EXAMENES DE MATEMÁTICA II (MÉCANICA QUÍMICA) APLICADOS EN EL IUTJAA.

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1 EXAMENES DE MATEMÁTICA II (MÉCANICA QUÍMICA) APLICADOS EN EL IUTJAA. EXAMEN 1 I Parte: Determine las ecuaciones de las rectas tangentes las rectas normales a la curva ( 1)( )( ), en sus puntos de intersección con la recta 0 (Derivada por definición). 1 II Parte: Demostrar que la derivada de arctg ( ) ln( + ), es igual a + Demostrar que la derivada de ( 1)( + ) ( + ) ( 1),es igual a ( + ) ( + ) c) Demostrar que la derivada de tg ( 1 + cos ln cos cos a, es igual a III Parte: En qué punto la tangente a la parábola 7 + es paralela a la recta 5 7 +? EXAMEN I Parte: Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva ( + ) a en el punto P (1,1 ), cuando a (5 %) 5 II Parte: Determine los puntos de la gráfica de f ( ) +, para los que su recta tangente es perpendicular a la recta + 7 (5 %) Determine la primera derivada de sen( cos( sen ( + (5 %) cos (

2 α ( αsenβ β cos β) e Demostrar que la derivada de, es igual a α + β α e senβ III Parte: Encuentre los puntos de la gráfica de la ecuación que la tangente es horizontal. + + en los EXAMEN I Parte: Realice un estudio general de la función + 8 f ( ), (1%) + II Parte: Trace la gráfica de una función continúa que cumpla con las condiciones dadas: f ( 0) ; f () ; f (5) 6 f () 0; f ( ) > 0 f ''( ) < 0 si < 1 o si si 1 > 1; f ( ) < 0; si 1 < 1 < 1 ; f "( ) < 0 si < 1 o > 5 III Parte: Determine los valores de las constantes a, b c en la ecuación de la curva a + b + c si ésta pasa por (1,0) además la recta 8 es tangente en ella ( 1, ) (%) IV Parte: Determine los máimos mínimos relativos de la función (utilice el criterio de la primera o de la segunda derivad EXAMEN Parte Única: Resolver las siguientes integrales: f ( ) + 7 tg 1) SenCosd ) d Sen d Sen + ) ) d (1 + ) Ln( ) Cos + 1

3 EXAMEN 5 I Parte: Realice un estudio general de la función f ( ), (11%) 9 II Parte: Trace la gráfica de una función continúa que cumpla con las condiciones dadas: f (0) 0; f ( ) 0 ; f ( ) 0 ; f (5) f ( 6 / ) 1( 6 / 8); f ( 6 / ) 1( 6 / 8) 6 f (0) f ( ) f ( ) 0; f "( 6 / ) f "( 6 / ) f "(0) 0; f ( ) > 0 en (, ) (, ); f ( ) < 0; en(, ) f ''( ) < 0 en (, 6 / ) (0, 6 / ); f "( ) > 0 en ( 6 /,0) ( 6 /, ) (6%) III Parte: Determine los valores de a b en la ecuación a + b, asumiendo que la curva en cuestión tiene un etremo relativo en (, ), donde además eiste la primera derivada. (%) IV Parte: Determine los máimos mínimos relativos de la función (utilice el criterio de la primera o de la segunda derivad f ( ) EXAMEN 6 Parte Única: Determine las siguientes Integrales Indefinidas, Utilizando el Método adecuado para cada Caso: Sec d Ln( + 1) Ln d (%) (%) ) (%) d c Tan ( + 1) + d) Sen d Sec( ) d e) ArcCos d (6%) f ) Cos 6Cos Sec( ) Tan( )

4 EXAMEN 7 I Parte: Demuestre que la ecuación de la recta tangente a la parábola En el punto p( 0, 0 ) es 0 p + p0. p II Parte: Determine el valor de la constante a, para que la curva a a tangente a la recta en el punto de abscisa igual a. a sea III Parte: Demuestre que la derivada de Ln + Arctg( ) es igual a ( + ) Demuestre que la derivada de a b ( a+ ( + ) es igual a c) Demuestre que la derivada de + arcsen arccos es igual a 0 EXAMEN 8 I Parte: Calcule la recta tangente a la curva p(, ) cuando a ; b 6 ( b + + a ) a en el punto II Parte: Determine el valor de la constante a b para que la curva a + b 0 sea tangente a la recta + 0 en el punto ( 1,1 ) III Parte: Calcule la recta Normal a la curva e sen + en el origen.

5 IV Parte: Demuestre que la derivada de cos sen + sen cos sen + sec es igual a Demuestre que la derivada de sen + cos es igual a sen cos ( sen cos ) EXAMEN 9 I Parte: Determine los etremos relativos de la función. f ( ) ( ) II Parte: Determine el valor de la constante a, b, c para que la curva F ( ) a + b + c, tenga máimo en ( 1,1) (1,1) un mínimo en (1,1) + 1 III Parte: Realizar un estudio general de la función dada: f ( ) (10%) IV Parte: Use el criterio de la primera derivada para determinar el valor de que hace la función f ( ) , mínima. Nota: X>0 EXAMEN 10 I PARTE: Hallar a, b, c, d tales que f ( ) a + b + c + d, satisfaga las condiciones siguientes: Máimo Relativo (,) Mínimo Relativo (5,1) c) Punto de Infleión (,) (Valor 5%) II PARTE: Analizar la gráfica de ( 9) f ( ) (Valor 10%)

6 Sen 1 e ) c(1 tgsen) Cos+ (.)( ds 5%) dlnc ( d Cos().) P ) d e+ (.) 1ST + III PARTE: Analizar la función f ( ) 5 5 según el criterio de la primera derivada. (Valor 5%) IV PARTE: Un granjero dispone de 00 m de valla para cerrar dos corrales rectangulares adacentes. Qué dimensiones harán que el área encerrada sea máima? (Valor 5%) EXAMEN 11 Parte Única: Calcule las siguientes Integrales Indefinidas, Utilizando el Método indicado para cada Caso: Sen d ) (..) ) (..) 5 a S S b Tg Sec d S S cos ( ) + 1 Ln Ln d d d c) ( P. P.) d) ( P. P.) e) ( S. T.) (1 + ) EXAMEN 1 Parte Única: Calcule las siguientes Integrales Indefinidas, Utilizando el Método indicado para cada Caso:

7 EXAMEN 1 Parte Única: Calcule las siguientes Integrales Indefinidas, Utilizando el Método indicado para cada Caso: d Tg ( S. S.) (6%) d( S. S.) (6%) Cos Cos d c S T d Sen d P P ( + a ) ) (..) (7%) ) (..) (6%) EXAMEN 1 I Parte: Determine una ecuación de cada recta tangente a la curva perpendicular a la recta que sea II Parte: Halle una ecuación de la recta tangente a la curva sen + cos en el π punto donde III Parte: Derivar simplificar las siguientes epresiones c/u a Tag 1 b Sec ctg tag c sen ) ( ) ) + ( + ) ) + cos 1 EXAMEN 15 Parte Única: Calcule las siguientes Integrales Indefinidas, Utilizando el Método indicado para cada Caso: (1 + tg ) sen e (1 + e ) d ( S. S.) d ( S. S.) (6%) Cos 1 e d c S T d Sen d P P ( + ) ) (..) (7%) ) (..) (7%)

8 EXAMEN 16 I Parte: Determine los etremos relativos de la función dada f ( ) (6%) + II Parte: Realizar un estudio general de la función dada: f () (1%) ( 1) III Parte: Un generador de corriente directa tiene una fuerza electromotriz de E voltios una resistencia interna de r (Ω) donde E r son constantes. Si R en (Ω) es la resistencia eterna conectada a la máquina, la resistencia total es (r+r) (Ω) si P Watts E R es la potencia entonces P, demuestre que el consumo máimo de potencia (r + R) se presenta cuando R r (7%) EXAMEN 17 I Parte: Realizar un estudio general de la función dada: + f( ) ( 1) (1%) II Parte: Calcule la siguiente Integral, Utilizando el Método indicado d ( ST..) (7%) ( + ) III Parte: Demuestre que la derivada de sen + cos es igual a: (%) sen cos ( sen cos ) Demuestre que la derivada de + arcsen arccos es igual a: 0 (%)

9 EXAMEN 18 PARTE ÚNICA: Resuelve las siguientes integrales utilizando el método adecuado. 5 Valor: %( c / u) Sec d Ln( Cos) Sen e 1) d ) ) d ) 5 ( ) Sec Tag Cos Cos Sec EXAMEN 19 I Parte: Demuestre que La primera derivada de Cos ( ) f() es f () 1 Sen( ) 1 Sen( ) (%) + II Parte: Realice un estudio General de la siguiente función f ( ) (9%) 16 III Parte: Resuelva la siguiente integral Cos d Sen + 8Sen + 5 VI Parte: Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones +, (7%) EXAMEN 0 I PARTE: Hallar a, b, c, d tales que f ( ) a + b + c + d, satisfaga las condiciones siguientes: Máimo Relativo (,), Mínimo Relativo (5,1), c) Punto de Infleión (,) (5 %) II Parte: Trace la gráfica de una función F con las características siguientes: f () f () 0; f ( ) < 0 si f ( ) > 0 si < ; > ; f ( ) > 0, f () / ; ( %) + III Parte: Analizar la siguiente función f ( ), (10 %)

10 IV Parte: Un generador de corriente directa tiene una fuerza electromotriz de E voltios una resistencia interna de r (Ω), donde E r son constantes. Si R en (Ω) es la resistencia eterna conectada a la máquina, la resistencia total es (r+r) (Ω) si P Watts E R es la potencia entonces P (r + R), demuestre que el consumo máimo de potencia se presenta cuando R r (6 %) EXAMEN 1 I PARTE: Demuestre que la derivada de arcsen( ) ( + ) Es igual a arcsen( ) (6 %) II PARTE: Demuestre que la derivada de 1 Ln 1 ( ) + arctag + +. Es igual a + 1 (6 %) 1 III Parte: Derivar simplificar: ( + ) ( %) IV Parte: Hallar las ecuaciones de la tangente la normal a 7, en el punto (,) ( %) EXAMEN 1 Determine la primera derivada por definición de la función dada: f ( ) Log ( %) a Derive simplifique las siguientes epresiones: (% c/u) m b + a n f ( ) b a n sen f ( ) arccsc 1 cos

11 Demostrar: (% c/u) ( arcsen ) arccos arcsen (arccos arcsen ) f ( ) es f ( ) 1 b f 1 ) ( ) sen cos es f ( ) Tg c tg sen cos Derive la siguiente Epresión: (6 %) (cos ) arctg sen + cos arc sen Tg ( sen e EXAMEN 1 Determine la primera derivada por definición de la función dada: f ( ) Tg ( %) Derive simplifique las siguientes epresiones: ( % c/u) arc c tg( arc sen( Ln )) sen Ln (sen + cos ) f ( ) 1 cos sen Demostrar: ( % c/u) cos c tg f ( ) + sen es cos f ( ) sen f ( ) arcsen Ln 1 1 es f ( ) arc sen 1

12 Derive la siguiente Epresión: (6 %) (cos ) arc sen sen + cos (sen ) arc tg csc( e EXAMEN 1 Determine la primera derivada por definición de la función dada: f ( ) Ln() ( %) Derive simplifique las siguientes epresiones: (% c/u) a ) f ( ) arc tg( arc cos( Ln )) Tg f ( ) arc csc 1 sen Demostrar: (% c/u) ( arcsen ) arccos f ( ) f ( ) cos sen c tg + es es arcsen (arccos arcsen ) f ( ) 1 cos f ( ) sen Derive la siguiente Epresión: (6 %) arc sen sec + csc arc tg Tg ( ( tag ) (sec ) e EXAMEN 5 1 Determine la primera derivada por definición de la función dada: f ( ) ( %) Derive simplifique las siguientes epresiones: (% c/u) ( arcsen ) sen + sec f ( ) + f ( ) arc tg sen + cos 1 sen 1

13 Demostrar: (% c/u) f ( ) Ln 1 sen sen + arc tg sen es f ( ) cos sen f ( ) cos a cos es f ( ) tg (1 + cos Ln Derive la siguiente Epresión: (6 %) senα sen cos β sen( ) e a ) ( sen cos tg EXAMEN 6 1 Determine la primera derivada por definición de la función dada: f ( ) ( %) cos Derive simplifique las siguientes epresiones: (% c/u) f ( ) ( arc tg ) sec + sec + cos + tg f ( ) arc cos 1 csc Demostrar: (% c/u) 1 f ( ) ( + ) + es f ( ) 5 + ( 1)( + ) 5 5 ( + ) f ( ) cos a cos es f ( ) tg (1 + cos Ln

14 Derive la siguiente Epresión: (6 %) secα cos tg β cos( ) e a ) ( sec csc c tg EXAMEN 7 I PARTE: Demuestre que la derivada de cos() es igual a 1 cos() cos (5 %) sen II PARTE: Demuestre que la derivada de (5 %) Ln( + ) arctag( ) es igual a + III Parte: La potencia eléctrica P, de un circuito de corriente continua con resistencias R 1, R, conectadas en serie alimentada por un voltaje V, viene epresada por VR1R dp dp P, determine:, ( %c/u) ( R + R ) R R 1 1 IV Parte: Demostrar que la elipse la hipérbola 9 5 son ortogonales, en el punto ( 1,1) ( %) EXAMEN 8 I Parte: Realice un estudio general de la función f ( ) II Parte: Determine los valores de las constantes a, b c en la ecuación de la curva a + b + c si ésta pasa por (1,0) además la recta 8 es tangente en ella ( 1, ). III Parte: Determine los máimos mínimos relativos de la función (utilice el criterio de la primera o de la segunda derivad f ( ) + 7

15 EXAMEN 9 I PARTE: Demuestre que la derivada de cos() es igual a 1 cos() cos (5 %) sen Ln( + ) arctag( ) es igual a + (5 %) + II Parte: Analizar la siguiente función f ( ), (10 %) III Parte: Resolver la siguiente Integral +1 d (5 %) EXAMEN 0 I Parte: Demostrar: (.5%) ( arcsen ) arccos f ( ) es f ( ) arcsen ( arccos arcsen ) 1 II Parte: Realice un estudio general de la función (.5%) III Parte: Resuelve la siguiente Integral (.5%) d IV Parte: Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones + (.5%)

16 EXAMEN 1 Tg arc sen 1.) d ( sust. simple).) d ( por partes) sen ( ) 1 1.) d ( sust. trig.).) sen (cos ) 5.) sec EXAMEN Ln d Tg d I Parte: Analizar la siguiente función F ( ) 5+ 5 II Parte: Determine los puntos máimos, mínimos de infleión de la curva siguiente: f ( ) e III Parte: La ecuación de la intensidad del campo eléctrico en el eje de un anillo uniformemente cargado es E( ) kq, donde q es la carga tota, k una ( + a ) constante a es el radio del anillo. Para qué valor de es máima la intensidad del campo? EXAMEN I Parte: Analizar la siguiente función F( ) + II Parte: Determine los puntos máimos, mínimos de infleión de la curva siguiente: f ( ) Ln( ) III Parte: Una pila tiene un voltaje fijo una resistencia interna r, se conecta a un v circuito que tiene resistencia variable R. Por la Le de Ohm la corriente es I, R + r la potencia de salida está dada por P I R. Demuestre que la potencia máima se alcanza cuando Rr.

17 EXAMEN I Parte: Analizar la siguiente función F( ) ( 9) II Parte: Determine los puntos máimos, mínimos de infleión de la curva siguiente: F( ) e III Parte: Un proectil es disparado con una velocidad v o un ángulo de elevación Ө desde la base de un plano inclinado a 5º con respecto a la horizontal, el alcance del proectil, medido sobre la pendiente está dado por. Qué valor de Ө maimiza a R? EXAMEN 5 v R( θ ) o (cosθ senθ cos θ ) 16 I Parte: Analizar la siguiente función 9 F( ) II Parte: Determine los puntos máimos, mínimos de infleión de la curva siguiente: f ( ) sen+ cos III Parte: Cuál será la forma rectangular de un campo de área dada igual a para que sea cercado por una valla de longitud mínima? EXAMEN 6 6 Dm I Parte: Analizar la siguiente función F( ) 6+ 1 II Parte: Determine los puntos máimos, mínimos de infleión de la curva siguiente: F( ) cos + sen( ) III Parte: Una esfera tiene un radio de 6 cm. Hallar la altura del cilindro de volumen máimo inscrito en ella.

18 EXAMEN 7 Parte Única: Determine las siguientes Integrales Indefinidas, Utilizando el Método adecuado para cada Caso: Sec d Ln( + 1) Ln (%) (%) d Tan ( + 1) d Sen d c) (%) d) + Cos 6Cos + 1 Sec( ) d e) ArcCos d (6%) f ) 1 + Sec( ) Tan( ) EXAMEN 8 I Parte: Demuestre que la ecuación de la recta tangente a la parábola punto p( 0, 0 ) es 0 p + p0. p, en el II Parte: Determine el valor de la constante a, para que la curva a a a sea tangente a la recta en el punto de abscisa igual a. III Parte: Demuestre que la derivada de Ln + Arctg( ) es igual a ( + ) Demuestre que la derivada de a b ( a+ ( + ) es igual a c) Demuestre que la derivada de + arcsen arccos es igual a 0

19 EXAMEN 9 I Parte: Calcule la recta tangente a la curva ( b + + a ) a en el punto p(, ) cuando a ; b 6 II Parte: Determine el valor de la constante a b para que la curva a + b 0 sea tangente a la recta + 0 en el punto ( 1,1 ) III Parte: Calcule la recta Normal a la curva e sen + en el origen. IV Parte: Demuestre que la derivada de cos sen + sen cos sen + sec es igual a Demuestre que la derivada de sen + cos es igual a sen cos ( sen cos ) EXAMEN 0 Parte Única: Calcule las siguientes Integrales Indefinidas, Utilizando el Método indicado para cada Caso: Sen d ) (..) ) (..) 5 a S S b Tg Sec d S S cos Ln ( Ln) d d c) ( P. P.) d) ( P. P.) (1 + ) + 1 d e) ( S. T.) EXAMEN 1 Parte Única: Calcule las siguientes Integrales Indefinidas, Cos d e (1 + e ) (1 + tg ) sen d c) d Sen 1 e Cos Ln( Cos ) d d) d e) Cos + + 1

20 EXAMEN Parte Única: Calcule las siguientes Integrales Indefinidas. d Tg (6%) d (6%) Cos Cos d c d Sen d ( + a ) ) (7%) ) (6%) EXAMEN I Parte: Determine una ecuación de cada recta tangente a la curva que sea perpendicular a la recta II Parte: Halle una ecuación de la recta tangente a la curva sen + cos en el π punto donde III Parte: Derivar simplificar las siguientes epresiones c/u 1 a Tag b Sec ctg tag c sen ) ( ) ) + ( + ) ) + cos 1 EXAMEN Parte Única: Calcule las siguientes Integrales Indefinidas, Utilizando el Método indicado para cada Caso: (1 + tg ) sen e (1 + e ) d d (6%) Cos 1 e d c) (7%) d) Sen d (7%) ( + ) EXAMEN 5 + I Parte: Realizar un estudio general de la función dada: f () (1%) ( 1)

21 d II Parte: Calcule la siguiente Integral Indefinidas: ( ST..) (7%) ( + ) sen + cos III Parte: Demuestre que la derivada de es igual a sen cos (%) ( sen cos ) Demuestre que la derivada de arcsen arccos es igual a 0 + (%) EXAMEN 6 Parte Única: Resolver las siguientes integrales: tg SenCos d (.5%) d (.5%) Sen d Sen + c) (.5%) d) d (,5%) (1 + ) Ln( ) Cos + 1 Nota: Esta es una colección de eámenes aplicados durante varios años de servicios en el IUTJAA, como profesor de Matemática II de las especialidades de Tecnología Mecánica Tecnología Química, muchos de estos ejercicios están resueltos en los archivos publicados en la página web. Gracias. Dámaso Rojas. Octubre 007