INTEGRALES DE LAS FUNCIONES RACIONALES. suma de expresiones racionales cuyos denominadores son potencias de polinomios de
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- Ángela Sosa Agüero
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1 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA INTEGRALES DE LAS FUNCIONES RACIONALES. f Si está definida de la forma: q ; donde f y g son polinomios g entonces se dice que es una función racional. f Teóricamente cualquier epresión racional q g, se puede epresar como una suma de epresiones racionales cuyos denominadores son potencias de polinomios de f grado menor o igual que. Concretamente, puede demostrarse que si g( ), son polinomios y el grado de f es menor que el de g, entonces: f A f A B ; o también : g p q g a b c m n A y B son números reales, m y n son enteros no negativos y (polinomio cuadrático que no tiene ceros reales; es decir, b a b c a b c es irreducible, 4ac < 0). En este caso, no se puede epresar como un producto de dos polinomios de primer grado. Guía para obtener la descomposición en fracciones parciales de Pueden ocurrir tres casos: f g ) grado f ( ) (numerador) > g( ) grado (denominador) ) grado f ( ) grado g( ) ) grado f ( ) < g( ) Para los casos y, hay que dividir un polinomio entre el otro hasta llegar a la forma apropiada, se hace uso de la siguiente propiedad: f g r f r f gc c r c g g g f r d c d d g g 49
2 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Donde la integral cd es inmediata y en la integral r d, (más sencilla de g resolver), r es un polinomio de menor grado que g y por consiguiente estamos en el tercer caso Para el caso, se factoriza g( ), y luego se epresa como un producto de factores lineales p q o formas cuadráticas irreducibles a b c, se agrupan los factores repetidos para que g( ) quede epresado como un producto de factores distintos de la forma ( p q) m o bien ( a b c) n, con m y n enteros no negativos. Una vez agrupados de la forma indicada anteriormente se utiliza las siguientes condiciones: () Por cada factor de la forma ( p q) m con m, la descomposición de fracciones parciales contiene una suma de m fracciones parciales de la forma: f A A Am... g ( p q) ( p q) ( p q) real. m, donde cada numerador A m es un número Se determinan las constantes respectivas:.a) El denominador tiene raíces reales simples: f f A B A( ) B( ) g ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) Se iguala f A( ) B( ) y se calcula A y B comparando coeficientes o dándole valores a la, y por último se resuelven las integrales f A B d d d... ALn( ) BLn( ).. k g ( ) ( ) 40
3 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA f ( ) A A A d m d d... d m g ( p q) ( p q) ( p q).b) El denominador tiene raíces reales múltiples: f f A B C D g ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f A( ) B( )( ) C( )( ) D( ) g ( )( ) Igualando el principio con el final: f A( ) B( )( ) C( )( ) D( ) Calculamos los coeficientes A, B, C y D. Resolvemos la siguiente integral: f A B C D d d d d d g ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) d ALn ( ) BLn ( ) C D k g f d ALn ( ) BLn ( ) C D k g ( ) ( ) n () Por cada factor ( a b c), n, donde ( a b c), es irreducible, 0, la descomposición en fracciones parciales contiene una suma de n fracciones parciales de la forma: f A b A b An bn... g ( a b c) ( a b c) ( a b c) números reales. n, donde todos los A, n B son n 4
4 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA.) Que el denominador tenga raíces reales complejas sencillas: Si al intentar resolver una ecuación de º grado nos sale una raíz negativa se dice que no tiene solución real, pero sí compleja. f f A B C D g ( a b c)( a b c ) ( a b c) ( a b c ) f ( A B)( a b c ) ( C D)( a b c) g ( a b c)( a b c) f ( A B)( a b c ) ( C D)( a b c) Se determinan las constantes por un sistema de ecuaciones y luego se sustituye f A b C D d d d... g ( a b c) ( a b c ) El denominador complejo es necesario completar el cuadrado como sigue: b b b a b c a( ) c a( ) c a a 4a Debemos colocarlo de la forma ( a) b y resolver la integral de la siguiente forma: f A B C D d g ( a) b ( a) b Logaritmo (Ln) y una arco tangente. a partir de aquí nos saldrá como solución un.) Que el denominador tenga raíces reales complejas múltiples: Se determinan las constantes respectivas y por último se resuelven las integrales f f A B C D g ( a b c) ( a b c) ( a b c) f A B a b c C D a b c g ( a b c)( a b c) f A B a b c C D a b c 4
5 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Se procede a determinar las constantes como se indicó anteriormente f A b C D d d d... g ( a b c) ( a b c) Una vez sustituidas las variables se completa cuadrados y se resuelven las integrales. ) 7 9 d C d d d d ( )( )( ) A B 7 9 A( )( ) B( )( ) C( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 7 9 ( A B C) ( A B) ( A B C) A B C - A B 7 A B C 4 A B - C d d d d 4 Ln( ) Ln( ) 4 Ln( ) k ) ( )( ) A B C d d d d ( ) ( )( ) A B C A ( ) B C ( )( ) ( )( ) ( A B) ( A B C) ( A B C) ( )( ) ( ) ( ) A B A B C) ( A B C) ( 4
6 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA A B 0 A B C A, B y C A B C d d d Ln( -) Ln( ) k ) ( ) 4 ( ) ( ) factor cuadrático irreducible 4 ( ) 4 A B A B ; 4 A B A B 4 d De la forma a Cambio atgθ : : 4 tgθ tgθ ; ( ) tg θ; d Sec θdθ ( tg ) Sec d ( tg ) Sec d d tg θ tg θ ( ) θ θ θ θ θ θ θ θ θ I tgθ dθ tgθdθ dθ ( tg ) Sec d ( ) Sec θ I Ln Secθ θ k Del cambio : tgθ tgθ θ arctg ; Secθ ( ) ( ) ( ) Ln arctg k 4 Ln arctg k 4 44
7 4) d 4 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA ( ) ( ) factor cuadrático irreducible d ( A B) d A B A B A 0; B d d 4 ( ) 9 tgθ tgθ ; ( ) 9 tg θ; d Sec θdθ ( ) d Sec θdθ dθ θ k 9 9tg θ 9 d arctg k 4 5) 4 d 0 De la forma : a Cambio : atg ( ) ( ) 4 0 ( 5) ( 4) factor cuadrático irreducible d ( A B) d A B A B B d d De la forma : a Cambio : atgθ 4 0 ( ) 4 tgθ tgθ ; ( ) 4 tg θ; d Sec θdθ d Sec θdθ Sec θdθ dθ θ k 4 4tg θ 4 4 tg θ 4 4 ( ) θ d arctg k
8 6) d 4 8 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA factor cuadrático irreducible ( ) ( ) d ( A B) d A B ; 4 8 A B A B ( ) ( ) 4 ( ) d ( ) d De la forma a Cambio atgθ : : θ θ θ θ θ tg tg ; ( ) 4 tg ; d Sec d ((tgθ ) )Sec θdθ ((tg θ ) ) Sec θdθ d 4 8 4tg θ 4 4 tg θ d (( θ ) ) θ (6 θ 6 ) θ (6 θ 8) θ 4 8 tg d tg d tg d d θ θ 4 θ θ θ 4 8 tg d d Ln Sec k ( ) 4 Del cambio : tgθ tgθ Secθ ; θ arctg 7) ( ) 4 d Ln arctg k 4 8 d k 4 6 d ( ) d d Ln 4 46
9 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA 8) d ( ) 9) d d d d d d 8 ( ) k d d d ± 4 ± 6 d
10 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA A B d d d d ( ) ( 4) 5 4 A B 5 4 A B A A 4 6 6B B d d d 4 Ln 4 Ln d 4 Ln 4 Ln k 8 0) 4 d d d d A B C d d d d d d ( ) A B C A B C A ( ) B( ) C 0 B B C C A B 4C A 8 A 4 A 48
11 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA d d d d Ln Ln k 4 d Ln Ln k ) d ± 4 0 ± 6 ( )( ) A B C d d d 7 5 d 5 ( )( 5) A ( 5) ( B C)( ) ( )( 5) ( ) ( 5) A 5 B C 0 4A A A C C 5A C A B C 50 5 B 9 B B d d d 5Ln I ParaI : d 5 ( ) 5 ( ) 4 5 ( 9) d ( 9) d : : 5 4 De la forma a Cambio atgθ θ θ θ θ θ tg tg ; ( ) 4 tg ; d Sec d d tgθ Secθdθ tgθ Secθdθ 4 4tg θ 4 4 tg θ ( 9) ( 9) ( 9) 49
12 ( ) INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA ( 9) d ((tgθ ) 9) dθ (6tgθ 9) dθ (6tgθ ) dθ 4 ( 9) d tgθdθ dθ Ln Secθ θ k 4 ( ) ( ) ( ) 4 Del cambio : tgθ tgθ Secθ ; θ arctg 9 4 d Ln arctg k 5 ) 5 4 d 4 ( ) ( ) 5 5 A B C d d d d 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 A ( ) B( ) C( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A ) B( ) C( ) ( ) 5 ( A B A B C A B B C 5 (4 ) 4 A B 5 4A B C A ; B ; C 4A B C d 4 ( ) ( ) 5 d d d d Ln Ln k
13 ) d INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA A B C d d d d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C A B C A B C A B C C A A A B C C [ ] [ ] A C A B C A A C 0 A B C A 6; B 9; C 6 A d d d d 6 9 ( ) ( ) d I 6 Ln k d I 9 u du d 9 9 u d ( ) du u 9 9 u I I k u ( ) d I Ln k d Ln Ln k ( ) ( ) 4
14 4) e d ( e )( e ) INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA du A B Cambio de Variable : u e du e d du du u u u u A B A( u) B( u) u u u u u u ( u)( u) [ ] A( u) B( u) A Au B Bu u A B ( A B) 0 A B A B B A A A A A B A B du du du Ln u Ln u k ( u)( u) u u e d e d Ln e Ln e k Ln( e )( e ) k ( e )( e ) ( e )( e ) 5) d du du Cambio devariable : u u du Ln d d d Ln ( u ) Ln du A B d ( ) du ( ) du du u u Ln Ln u u Ln u ( u ) A B Au ( ) Bu ua ( B) A uu u u ( ) ( ) A B 0 A ; B A du du ln ln du ( ) ( ) ln( u u k Ln u u Ln u u ) 4
15 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA ln ln ln ln d k k ln ln ln d k ln 6) 8 4 d ) ( 4)( A B C d d d d 8 4 ( 4)( ) ( 4) A B C ( 4)( ) ( 4) ( 4)( ) ( ) A B C( 4) A B C( ( 4)( ) 4) A C A B A ; B ; C 5 B 4C d d d d d d 5 d 5 ( 4)( ) ( 4) ( 4)( ) ( 4) ( 4) d Ln( 4) arctg ( ) Ln( ) k 4
16 7) d INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA d d A B ( C D) d 4 ( 9 9 ) d d ( 9 ) A B ( C D) A(9 ) B(9 ) ( C D) 9 9 9B C 0 9A D 0 C 0; D 9 B 0 A d d 0 (0 9) d d d d 9 ( 9 ) d ( 9 ) ( 9 ) ( 9 ) d d 9 De la forma : a Cambio : atgθ ( 9 ) ( 9 ) tgθ tg θ; d Secθdθ d Sec θdθ Sec θdθ dθ θ k arctg k ( 9 ) 9tg θ 9 tg θ 9 d 4 arctg ( ) k 8) d ( 7) ( ) d ( ) d Ad Bd 9 4 ( 7) ( 7) ( ) A B 8 ( ) A( 7) B( ) A ; B ( 7) ( 7) 5 5 ( ) d 8 d d ( ) d 8 Ln Ln 7 k ( 7) 5 5 ( 7)
17 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA 9) d ( ) ( ) d ( ) d Ad Bd Cd ( ) ( ) ( ) ( ) A B C A ( )( ) B( ) C( ) ( ) ( ) ( ) 5 A ; B ; C 6 ( ) d ( ) d d 5 d ( ) d 5 Ln Ln Ln k ( ) 6 ( ) 6 0) ( 5 ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Ad Bd C d d d ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) d ( )( ) ( ) A B C ( 5 ) A B C( ) A ; B ; C ( 5 ) d d ( )( ) d d ( 5 ) d Ln( ) Ln( ) k ( ) ( ) ( ) 45
18 ) 4 d INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA ( ) (( ) )(( ) ) 4 ( )( ) d d A B C D 4 ( ) ( ) d ( ) d ( ) A B C D ( A B)( ) ( C D)( ) ( )( ) ( ) ( ) ( A C) ( A B C D) ( A B C D) ( B D) A C 0 A B C D 0 A ; B ; C ; D A B C D 0 B D d ( )( ) d ( ) d ( ) Para I : d ( ) ( ) ( ) d ( ) d : : ( ) 4 De la forma a Cambio atgθ tgθ tgθ ; ( ) tgθ; d Secθdθ ( ) ( θ ) θ θ ( ) d 4tg 4Sec d 4 4tg θ 4 4 ( ) d ( ) Ln Secθ θ k 4 ( 4 ) tgθ dθ tgθd θ dθ ( ) 4tgθ tgθ θ arctg ; Sec θ 46
19 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA ( ) d Ln arctg k ( ) ( ) d ( ) d Para I : d ( ) ( ) ( ) ( ) Solucionando de forma similar : d Ln arctg ( ) k d ( ) Ln arctg Ln arctg k ) d ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( 8 ) d Ad Bd Cd ( D E) d d ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( 8 ) A B C ( D E) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Resolver el sistemadeecuaciones : A ; B ; C ; D ; E 0 4 ( 8 ) d d d d d ( ) ( ) ( ) ( ) I ; I ; I son inmediatas d d I 4 De la forma: a Cambio : atg ( ) ( ) 4 θ 47
20 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA tgθ tgθ ; ( ) tg θ; d Secθdθ ( tgθ ) Sec θdθ ( tgθ ) dθ tgθdθ dθ ( ) d tg θ 4 4 ( ) d ( ) Ln Secθ θ k 4 d ( ) ( ) 4tgθ tgθ θ arctg ; Secθ I Ln arctg ( ) k 4 8 ( ) d Ln Ln Ln arctg ( )( ) k d ) (5 ) d 5 4 ( 4)( ) 5 0 (5 0 ) d A B C d d d 5 4 ( 4)( ) ( 4) d ( ) 5 0 A B C A ( 4)( ) ( 4) ( ) A ; B ; C (5 0 ) ( 4)( d d d d ( 4)( ) ( 4) ( ) d 5 Ln Ln 4 Ln k ) B( ) C( ) 48
21 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA 8 7 0) 4) ( d ( 0) (( 5)( )) ( 5) ( ) Ad Bd Cd Dd d d ( 0) ( 5) ( ) ( 5) ( 5) 8 7 A B C D ( 5) ( ) ( 5) ( 5) ( ) ( ) resolver el sistema deecuaciones : A ; B ; C ; D d 0 d 7 d 0 d d ( 5) ( ) ( 5) ( 5) ( ) ( ) Las Integrales son inmediatas d ( 0) 49( 5) Ln ( 5) 4 Ln ( ) k 49( ) NOTA: COMO PUEDEN OBSERVAR LA SOLUCIÓN DE INTEGRALES RACIONALES SE BASA EN PRIMER LUGAR, DETERMINAR LOS VALORES DE LAS CONSTANTES QUE APAREZCAN SEGÚN LOS CASOS ANTERIORMENTE ESTUDIADOS, Y UNA VEZ QUE TENEMOS ESOS VALORES, LAS INTEGRALES A CALCULAR SE RESUELVEN POR MÉTODOS YA CONOCIDOS. 49
22 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA INTEGRALES VARIAS ( ) Arctg d Selección u Arctg du dv d v k ( Arctg) Arctgd ( Arctg) d Arctgd d I Selección: u Arctg du ; dv d v d Cambio de Variable : atgθ tg θ; d Sec θ dθ tg θ Sec θ dθ v v θ θ ( θ ) θ θ θ θ θ θ θ tg d Sec d d Sec d tg k tg v Arctg() k ) Arctg d : ; Arctg Arctg d Arctg d Arctg Arctg ( Arctg) ( ) ( Arctg ) d ( Arctg )( Arctg ) Arctg d (I ) ( ArcTg) d d (I ) (I ) (I ) 4 5 ( ArcTg) d ( ArcTg) d z (I 4) z Arctg dz z dz k k dw dw d (I 5) w dw d d Ln k w ( Arctg) ( Arctg ) I ( Arctg)( Arctg ) Ln k ( Arctg ) ( Arctg ) ( Arctg) d ( Arctg) Arctg Ln k 440
23 ) Sen d Cos INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Sen d Sen d d Cos Cos Cos ( I ) ( I ) u Cos Sen du Sen ( I) d du Send Cos Ln u k d Ln Cos k u Cos du Send ( ) Sen Sen Sen ( I) ( I4) Cos Cos Cos ( I) d d d d Cos Cos Cos Cos Sen Cos Cos d d d Cos ( I) d Ctg Csc d Por Partes : u du d Sen Sen dv Ctg Csc d v Csc k sust. CtgCsc d Csc Csc d CtgCscd Csc Ln Csc Ctg k ( I ) d Csc d Sen 4 u du d dv Csc d v Ctg k Cscd Ctg Ctgd Cscd Ctg LnSen K 44
24 ) ( Cos ) d Sen ( ) INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Cos Cos d d d Sen Sen Sen Cos d ( I) Cambio de Variable : u Sen du Cos d Sen du ( I) Ln u k Ln Sen k u d Sen ( Sen ) d ( Sen ) d ( I ) Sen Sen Sen Sen ( I ) ( ) ( ) Sen d Sen Sen d d d Cos Cos Cos Cos ( I ) ( I ) Sen Para : ( I ) d Cos Sen d Cos Cos Selección : u du d; dv tgsec d v Sec k 4 tg Sec d ( P. P) ( I ) tg Sec d Sec Sec d ( I ) tgsecd Sec Ln Sec tg k d I Sec d P P Cos ( 4 ) (. ) Selección : u du d; dv Sec d v tg k I4 Sec d tg tg d Sec d tg Ln Sec k Cos d Ln Sen Sec Ln Sec tg tg Ln Sec k Sen 44
25 4) Ln d INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA d Ln d Selección; u Ln du ; dv d v k d Ln( ) ( d Ln d Ln ) ( S. T ) ( I ) d ( ) : ; I De la forma asenθ Senθ Sen θ d Cosθ dθ Sen θ Cosθ dθ Sen θ dθ Cos θ dθ Cos θ Sen θ d d Cosθ θ θ Cosθ Cosθ Cosθ Sen θ Cosθ dθ Sen θ Senθ Secθ dθ Cosθ dθ Ln Secθ Tgθ Senθ k ( ) Ln k Ln k Ln k d Ln( ) Ln d Ln K tg 5) d Sen tg d d tg Sen Sen Sen ( I ) ( I ) I Csc d Ctg k tg d Cos Sen d d ( Sen ( I ) Sen d d Sen Sen Sen Cos Sen Cos Cos ) d Sen Cos 44
26 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Sen d Cos d Sen d Cos d tg d Ctg d Ln Sec Ln Sen k Sen Cos Sen Cos Cos Sen tg d Ctg LnSec LnSen k Sen Otra Forma: d d Csc d Sen Sen DÁMASO ROJAS MAYO
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