sec en : +tan y se deja sin cambio la tan siguiendo la recomendación anterior. = tan tan sec d tan sec d u u 6 tan u=tan du=sec d 6 6 =u du u du tan tan 6 c sec d Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 8

9 B) Potencia par de la tangente e impar de la secante: No puede resolverse por éste método. C) Potencia par de la tangente y par de la secante: Se procede igual que que en A) Ejemplo: Resolver la siguiente integral sen d sen d tan sec d tan sec sec d 6 cos cos cos sen d 6 cos tan tan sec d tan sec d tan sec d u tan du sec d sen d u du cos u du 6 u u c tan tan c D) Potencias impares de ambas funciones: Se descomponen ambas funciones en par- impar dejando como semilla diferencial: Sec tan d ya que : d sec = sec tan d por lo que se respetará la función : sec n, y solo se transformará tan m u empleando : tan u = sec u - Ejemplo: tan sec d tan sec sec tan d sec sec tan d sec sec tan d v dv tan sec d tan sec sec tan d Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 9 sec sec v dv sec tan d sec sec sec tan d sec sec sec tan d sec sec sec sec tan d tan sec c

10 6 sec sec tan d u sec du sec tan sec sec tan d sec sec tan d Actividad I: Resuelve las siguientes integrales de potencias trigonométricas y de Productos de potencias trigonométricas. ) sen d 6) tan d ) sen cos d 6) tg sec d ) sen d 7) tan d ) sen cos d 7) sen cos d ) cos d 8) ctg d ) sen cos d 8) tan sec d ) cos d 9) d ctg ) tan sec d 9) tan sec d ) tan d 0) ctg d 6 ) tan sec d 0) sen cos d Actividad II: Resuelve las siguientes integrales aprovechando todo lo practicado anteriormente Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 0

11 Después de resolver todos los ejercicios anteriores satisfactoriamente,podrías resolver la integral? Inténtalo! Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

12 INTEGRACIÓN POR PARTES Descripción del método Hay un gran número de integrales no inmediatas que presentan productos de funciones de distintas clases, por ejemplo: send ; e d ; arctan d Estas integrales pueden resolverse por el método llamado integración por partes que se describe a continuación: De la fórmula diferencial: Se tiene que: d (uv) = udv + vdu udv = d (uv) - vdu Integrando en ambos miembros: udv = uv vdu : Fórmula para integrar por partes Esta fórmula o método se aplica cuando se quiere integrar un producto udv, cuyos factores u y dv son las partes de la integral, en donde dv debe ser integrable y siempre incluye a la d. La integral que se obtiene vdu en el segundo miembro de la fórmula, debe ser mas sencilla que la original, o bien un múltiplo de ella. Pasos para integrar por partes. º.- Seleccionar y designar las partes de la integral como (u y dv). No hay una regla sobre como tomar las partes, sin embargo, se recomienda tomar como u a la parte más sencilla y a dv la parte restante del integrando, que por lo general es la de aspecto más complicado. º.- Calcular du (diferenciando u) y v (integrando dv). º.- Sustituir los valores seleccionados y calculados en la fórmula udv = uv vdu y desarrollar todo simplificando hasta obtener una integral inmediata y fácil de resolver. Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

13 Ejemplo send du Sea u = ; d ; du d dv sen d ; v=dv send ; v cos send cos cos d cos cos d Realicemos el mismo ejercicio pero tomando al contrario las partes cos sen c u sen ; du cos ; du cos d d dv d ; v= dv d v send sen cos d Se complicó la integral. Lo anterior significa que es muy importante la manera en que son designadas las partes de la integral. Eisten integrales en las que el proceso de integración por partes debe aplicarse más de una vez hasta que la segunda integral resultante de cada proceso sea inmediata. Ejemplo : send Selección : u = dv = sen d Cálculo : du = d v= - cos Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

14 = cos sen send cos sen send cos sen cos = cos sen cos c Eisten integrales en las que después de aplicar la integración por partes vuelve a aparecer la misma integral original pero con signo diferente por lo que deberá tomarse como incógnita de una ecuación y por lo tanto deberá despejarse al primer miembro para finalmente obtener su valor. Ejemplo sec d u sec dv sec sec tan sec tan sec tan sec sec d du sec tg d v tg tan sec tan d sec tan sec sec sec d d d sec d sec d sec tan sec d sec d sec d sec d sec tan Lnsec tan sec d sec tan Lnsec tan sec tan Lnsec tan sec d c tan sec d Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

15 Actividad II: Resolver las siguientes integrales por Integración por partes ) cos d ) e d 7) d e 0) e d ) e send ) send ) e d 8) ln d = ) arctg d ) e d ) e d 6) e d 9) ln d ) arc sen d = ln d ) INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA. Se aplica a integrales de funciones racionales dónde aparezca una diferencia ó suma de cuadrados lo que permite relacionarse con el Teorema de Pitágoras y por lo tanto se puede estructurar un triángulo rectángulo donde la epresión original define alguna función trigonométrica de uno de sus ángulos agudos. Descripción del método º Debes considerar que por el Teorema de Pitágoras, la hipotenusa y cualquiera de los catetos se obtienen de la siguiente manera: Hipotenusa : Cateto : cateto cateto hip cateto ya que el teorema tiene la siguiente representación geométrica y matemática: Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

16 º Las funciones angulares más sencillas que se pueden definir en el triángulo establecido son: seno-tangente-secante º La condición básica al establecer éstas funciones es que la variable esté siempre en el numerador de la fracción obtenida como función. Ejemplos: d I ) En la epresión : -, la raíz del minuendo es la hipotenusa : y la raíz del sustraendo es uno de los catetos :. En el siguiente triángulo rectángulo ubicaremos éstos elementos y definiremos la función correspondiente. El arreglo del segundo triángulo es el correcto por lo que lo completaremos el triángulo colocando el otro cateto que es : Sustituyendo y su diferencial en la integral original tenemos: Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 6

17 d secu tg u du secu tg u du secu tg u du sec u sec u tg u sec u du tg u Como: secu senu y tg u entonces secu cosu cscu cosu cosu tg u senu senu cosu d cscudu ln csc u ctg u c Finalmente deberá regresarse a la variable original por lo que deberá calcularse en el triángulo: csc u y ctg u cscu ctg u d ln ln c II ) d 9 La epresión: 9 es la hipotenusa y la raíz de los sumandos son los catetos: &. En el siguiente triángulo rectángulo ubicaremos éstos elementos y definiremos la función correspondiente Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 7

18 Sustituyendo y su d en la integral original tenemos: d 9 9 tanu 9 9tan u tanu 9 tan u sec u du 9 tan u sec u du sec u du tan u sec secu du tanu cos u senu cos u senu du du tanu u du sec u cscu du lncscu ctgu c Finalmente deberá regresarse a la variable original por lo que deberá calcularse en el triángulo: csc u y ctg u csc u 9 ctg u d 9 ln 9 c ln 9 c Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 8

19 d III) En la epresión : :la raíz del minuendo es la hipotenusa y la raíz del sustraendo es el cateto :. En el siguiente triángulo rectángulo ubicaremos éstos elementos y definiremos la función correspondiente Sustituyendo y su diferencial en la integral original tenemos: d cos u du cos u du cos udu du u sen u sen u cos u c Finalmente deberá regresarse a la variable original por lo que deberá calcularse en el triángulo: u En el triángulo observamos que: u es el ángulo cuya función seno vale lo cual se escribe matemáticamente : arcsen d arcsen c Estos tres problemas tipo permitirán que resuelvas los problemas propuestos en la siguiente actividad. Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 9

20 Actividad III: Resuelve las siguientes integrales por Sustitución trigonométrica. d ) 9 = d ) 6 ) d = ) d 9 d 7) 9 d ) 9 d 8) d 6) 9) d 0) d 9 ) d ) d 9 6 d ) d ) 9 d ) 6) d 6 d 7) d 8) 9 9) d 0) d d ) Actividad Complementaria III (mayor grado de dificultad) En los siguientes ejercicios, calcula la integral indefinida: Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 0

21 INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES. Descripción del método Se llama función racional a una epresión del tipo: g ( ) f ( ) h( ) ; Cuyo numerador y denominador son polinomios. Si el grado del numerador es igual o superior al del denominador se tiene una fracción impropia por lo que el cociente resulta ser un entero más un residuo. Este cociente se obtiene por medio de la división. Así : 0 6 Una fracción cuyo numerador es de grado inferior al denominador puede transformarse en una suma de fracciones parciales, cuyos denominadores sean factores del primitivo denominador. Así tenemos que: Muchas veces esas fracciones pueden hallarse por tanteos. 9 La descomposición en fracciones parciales presenta casos diferentes los cuales se muestran a continuación: Caso I.- Los factores en que se pueden descomponer el denominador son todos de primer grado y ninguno se repite. Ejemplo 6 d Dividiendo el numerador por el numerador por el denominador, obtenemos Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

22 6 Supongamos A B C Los miembros de esta ecuación son simplemente maneras distintas de escribir la misma función. Por consiguiente, si quitamos denominadores, los miembros de la ecuación resultante. B C 6 A 6 B B C C A 6 A Factorizando: 6 A A B B C A B C A B C A De esta identidad tenemos A B C I A B C 0 II A 6 III C Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos A,B,C Recíprocamente, si A, B y C tienen esos valores, se satisfacen idénticamente las ecuaciones anteriores. Por consiguiente: 6 d d d d d d d Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

23 ln ln ln C ln C Caso II.- Los factores en que se puede descomponer el denominador son todos de primer grado, pero algunos están repetidos. Ejemplo 8 7 d Supongamos que: 8 7 A D B C Correspondiendo al factor repetido (+), introducimos entonces fracciones con y todas las potencias inferiores como denominadores. Desarrollando y resolviendo en igual forma que en el caso I obtenemos: A,B,C 6,D 0 De aquí obtenemos d ln C d Caso III.- El denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno repetido. Ejemplo: d Los factores del denominador son y Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

24 Supongamos A B C Empleamos pues, con el denominador cuadrático ++, un numerador que no es una sola constante, sino una función lineal B+C. Haciendo desaparecer las fracciones y resolviendo para A, B y C obtenemos: A=, B= y C= Por consiguiente d d = ln ln C Caso IV.- El denominador contiene factores de segundo grado repetidos. a b c Por cada factor de la forma corresponde una suma de n fracciones de la forma: A B C D que resulte de la factorizacion de g() le L M n n a b c a b c a b c De haber factores lineales repetidos o no, se resuelven estos como el caso I y II. Ejemplo: 8 d Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

25 Solucion : Incluimos una fraccion simple por cada potencia de 8 A B C D y epresamos 8 A B (C D)( ) A B C C D D C D (A C) (B D) C 8 D 0 A C B D 0 A C A (8) A 6 A B D 0 B (0) 0 B ( ) ( ) 8 d = 8 d ( ) d ln ln ( ) ( ) +c ln ( ) +c ln ( ) +c Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

26 ln ( ) +c 8 d = ln +c ( ) EJEMPLOS CASO I: Factores lineales no repetidos ) d Paso.- Factorizar el denominador: Paso.- A cada factor lineal a b que esté una sola vez en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una sola fracción simple de la forma constante cuyo valor habrá que calcularse. A a b donde A es una En este ejemplo, descompondremos la fracción original en tres fracciones cuyos numeradores serán A, B y C. Observemos que el grado del denominador es tres y es el mismo número de constantes por determinar. d A B C ( ) A( )( ) B ( ( )( ) ) C( ) A( )( ) B ( ) C( ) Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 6

27 Para calcular el valor de las constantes A, B y C, obtenemos las raíces de ( )( ) que son: ( )( ) = Evaluando las raíces A( )( ) B ( ) C( ) para 0 A( )() B(0) A A C(0) para B A(0)() B(6) 6B C(0) para C C A(0) B(0) C() Sustituimos los valores obtenidos de A, B y C, en Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 7

28 Integramos d d d d ln + ln - ln + + c por la propiedad de los logaritmos queda: ln d = ln c ) 6 Paso.- Factorizamos el denominador: 6 Paso.-Descomponemos la fracción original en dos fracciones parciales: 6 A ( ) B ( ) Paso.- Multiplicamos en cruz empleando el algoritmo para la suma de fracciones con distinto denominador: A( ) B( ) Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 8

29 Paso.- Sustituimos valores 0 para 0 () A( ) B( ) A 8 A 8 A para ( ) A( ) B( ) B 7 B B ( ) 7 ( ) Paso.-Calculamos la Integral 8 d 6 d ( ) 7 d ( ) 8 d 6 ln ( ) ln ( ) c d = ln ln c ) d Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 9

30 ( ) ( )( ) A B ( ) C ( ) A( )( ) B ( ) C( ) para A A 8 B C 0 (0) A(0 )(0 ) B(0)(0 ) C(0)(0 ) para () A( )( ) B()( ) C()( ) B 8 para ( ) A( )( ) B( )( ) C( )( ) C d d d d ln ln ln c Profr. Luis Alfonso Rondero García Página 0

31 Profr. Luis Alfonso Rondero García Página EJEMPLOS: CASO II: Factores lineales repetidos.- d Paso.- Factorizando el denominador C B A Como está repetido el factor (-), el mínimo común denominador es : (+)(-) C B A B A C A C C B B A A A C B B A C B A C B C B A 0 C A 0 C A C B B A 0 C A 0 C A 8 B 8 B C B C B A A A A B A C 0 C 0 C A c ln ln d d

32 ln ln c Actividad IV : Resuelve las siguientes integrales por descomposición en fracciones parciales : Caso I y Cas d ) d ) ) d 8 ) d 6 ) d ) d 7) d 6 8 8) d 9) d 0) 8 79 d Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

33 Bibliografía AYRES, F. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. SERIE SCHAUM, MC GRAW- HILL, MÉXICO. BOSCH-GUERRA. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.ED.PUBLICACIONES CULTURAL,MÉXICO DEL GRANDE, D. CÁLCULO ELEMENTAL. ED. HARLA, MÉXICO ELFRIEDE W. DIDÁCTICA _ CÁLCULO INTEGRAL.GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA.MÉXICO. FINNEY,R.L. CÁLCULO de una variable. ED.PRENTICE HALL, MÉXICO FUENLABRADA, S. CÁLCULO INTEGRAL. ED. TRILLAS, MÉXICO GRANVILLE,W.A. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, ED. LIMUSA, MÉXICO LEITHOLD, L. CÁLCULO, ED. OXFORD UNIVERSITY PRESS, MÉXICO PURCELL, E.J. CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA.ED.LIMUSA, MÉXICO. STEWART, J. CALCULO DE UNA VARIABLE. ED.THOMPSON, MÉXICO. SWOKOWSKY, E. CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. ED. IBEROAMERICANA, MÉXICO. ZILL,D.G. CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA ED. IBEROAMERICANA, MÉXICO. Profr. Luis Alfonso Rondero García Página

34 PÁGINAS ELECTRÓNICAS RECOMENDADAS Profr. Luis Alfonso Rondero García Página