RELACIONES Y FUNCIONES

Transcripción

1 RELACIONES Y FUNCIONES Variables Independiente: Aquella que puede tomar cualquier valor. Dependiente: Depende del valor que tome la variable independiente. Pares ordenados Se representan (a,b) donde: a: Es el valor de la variable independiente. b: Es el valor de la variable dependiente. Dominio Es el conjunto de valores que una variable independiente puede tomar. Contradominio También se conoce como imagen, recorrido o rango. Es el conjunto de valores que una variable dependiente puede tomar. Relaciones y funciones. Las epresiones algebraicas llamadas ecuaciones o igualdades, pueden clasificarse como relaciones o como funciones, dependiendo del tipo de correspondencia que eista entre los elementos de su dominio y contradominio. Relación Es cualquier conjunto de pares ordenados. En una relación, a cada elemento del dominio le corresponde más de un elemento del recorrido o contradominio. Puede identificarse gráficamente, porque al trazar una línea vertical sobre la grafica de la relación, la corta en más de un punto. Función En una función, a cada elemento del dominio le corresponde solo un elemento del rango o contradominio. Puede identificarse gráficamente, porque al trazar una línea vertical sobre la grafica de una función, la corta solo en un punto. Funciones inversas Al intercambiar el dominio y el contradominio de cualquier relación para formar una nueva, se obtiene la llamada función inversa. Si ambas relaciones son funciones, reciben el nombre de funciones inversas. La función inversa se representa por el símbolo f. Dos relaciones son funciones inversas si se cumplen las condiciones: f f ( ) y f f ( ) Para hallar la inversa de una función debe observarse el siguiente procedimiento: ) En la relación dada, se sustituye el símbolo () f por y. ) En la epresión obtenida en ), se despeja la variable. ) En la epresión obtenida en ), se intercambian las y las y. ) En la epresión obtenida en ), se sustituye la y por el símbolo ) Se hace la verificación señalada antes de ). f ().

2 Si f ) ( f ) ( ) g() ) g f ( ) ( ) y g t) t t (, obtenga: Si q( ) p() g(), siendo p ) ( y g ) (, obtenga q( ). Si h ( ) y q ( ) ( ), determine q h () Si e y ( y) q ) h y (, encuentre q h (y) Si h ) ( y g y) ( y y gh ( ), determine Si f ) 8 (, g ( ) y q ) 0 (, halle qf ( ) g ( ) Si g t t ) ( y q ( t) t, determine q g (t) 8 Si f t a ( t ) y g ( ), obtenga g f (t) ta 9 Si f ( t) e, h ( e t) b t y b ( y) y g, encuentre g f h (t) (t) 0 Si h ) ln y ( g ( e ), obtenga hg ( 0 ) Sí, g ( ) f() y h ( ) ( ), obtener: h () a) f() g() b) f ( ) g() h() c) h f () g () d) f ( ) g h

3 Para cada una de las siguientes epresiones, determine si es una relación o una función. En cada caso eprese el dominio y el contradominio: ) y ) y ) y y ) ) y y ) y ) 8) y 9) 0) ) y y y y y ) ) y y ) ) y y ) ) 9y y 8) y 9) 9 y 0) Determine la función inversa para cada una de las siguientes funciones: ) f ( ) ) ) f ) ( f ) ( ) f ( ) ) ) ( f ) f ( ) ( ) ) f ( ) 8) f 0 8 ( )

4 LIMITES Cuando la variable tiende a tomar un valor, la función a la que define, también, como consecuencia tiende a tomar un valor como límite. En ocasiones, dicho límite de la función es una epresión indeterminada que carece de sentido, y es necesario eliminar la indeterminación haciendo uso de algunos procesos bien definidos. Si la indeterminación es del tipo: 0/0, ésta regularmente puede evitarse factorizando el numerador, el denominador o ambos, simplificando posteriormente la fracción y finalmente sustituyendo en el cociente obtenido el valor de la variable. Sí la indeterminación es del tipo: /, ésta regularmente puede evitarse dividiendo tanto el numerador como el denominador de la fracción, entre la variable elevada al máimo eponente que tenga en la función, simplificando posteriormente la fracción y finalmente sustituyendo en el cociente obtenido el valor de la variable. Muchas veces, cuando el límite de la variable tiende a cualquier número real, puede obtenerse el límite de la función por una simple transformación algebraica diferente a las señaladas en los dos puntos anteriores. Evaluar los siguientes límites: 8 ) 0 8 lim ) lim 8 ) lim ) lim 0 ) lim ) lim ) a lim 8) lim ( 8 9) ( 9) lim 0) ) lim 9 8 ) ) 9 lim 0 lim a b ) lim0 lim ) ) 8 ) lim lim

5 ) 8) lim lim ( ) 9) lim ( / ) ( / ) 0) lim m ) m lim ) lim 8 ( ) ) ) lim lim 9 9 ) lim ) lim 9 ( / ) ( / ) lim ) 9 8) lim log lim 0) 9) 8 lim ) lim ) lim lim ) lim 9 ) ) l i m ) lim 8

6 DERIVACIÓN () Función Derivada C y 0 n y n n dv y CV C y U V du dv Derive cada una de las siguientes funciones: y ( ) 9 y 8 ( ) y 8 0 y y 8( ) 0 y y ( ) y ( ) y 8 9 y 9 y ( )( ) y ( )( )( 8 ) y y 8 y ( ) y ( )

7 DERIVACIÓN () Función Derivada n y V n nv dv y UV dv du U V y U V du dv V U V Derive cada una de las siguientes funciones: y ( 9) 8 8 ( ) y ( ) y 9 y 8 y 8 ( ) 0 y ( ) y ( ) ( ) y 8 9 y ( ) 8 y 9 y y 8 y y 9 ( 8)

8 DERIVACIÓN () Función Derivada 8 y lnu du U 9 y log a U loga U e du 0 u y e e u du u y a a u du lna y v u v v vu u lnu du dv Derive cada una de las siguientes funciones: y ln 8 y 9a y e 9 y y 8 0 y e y log y e X y e ln y y e e y a e e e y y

9 DERIVACIÓN () Función Derivada y senu du cosu y cosu senu du y tanu sec du U y cotu csc du U y secu du secu tanu 8 y cscu du cscucot U Derive cada una de las siguientes funciones: y sen( ) 8 y tan cos cos y 9 y ln sen sen y tan 0 y e sec y ctg(e ) y sec8 csc9 y tan( ) cos 8 y e

10 FORMULARIO BASICO DE DERIVACIÓN Función Derivada y C 0 n y n n y CV dv C y U V du dv n y V dv nv dv du y UV U V du dv U V U y V V 8 y lnu du U 9 loga e du y loga U U 0 u du u y e e u y a u du a lna v du v dv v y u vu u lnu y senu du cosu y cosu du senu y tanu y cotu y secu 8 y cscu du sec U du csc U du secu tanu du cscucot U

11 PRINCIPALES IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS sen csc cos sec tan cot tan sen cos sen cos csc cot sec tan 8 cot cos sen

12 MAXIMOS Y MINIMOS () La tangente a la grafica de una función en un punto máimo o mínimo es horizontal, y por lo tanto, la derivada de la función en ese punto tiene un valor de cero. En base a ello, el procedimiento general para calcular los máimos y o mínimos de una función (si es que ellos eisten) es el siguiente: ) Se deriva la función en estudio. ) Se iguala a cero la derivada obtenida en el punto ) y se despejan los valores de la variable llamados valores críticos. ) Para saber si en un valor critico hay un máimo o un mínimo, se puede usar cualquiera de los siguientes criterios: Criterio de la Primera Derivada. Se sustituye en la ecuación de la derivada un valor de primero un poco menor al crítico, y luego uno un poco mayor. Si el signo de la derivada cambia de positivo a negativo, en ese valor crítico hay un máimo; si cambia de negativo a positivo entonces hay un mínimo en ese valor crítico. Criterio de la Segunda Derivada. Se halla la segunda derivada de la función, y en la función obtenida se sustituye el valor critico; si la segunda derivada es positiva, indica que hay un mínimo en ese valor critico; pero si es negativa, entonces hay un máimo para ese valor critico. El punto de infleión indica donde cambia el sentido de la concavidad de la curva, y se obtiene igualando la segunda derivada a cero y despejando el valor de ) Se sustituye en la función original el valor crítico, para calcular la magnitud del máimo o mínimo. Obtenga los máimos y/o mínimos (si es que estos eisten) de cada una de las siguientes funciones: y 9 y y 8 y y 8 y y 8 y 0 9 y 0 y 0 y y y y 8 0 y y y 0 8 y 9 0

13 CALCULO INTEGRAL () La operación matemática denominada integral, puede concebirse desde dos puntos de vista diferentes pero complementarios entre sí:. Como la operación inversa de la derivación; es decir, si tenemos una función Y y la derivamos, obtendremos la función Y. El procedimiento matemático para que a partir de la función Y regresemos a Y, recibe el nombre de Integración Indefinida. Se le da dicho nombre porque durante el proceso de derivación desaparecen los términos constantes, y por lo tanto durante la Integración deberán aparecer términos constantes, los cuales son desconocidos. En este tipo de integración, el resultado es una función.. Como un procedimiento para calcular en forma eacta el área de una superficie limitada por líneas curvas, lo cual se logra dividiendo toda la superficie en un número infinito de franjas infinitesimalmente delgadas, de tal manera que la suma de las superficies de todas ellas sea igual al área total de la superficie en cuestión. A este procedimiento se le conoce como Integración Definida, consiste en la suma de un número infinito de elementos infinitamente pequeños, y el resultado es un número real. LA INTEGRAL INDEFINIDA Sea la siguiente epresión: En ella: f ) F( ) ( C Representa el signo de integración y nos da la orden de integrar. f () Es la función a integrar. Es la diferencial que nos indica cual de las literales es la variable independiente (En éste caso e ). F () Es la función ya integrada. C Es la constante de integración. Las formulas de integración se obtienen de la inversión de las correspondientes de derivación, y las básicas son las siguientes: ) dx X c n X n n ) X c ) cdv c dv ) du dv du dv Donde: dx = Diferencial de X. Indica cual es la variable del caso. c = Constante de integración. n = Numero real. dv = Diferencial de V, siendo V una función derivable de X. du = Diferencial de U, siendo U una función derivable de X.

14 ( 0 8 ) ( 9) (9 ) ( ) ( ) ( )( 9) ( )( 9) 8 ( )( )( ) 9 ( 9 8) 0 ( 9) Resuelva cada uno de los siguientes problemas: Si valga., y se sabe que cuando X vale entonces Y vale 8, calcule el valor de Y cuando X Se sabe qué 8, y que Y = cuando X =. En base a dicha información, Cuánto vale Y cuando X vale? Si 9 cuando X valga., y se sabe que cuando X vale entonces Y vale, calcule el valor de Y Si X valga 9., y se sabe que cuando X vale entonces Y vale 0, calcule el valor de Y cuando

15 CALCULO INTEGRAL () INTEGRACIÓN COMPLETANDO LA DIFERENCIAL ln du lnu, donde u es una función derivable de. u ) c ) c

16 CALCULO INTEGRAL (8) INTEGRACIÓN DE FUNCIONES EXPONENCIALES y TRIGONOMÉTRICAS e du e u u ) c u a a du lna u 8) c senudu cosu 9) c 0) cosudu senu c tanudu l n(sec u) ) c cotudu l n( senu) ) c secudu l n(sec u tanu) ) c cscudu l n(csc u cotu) ) c ) sec udu tanu c c csc udu cotu ) c secu tanudu secu ) c 8) cscucotudu cscu c Integrar cada una de las siguientes funciones: a ) 8 ) e cot 8 ) sec 9 ) sen9 ) csc cot ) c os9 ) cos 8) 9) sen s en 0) 9 ) sen cos cos sen ) sen cos ) sen cos ) ) e a 9 )

17 INTEGRAL DEFINIDA (9) También se conoce como integral entre límites, y emplea las mismas formulas que la integral indefinida. Al aplicar los limites, se eliminan las constantes de integración, por lo que se acostumbra no agregarlas. En la función obtenida al integrar, la variable se sustituye primero por el límite superior y se obtiene el valor de la función; después se sustituye la variable por el límite inferior y se halla el nuevo valor de la función. La diferencia entre dichos valores de la función es el resultado de la integral definida. Sí los límites son valores numéricos, el resultado es una cantidad numérica.. ( ). 8) (. ( )( ). ( ) 0. ( 8 ). 8a. ( a ) 8. ( ) a ( ) ( )

18 AREAS PLANAS POR INTEGRACION DEFINIDA (0) Esta técnica supone que toda área plana está formada por un número infinito de franjas verticales infinitesimalmente delgadas de ancho (o por un número infinito de franjas horizontales infinitesimalmente delgadas de ancho ). El área total puede calcularse sumando las aéreas de todas esas franjas, mediante el planteo y solución correcta de una integral definida. Para ello, primero deben trazarse las gráficas de las curvas que limiten al área en cuestión, de tal manera que logremos ubicar los puntos de intersección entre ellas. Posteriormente, por una correcta observación del área plana a calcular, definir qué tipo de franja es más conveniente usar: la horizontal o la vertical. Finalmente se plantea la integral definida que describa perfectamente el área que se pretende evaluar. Calcule el área de cada una de las siguientes superficies planas: La parábola las rectas X = y X =. y, la recta y, entre Las parábolas las rectas X = - y X =. y y y, entre La parábola Y =. y y las rectas X = 0, X = y La parábola X = Y. y, y las rectas X = 0, Y = ¾ y La curva Y y /. y y las rectas X = 0, X = La curva y y 0. y la recta La curva y y las rectas Y = y X = Y. 8 Las curvas y y y. 9 Las curvas y y. 0 Las curvas 8 y y y y. Las curvas y y y y y. Las curvas y y y. Las curvas y y 8 y. Las curvas y y y. Bajo la curva. y y las rectas y y La curva y y las rectas y y y y., Las curvas y y y. 8 La curva y y el eje X. 9 Las curvas y y y. 0 La curva y y el eje X.

19 INTEGRACION POR PARTES () udv uv vdu Efectúe cada una de las siguientes Integrales: cos ln e e sen ln 8 a 9 ln 0 e e e e ( )e 8 ( ) 8 9 e 0 0 ( )

20 DERIVADAS PARCIALES () Funciones de dos variables Una función de dos variables indica que eiste una correspondencia entre cada par ordenado de números reales (, y) y un número real z. Al conjunto de pares ordenados se llama dominio de la función, y el conjunto de valores z correspondiente a dichos pares ordenados se llama imagen o contradominio. Toda función de dos variables se representa: Z = f (, y), donde las variables y y se llaman variables independientes, y la variable Z se llama variable dependiente. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de todos los puntos con coordenadas (, y, Z), y éste conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional. Derivadas parciales Se entiende como derivada parcial de Z respecto de una de sus dos variables, a la epresión obtenida al derivar dicha función respecto de la variable considerada, suponiendo constantes las demás. Sí la derivada es con respecto a la variable, se representa con el símbolo: Z /. Sí la derivada es con respecto a la variable y, se representa con el símbolo: Z / y. Su interpretación geométrica, es un plano tangente a la curva en el punto P donde se evalúe la derivada parcial, formado por las rectas tangentes a la superficie en ese punto Por analogía, estos razonamientos pueden etenderse a funciones que contengan más de tres variables. Obtenga las derivadas parciales de las siguientes funciones: Z y Z y Z y Z ln Z y y 8 9y Z ( ) ( y ) y Z y 8 Z y 9 Z y 8y y 0 Z Z ln lny Z y y y 9 Z y y y Z e y Z y e Z ln( y ) Z ln y y 8 Z y y y Además, el gradiente de la función en ese punto (es un vector formado por las derivadas parciales) representa la dirección de máimo crecimiento de la función y siempre es un vector normal a las curvas de nivel.

21 MAXIMOS Y MINIMOS PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES () Definición Se dice que una función Z = f (, y) tiene un valor máimo relativo en el punto (a,b) (es decir cuando = a y y = b) si, para todos los puntos (,y) en el plano que están inmediatos a él se tiene qué: f (a,b) > f (,y). Se dice que una función Z = f (, y) tiene un valor mínimo relativo en el punto (a,b) (es decir cuando = a y y = b) si, para todos los puntos (,y) en el plano que están inmediatos a él se tiene qué: f (a,b) < f (,y). Procedimiento para hallar los máimos y/o mínimos relativos de una función de dos variables: Dada una función Z = f (,y):. Se hallan: Z (Primera derivada de Z con respecto a ) Z (Segunda derivada de Z con respecto a ) Zy (Primera derivada de Z con respecto a y ) Zyy (Segunda derivada de Z con respecto a y ) Zy = Zy. Se resuelve el sistema formado para las ecuaciones Z = 0 y Zy = 0, conociendo los valores críticos (a,b).. Sea Dy = (Z)(Zyy) (Zy ó Zy). Sí en el valor critico (a,b): Sí D > 0 y Z < 0, la función Z tiene un máimo relativo en el punto crítico (a,b). Sí D > 0 y Z > 0, la función Z tiene un mínimo relativo en el punto crítico (a,b). Sí D < 0, la función Z tiene un punto de silla en el punto crítico (a,b). Sí D = 0, no hay conclusión con respecto al punto crítico (a,b) y se requiere de análisis adicionales. Encuentre los puntos críticos de cada una de las siguientes funciones, y para cada uno de ellos, determine por medio de la prueba de la segunda derivada, si corresponde a un máimo relativo, a un mínimo relativo, a ninguno de los dos (eiste un punto de silla), o sí la prueba no da información y se requieren análisis adicionales:. z y y. z y y0 9y z y y 0 9y. z yy 9 y. z 8 y y. z y y.. z 8. y y z y y z 8y y 0. z y y y 9. z y. z y y. y. z y y. z y y y z y y y. z y 0y y. z 0y y y 8. z y y.

22 INTEGRAL MULTIPLE () Las funciones de dos variables se integran por un procedimiento llamado doble integral o integración doble. b d La epresión: (f, y ) a c comúnmente llamada integral doble, doble integración o integral iterada, es una abreviación de la epresión: b d (f, y ). a c Para efectuar dicha operación, primero debe resolverse la integral interna, tomando a y como variable y a como constante. El resultado obtenido se integrará nuevamente, pero ahora será la variable y y permanecerá como constante. La interpretación geométrica de la doble diferencial, es de qué se trata de un elemento infinitesimalmente pequeño de área, con largo y altura situado en el plano o espacio bidimensional XY. Por razonamientos y procedimientos análogos se maneja la integral triple. La interpretación geométrica de la triple diferencial, es de qué se trata de un elemento infinitesimalmente pequeño de volumen, con largo, altura y profundidad dz situado en el espacio tridimensional XYZ. Calcule las siguientes integrales:. y 0.. y 0 y. 0 ( y ). y. ( y y ). y 0 8. ( y ) 0 y 9. y 0. y.. y 0 y z dz. 0. y z dz y zdz. 0 y z dz 0. y z dz y y zdz 0 9. y z dz 0. ( y + z ) dz= 0

23 ECUACIONES DIFERENCIALES SIMPLES () Las ecuaciones diferenciales son aquellas que contienen derivadas en sus términos, y que para resolver dichas ecuaciones se requiere de la integración. Se aplican en muchas situaciones prácticas, especialmente las relacionadas con razones de cambio. Son de la forma: ) (f que se pueden transformar en: f ( ) y posteriormente en f( ). Cuando la función resultante se epresa en términos de la constante de integración C, la solución es general; pero cuando se determina el valor de C, el resultado es particular. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales simples:. + = + Se sabe que sí =, entonces y =.. Sí =, entonces y =. 8 Sí =, y =. Sí =, y = 0. 9 Sí =, y = 8 9. Sí =, y = 8. Sí se sabe que cuando =, entonces y = Se sabe que la grafica de Y pasa por el punto (,) Se sabe que la grafica de Y pasa por el punto (,). 0. Se sabe que la grafica de Y pasa por el punto (,0).

24 ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES f que pueden transformarse en: ( ) Son de la forma: g ( y ) f( ) y finalmente: g ( y ) f( ) g ( y ) Cuando la función resultante se epresa en términos de la constante de integración C, la solución es general; pero cuando se determina el valor de C, el resultado es particular. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales separables: = y ) Sí =, y =. ) = y Sí =, y = 0.0 ) ( 8 y ) Sí = 0, y = 0 ) e Sí =, y =. y ) 9 y Sí =, y = ) y Sí =, y = ) 9y Sí =, y = 9 8) y Sí =, y = 0 9) 8 8 y Sí =, y = 8 0) y 9 Sí =, y =