Un i d a d 7. Objetivos. Al inalizar la unidad, el alumno:

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1 Un i d a d 7 métodos de integraión Objetivos Al inalizar la unidad, el alumno: Utilizará los métodos de sustitución directa en la resolución de integrales. Resolverá integrales de funciones trigonométricas, directas e inversas. Utilizará los métodos de sustitución trigonométrica en la resolución de integrales. Aplicará los métodos de integración por partes en la resolución de integrales. Simplificará y resolverá integrales por el método de fracciones parciales.

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3 álculo diferencial e integral 4 Introducción En este tema se continúa con los métodos de integración iniciados en la unidad anterior, en los que a partir del concepto de primitiva y de las derivadas de las funciones elementales se obtenían las integrales inmediatas. Se estudiarán las técnicas elementales para reducir a inmediatas las integrales que no lo sean, es decir, integración por sustitución, por partes, de funciones trigonométricas, integrales de cocientes de polinomios por descomposición en fracciones simples y fórmulas de reducción. Los métodos de integración tienen por objetivo transformar una integral dada no inmediata, en otra o en la suma de varias, con la finalidad de que el cálculo sea sencillo. Por ejemplo: Integración por partes se refiere a descomponer una integral en una suma de un producto de funciones más una más sencilla que la inicial. La descomposición en fracciones simples de un cociente de polinomios resulta en una suma de fracciones, donde las integrales se hallan más facilmente. Para resolver integrales que dependen de un número natural n teniendo el valor de la integral que depende del número anterior o ante-anterior, se utilizan las fórmulas de reducción. 7.. Integración por sustitución En muchos casos, sustituyendo el integrando en función de una nueva variable, se obtiene una diferencial que se integra más fácilmente por ser una integral inmediata, o diferir de ella por una constante. A este método se le llama integrar por sustitución. Ejemplo Resuelve la integral 5d por sustitución. a+ b Si se hace u = a + b, resulta: du = bd y despejando d= du b Sustituyendo en la integral: du 5 5d b 5 du 5 = u a+ b = = + u b ln( ) y como u = a + b, queda: u b

4 44 Unidad 7 5d 5 = ln( a+ b) a+ b b 5 5 bd 5d omprobación: d ln( a+ b) ) b = b a + b = a+ b Ejemplo d 5 Resuelve la integral e por sustitución. d du Haciendo u = du = d = 5, resulta: 5 5 y sustituyendo en la integral: 5 e d = u 5 5 u 5 u 5 5 e du edu e e = = + = + Ejemplo Resuelve la integral a d por sustitución. d Haciendo u = a, resulta: du =, y d = udu, elevando u al a cuadrado y despejando se tiene: u = a, = a u, sustituyendo estos valores en la integral: a d= ( a u ) u ( udu ) = ( a u ) udu = audu + u 4 du = = au u aa ( ) ( a ) Integración por partes Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas y consiste en lo siguiente:

5 álculo diferencial e integral 45 Al estudiar las diferenciales se vio que: d(uv) = udv + vdu y despejando udv, queda: udv = d(uv) vdu e integrando: udv = duv ( ) vdu = uv vdu que es la fórmula del método de integración por partes. Se utiliza al poner el integrado en la forma udv y haciendo que resulte fácil de calcular v y la integral de vdu. La elección de quién es u y quién dv en el integrando es arbitraria y es acertada en el caso de que la integral del segundo miembro resulte más sencilla que la dada. No hay, y este es el mayor problema de este procedimiento, una regla fija para hacer las identificaciones más convenientes. La resolución de un buen número de problemas es el mejor camino para adquirir la técnica necesaria. Ejemplo 4 alcula la integral sen d Sea u = dv = sen d, Entonces: v= sen d = cos, du = d Aplicando la fórmula de integración por partes se tiene que: sen d = ( cos ) cos d= cos+ cos d = cos+ sen + Nota. Se podría haber elegido u = sen dv = d y en este caso du = cos d v= sen d sen cos d = y se ve que la integral del segundo miembro es más complicada que la dada y, por lo tanto, la elección no habría sido conveniente. Ejemplo 5 alcula sen d= sen sen d

6 46 Unidad 7 Sea u = sen y dv = sen d así que: du = cos d y v = cos d entonces: sen d= sen cos cos cosd= sen cos + cos d utilizando ahora la identidad trigonométrica sen + cos = donde cos = sen d sustituyendo: sen d = sen cos + ( sen ) d = sen cos + d sen d Pasando sen d al primer miembro de la igualdad: sen d= sen cos + + Por lo tanto, sen d= ( sen cos ) donde = 7.. Integración de funciones trigonométricas Integración de funciones trigonométricas directas. En este caso las funciones seno y coseno se consideran inmediatas de las fórmulas de derivación respectivas, esto es: sen d= cos + (inmediata) cos d= sen + (inmediata) Ejemplo 6 Obtén la integral tan d De las identidades trigonométricas se tiene: tan d = sen cos d, luego entonces: u = cos du = sen d

7 álculo diferencial e integral 47 Por consecuencia para la integral: du = ln u u sustituyendo = ln (cos) simplificando = ln cos = ln (sec ) Por consecuencia para la integral cotd= ln( sen )+ Ejemplo 7 Obtén la integral sec d. Para calcular esta integral se realiza el siguiente artificio: secd= si u = sec + tan, du = (sec + sec tan )d sec+ tan sec sec tan sec sec tan d + = + d sec + tan y como el numerador es la derivada del denominador, se tiene: d( sec+ tan ) sec+ tan Luego: secd= ln( sec + tan )+ Por consecuencia para la integral cscd= ln( csc cot ) Integración de funciones trigonométricas inversas La integración de funciones trigonométricas inversas se mostrará utilizando la integración por partes, aunque también se pueden tomar como ejemplos de este método, así que:

8 48 Unidad 7 Para la integral arc sen d. Aplicando la integración por partes y haciendo: u = arc sen dv = d resulta: du = d, v = se tiene entonces: d arc sen d= arc sen = arc sen +. Entonces la integral arc cos d= arc cos modo análogo al anterior. se obtiene de un Ahora para la integral arc tan d haciendo: u = arc tan dv = d d se tiene: du = v= + aplicando la fórmula de integración por partes se tiene: d arc tan d= arc tan = + d = arc tan + = arc tan ln( + ) Entonces la integral arc cotd= arc cot + ln( + ) modo análogo a la anterior. se halla de un Para la integral arc sec d haciendo: u = arc sec dv = d se tiene: du = d v = y aplicando la fórmula de integración por partes resulta: arc secd= arc sec d d Para calcular la integral se aplica el método de sustitución.

9 álculo diferencial e integral 49 Sea = sec z y entonces elevando al cuadrado = sec z d = sec z tan zdz y sustituyendo: secztan zdz secztan zdz secztan zdz sec z = tan z = tan z = sec zdz = ln(sec z + tan z ) y sustituyendo: sec z = tanz = sec z = d queda: = ln( + ) + Por lo tanto: arc sec arc sec ln( d= + ) Ejercicio. alcula la integral d a b. alcula la integral d + 8. alcula la integral cos d 4. alcula la integral sen d 5. alcula la integral sen d

10 50 Unidad Otros tipos de integrales trigonométricas Esta sección se abordará únicamente con ejemplos, así que veamos algunos de la integración de epresiones en que el integrando es el producto de la potencia de una función trigonométrica por su diferencial. Ejemplo 8 Obtén las integrales a) sen b) tan cos d sec d a) Para la integral sen cos d, haciendo u = sen du= cos d Por lo tanto, sen u sen cos d = udu= = b) Para la integral tan sec d haciendo u = tan du = sec d 4 4 u tan Por lo tanto, tan sec d = udu= = 4 4 Ahora veamos algunos ejemplos de integración de epresiones en que el integrando es el producto de la potencia de una función trigonométrica por una potencia de su diferencia. Estas epresiones suelen integrarse transformando previamente la integral y n+ n u aplicando identidades trigonométricas y la fórmula udu= ( n ). n +

11 álculo diferencial e integral 5 Ejemplo 9 Obtén las integrales 4 a) cos sen d b) tan sec 4 d a) Para la integral cos 4 sen d haciendo sen = sen sen resulta: cos sen d = cos sen sen d 4 4 Aplicando la identidad sen = cos queda: 4 4 cos sen d = cos ( cos ) sen d = cos 4 sen cos 6 d sen d = 4 6 cos ( send) + cos ( sen d) 5 7 cos cos = b) La integral tan sec d se puede escribir en la forma: tan sec sec d y aplicando la identidad sec = + tan resulta: = + 4 tan sec d = tan ( + tan )sec d 4 tan sec d tan sec d 5 tan tan = + 5 Ahora veamos algunos ejemplos de integración de potencias pares de senos y cosenos.

12 5 Unidad 7 uando el integrando contiene solamente potencias pares de senos y cosenos, se utilizan las siguientes identidades: = cos sen = + cos cos sen sen cos = 0 Ejemplo 0 Obtén las integrales: a) sen d b) cos 4 d a) Utilizando la identidad sen = cos se tiene: cos d cos sen d = d = d = sen+ 4 4 b) Se tiene que cos d= (cos ) d = + cos d + cos+ cos d = d = + cosd = + sen+ d cos Para calcular cos d cos + cos 4 d d = d = + cos d cos, aplicamos la identidad cos = + y se tiene: cos 4d

13 álculo diferencial e integral 5 = + sen 4+ y, por lo tanto, la integral cos 4 d 8 queda: cos 4 d = + sen sen 8 + = + sen + + sen Por lo tanto, cos 4 d = + sen+ sen Integración por sustituciones trigonométricas Eisten integrales que se resuelven con una sustitución trigonométrica, cuyas formas generales se mostrarán a continuación: Las integrales de la forma a u du se hace la sustitución u = a sen z, du = a cos zdz, entonces se tiene: a u = a a sen z = a ( sen z) = acos z a u du = ( acos z)( acos zdz) = a cos zdz z senz = a + 4 u u Para epresar el resultado en función de u se tiene: z = arc sen sen z = a a u u u a u senz = sen zcos z = = y sustituyendo resulta: a a a u u a u arc sen a u du = a a + a 4 a u Por lo tanto, a u du u a u = arc sen + a

14 54 Unidad 7 Ahora bien en las integrales de la forma u = a tan z, du = a sec zdz, entonces: du se hace la sustitución u + a u + a = a tan z+ a = a (tan z+ ) = asec z Luego entonces, u du + a asec zdz = = asec z sec zdz = ln(sec z + tan z) u Para ponerla en función de u se tiene que: tan z =, sec z = a = u du + a u+ a + u = ln a a + u a donde: Para integrales de la forma a + u du se hace u = a tan z du = a sec zdz Entonces, a + u = a + a tan z = asec z, así que: a + u du = a sec zdz = a sec zdz que se integra por partes a Se obtiene: a + u du = z z+ ( z+ z) sec tan ln sec tan + u y como tan z, sec a y z u = = + = a a + u a queda: a a + u u a a u u a + u du = a a + + ln + a a u a + u a u+ a + u = + ln a

15 álculo diferencial e integral 55 du Asimismo, para las integrales de la forma se hace la sustitución u a u = a sec z; du = a sec z tan zdz y se resuelve de manera análoga a la anterior. Ejemplo alcula la integral 4 d du De manera similar la forma se tiene u a = sec z, d = sec z tan z dz, z = arc sec, sec z =, entonces: 4d= 4sec z 4 ( secztan zdz) = 4(sec z )( secztan zdz) = 4secztan zdz y sustituyendo en la integral: 4 4 z zdz d = sec tan = sec z zdz = (sec z ) dz = tan z z+ tan Para poner la integral en función de, se tiene: tanz = sec z = = 4 4 y como z = arc sec, sustituyendo: 4 4 d = arc sec = 4 arc sec + Ejemplo alcula la integral 4 d

16 56 Unidad 7 Aplicando la forma a u du = sen z, d = cos zdz, z = arc sen, sen z = 4 = 4 4sen z = 4( sen z) = cos z sustituyendo en la integral 4 d = ( cos z )( cos zdz ) = 4 cos zdz z = 4 + senz Para ponerla en función de, se tiene: 4 senz = sen zcos z = = y la integral queda: d = arc sen + = arc sen Integración de fracciones racionales En esta sección ofreceremos los elementos para calcular las primitivas de f () / g (), donde f () y g () son polinomios con coeficientes reales y g () se puede epresar como un producto de factores lineales y cuadráticos. Si el grado de f () es mayor que el de g(), la división permite escribir la fracción f () / g () en la forma f () / g() = q () + r () / g () () Siendo q() el cociente y r () el residuo. omo el cálculo de una primitiva de q() es fácil, el problema de hallar una primitiva de f () / g () se reduce a hallar una primitiva del cociente de polinomios cuyo numerador es de menor grado que el del denominador. Por ejemplo, el cociente ( ) se puede epresar en la forma:

17 álculo diferencial e integral = + ( ) ( )( + ) Suponiendo que se quiere hallar una primitiva de f () / g (), siendo el grado de f () menor que el grado de g() y g() un producto de factores lineales. El caso más simple se presenta cuando estos factores lineales son todos distintos y de la forma a. Más adelante se mostrará que en estas condiciones, si g() es de la forma c( a )( a )...( a n ), entonces el cociente f () / g () se puede escribir en la forma: f() A c( a )( a ) ( a ) =... a n A An () a a siendo A, A,...,A n, constantes. El término del segundo miembro de () se llama descomposición en fracciones parciales del término del primer miembro. El procedimiento más sencillo para encontrar A i es multiplicar la identidad () por el denominador g() para obtener la identidad: f( ) = ca( a) ( an) + ca( a)( a ) ( an) + + can ( a ) ( a n ) Uno de los procedimientos es igualar los coeficientes correspondientes de los dos miembros de (). Otro es remplazar por los valores a, a,...,a n. Otro es una combinación de los dos anteriores: n () Por ejemplo, + 0 se puede escribir como: ( )( )( + ) + 0 A B = + + ( )( )( + ) + Multiplicando por el denominador del primer miembro toda la igualdad y evaluando en + 0 = A ( )( + ) + B( )( + ) ( )( ) =, = 6A A = =, 50 = 0B B = 5 =, 60 =5 = 4 Entonces = + ( )( )( + ) + +

18 58 Unidad 7 Los factores lineales repetidos se tratan como si fueran factores lineales distintos. La diferencia está en que si ( a) es un factor lineal que se repite k veces en el denominador, entonces, en vez de tener un solo término en el desarrollo en fracciones parciales correspondientes a a se tienen k términos, cada uno de los cuales corresponde a una potencia de ( a) desde hasta k: B B Bk a ( a) ( a) k (4) con B, B,...,B k, constantes. Si hay factores lineales distintos de los cuales alguno o todos se repiten, entonces los factores lineales distintos se tratan de la misma manera y en forma independiente y los términos resultantes se suman: Por ejemplo, ( ) ( ) se puede escribir como: A B D E = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Multiplicando por el denominador del primer miembro, se tiene = A( ) ( ) + B ( )( ) ( ) + D( ) ( ) + E( ) Al sustituir en la epresión resultante primero = y después =, se obtiene =, E =. Para encontrar las otras variables se desarrollan los binomios y se comparan coeficientes. Así tenemos que B =, D = y A = y entonces: = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Factores cuadráticos. Por factor cuadrático real de un polinomio g() se entiende una epresión de la forma a + b + c si su discriminante b 4ac < 0; entonces, no se puede descomponer en producto de dos factores lineales reales. Por ejemplo, + 4 no se puede factorizar en factores lineales reales. El tratamiento de los factores cuadráticos es parecido al de los factores lineales, ecepto en que los numeradores de las fracciones racionales son polinomios de primer grado en vez de constantes. El caso más simple es hallar una primitiva del cociente f() / g() de polinomios reales, con el grado de f() menor que el grado de g() y g() contiene factores cuadráticos. Este tipo de primitivas da lugar a dos casos: a) f() / g(), con f() = cg (), c una constante, y b) f() / g(), con el grado de f() menor que el grado de g() y no se cumple a).

19 álculo diferencial e integral 59 Para hallar las primitivas del cociente f() / g(), siendo el grado de f() menor que el grado de g() y g() un producto de factores cuadráticos distintos, f( ) A + B = γ ( + b+ c ) ( + b + c ) + b+ c g ( ) = γ ( + b+ c )( + b + c ) ( + b + c ) n n En este caso la fracción f() / g() se puede escribir en la forma A + B + + b + c n n A n + Bn b + c con A, B, A, B,..., A n, B n constantes. Para hallar las constantes A i, B i se emplean técnicas similares a las indicadas anteriormente: n n (5) Por ejemplo, 6 67 se puede descomponer en la forma: ( )( + ) 6 67 A + B + D = + ( )( + ) Para hallar las constantes se multiplica la igualdad por el denominador del primer miembro; se identifican los coeficientes correspondientes de las mismas potencias de y se resuelve el sistema resultante donde B = 6, D = 5, = 0 y A =. Entonces: = + ( )( + ) Si los factores cuadráticos se repiten se manejan en forma similar al de los factores lineales repetidos: si + b + c es un factor cuadrático que se repite k veces en el denominador, entonces el término de (5), que contiene únicamente el término + b + c, se remplaza por k términos de la forma: + D D k Dk + b+ c ( + b+ c) ( + b+ c) siendo, D,..., k, D k, constantes. k (6) Por ejemplo, ( + 4) se puede escribir como: A + B + D = + ( + 4) + 4 ( + 4)

20 60 Unidad 7 Multiplicando por el denominador del primer miembro, identificando coeficientes y resolviendo el sistema resultante, se encuentra que A =, B =, = 4 y D = 0, entonces: 4 0 = ( ) ( + 4) Ejemplo alcula la integral d Al factorizar el denominador se tiene: = ( ) = ( )( + ) descomponiendo la fracción original en tres fracciones, cuyos numeradores son A, B y obtenemos: A B = = + + () ( )( + ) + multiplicando la igualdad por el denominador ( )( + ), nos queda = A( )( + ) + B( + ) ( ) ordenamos el segundo miembro con respecto a las potencias de, = ( A+ B) + ( A+ B ) A identificando los coeficientes de las mismas potencias de, resulta: A + B = 0 A + B = A = un sistema de tres ecuaciones, que resuelto, se obtiene: Sustituyendo estos valores en () 5 A=, B=, =

21 álculo diferencial e integral = + = + e integrando: + ( ) ( + ) Por lo tanto: 5 d d d d = = ln( ) + ln( ) ln( + ) = ln( ) + d 5 ln( ) ln( + ) Ejemplo 4 alcula la integral ( 4 ) d + Factorizando el denominador, resulta: + = ( + ) = ( ) El cual se puede escribir como: 4 A B + = + + () ( ) Multiplicando por el denominador del primer miembro toda la igualdad se tiene: 4 = A( ) + B ( ) Haciendo operaciones y ordenando, se tiene: 4 = ( A ) + ( A+ B ) + A Igualando los coeficientes se obtiene el sistema: cuya solución es: A =, B =, = A = 0 A + B = 4 A = Sustituyendo en () se obtiene: 4 + = + + ( )

22 6 Unidad 7 e integrando resulta: ( 4 ) d d d d + = + + ( ) ( 4 ) d = + ln( ) + + ln( ) = ln( ) + ln( ) = ln Por lo tanto ( 4 ) d ln + = + Ejercicio. alcula la integral sec5d. alcula la integral sen cos d. alcula la integral cos d 4. alcula la integral d 5. alcula la integral d + 8

23 álculo diferencial e integral 6 Ejercicios resueltos. alcula la integral send Sea u =, entonces du = d. Se observa que falta el factor en el integrando, por lo que se debe multiplicar y dividir por : sen sen d= d = cos+. alcula la integral cos d + sen Sea u = + sen, entonces du = cos d. Sustituyendo en la integral se tiene:. alcula la integral e d cos d du = ln + = ( + sen )+ sen u Sea u = dv = ed du = d v= e entonces: e d = e ed= e e 4. alcula la integral ln d Sea u = ln y du = d dv = d y v= entonces: ln d= ln d = ln +

24 64 Unidad 7 5. alcula la integral cos d Sea u = dv = cos d du = d v = sen cos d = sen ( d) sen = sen sen d sen d = () Sea u = dv = send du = d v = cos send= cos+ d cos ( ) = cos + cos d cos d () Sea u = dv = cos d du = d v = sen cos d = sen sen d = sen+ cos 4 Sustituyendo en () se tiene = cos + sen+ cos 4

25 álculo diferencial e integral 65 Sustituyendo en () = sen + sen + cos cos 4 por lo tanto, finalmente se tiene cosd = sen+ cos sen cos alcula la integral sen cos d sen d cos + cos cos = d = ( 4 cos ) d cos 4 + = d = d cos4d = sen alcula la integral tan sec d 4 tan sec d = tan sec sec d = tan ( + tan )sec d = tan sec d + tan sec d = tan + tan alcula la integral tan d tan d = tan tan d = tan (sec ) d = tansec d tan d = tan 9. alcula la integral ( + 7) d ( )( + )( ) + lncos Dado que todos los factores del denominador son diferentes, suponiendo que + 7 A B = + + ( )( + )( ) +

26 66 Unidad 7 Entonces + 7= A( + )( ) + B ( )( ) ( )( + ) omo la identidad se debe verificar para todos los valores de, entonces se tiene: =, entonces, + 7= A( )( ), por lo tanto, A = =, entonces, 4+ 7= B( )( 5), por lo tanto, B= 5 =, entonces, 6 + 7= ( )(), 5 por lo tanto, = 0 e integrando: ( + 7) d = 5 ( )( + )( ) d + d = + d d 0 = + ln ln + + ln alcula la integral ( + + ) d ( )( + ) Por el correspondiente a ( + ) se introducen factores con ( + ) y todas las potencias menores. Algo análogo para. Entonces + + A B D E F = ( )( + ) + ( + ) Multiplicando la igualdad por el denominador del primer miembro, se tiene: + + = A ( )( + ) + B ( )( + ) ( )( + ) + D ( + ) + + E + + F ( )( ) ( ) 4 = A ( 5 9) B ( 5 9) ( ) + D( ) + E( + ) + F( )

27 álculo diferencial e integral 67 Por lo tanto, formando el sistema de ecuaciones se tiene:. + D+ E = 0. 5B+ 5+ 6D+ E+ F = 0. A+ 5B+ + 9D E F = A+ B 9 = 5. A 9B= 6. 9A = De 6, A =, remplazando este valor en 5 se obtiene B =. Remplazando estos dos valores en 4 se obtiene = 7 y, y se convierten en 00 9 D+ E = ; 6D+ E+ F = ; 9D E F =, entonces e integrando resulta: D E = ; 6D = y, finalmente, D= ; E = ; F = ( + + ) d ( )( + ) d d d d d = d 6 8 ( + ) 9 = + ln + ln ln + 6 8( + ) = Ejercicios propuestos. alcula la integral cos(ln d ). alcula la integral e d. alcula la integral sec d

28 68 Unidad 7 4. alcula la integral 5. alcula la integral d ( 4 ) d Autoevaluación. alcula la integral cos d a) ( + sen cos ) b) ( + sen cos ) c) ( sen cos ) d) sen ( + ). alcula la integral sen4d a) 4cos 4+ b) cos 4+ c) cos 4+ 4 d) cos alcula la integral sen 6 d 5 a) b) c) d) 5 6 cos cos cos cos 6 5

29 álculo diferencial e integral alcula la integral tan sec d a) tan + b) tan + c) tan d) tan 5. alcula la integral ln d a) ln 4 b) ln + 4 c) ln 4 d) ln 5 6. alcula la integral cos d a) sen + 4cos b) sen 4cos c) sen cos d) sen + 4cos +

30 70 Unidad 7 7. alcula la integral tan d a) b) c) d) ln cos ln cos ln cos 4 5 ln cos 8. alcula la integral + + d a) ln( ) + ln( + ) 5 ln( + ) b) c) d) ln( ) + ln( + ) + 5 ln( +) ln( ) + ln( + ) 5 ln( + ) ln( ) ln( + ) + 5 ln( + ) 9. alcula la integral a) ln ( + ) b) ln ( + ) c) 5 ln ( + ) d) ln ( + ) d

31 álculo diferencial e integral 7 Respuestas a los ejercicios Ejercicio ) ln( a b) b ) ln( + 8) ) sen + cos + 4) cos + sen 5) cos+ sen + cos + Ejercicio ) ln( sec5+ tan 5)+ 5 ) sen4+ 8 sen ) + 4 4) ln( ) 5 ln( 4) 6 6 4( 4) 5) ln( + 4) 5 ln( ) 6 6 Respuestas a los ejercicios propuestos ) [cos(ln ) + sen(ln )] e e ) ) (sec tan+ lnsec+ tan ) 4) ln( ) + 4 ln( 5) ln( ) 6 5) ln ( + )

32 7 Unidad 7 Respuestas a la autoevaluación. a). d). a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. a) 8. c) 9. d)