U y j U. z k donde U = U(x, y, z ). a donde a = a1i a2 j a3k y. (, ).cos y. x y

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1 Análisis Matemático C T.P. Nº TRABAJO PRACTICO N DIFERENCIALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. INTERPRETACIONES GEOMETRICAS Y APLICACIONES.DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS E IMPLICITAS. DERIVADA DIRECCIONAL. GRADIENTE. DIVERGENCIA. ROTOR. Definiciones Gradiente: Grad U = U = U i U j U k donde U = U(,, ). Divergencia: Div a =. a = a a a donde a = ai a j ak Rotor: Rot a = a = i j k a a a..a) Hallar df (, ) siendo f e. (, ).cos. b) Hallar df (, ) siendo f (, ). c) Hallar df (,, ) siendo f (,, ) cos ln. d) Hallar df (,, ) siendo f (,, ).. a) Hallar f ( 0, 0 ) f ( 0, 0 ) si f (, ). b) Indicar si dicha función es diferenciable en (0,0), justificando la respuesta.. El volumen del cono es V r h. Se construe un cono de altura h 6 radio r, cometiéndose errores r h en su radio altura, respectivamente. Completar la tabla adjunta para mostrar la relación entre V dv para dichos valores. r h dv V V - dv

2 Análisis Matemático C T.P. Nº 4. Aproimar el cambio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 6 8 u cuando el más corto se prolonga 4 u el más largo se acorta 8 u. 5. La aceleración de un cuerpo que se deslia hacia abajo en un plano inclinado, prescindiendo del roamiento, viene dada por la fórmula a g.sen i. Si g varía cm por segundo cuadrado si el valor de i, que mide 0 puede tener de error, cuál es el error aproimado del valor calculado de a? Tómese el valor normal de g como 9. 80m s. 6. Hallar,,, para cada una de las siguientes funciones: a) arctg b) c).senh( ) 7. Demostrar que la función ln verifica la siguiente ecuación: 8. Hallar d f (, ) d f (, ) de la función del ejercicio a). 9. Hallar d f (,, ) de la función del ejercicio d). 0. Demostrar que las funciones dadas verifican la ecuación (llamada ecuación de Laplace): 0 a) e ( sen cos ) b ) ln ( ). Reconstruir, si es posible, las funciones de las cuales provienen las siguientes epresiones: a d ) d b) ( ) d ( ) d c) ( ) d ( 4 6 ) d d) ( 6 ) d ( e ) d e) ( sen ) d ( cos ) d f ) ( ) d ( 4 ) d ( ) d g) ln( ) d d d h d ) ( ) ( ) d ( ) d

3 Análisis Matemático C T.P. Nº. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) d ( ) d 0 solución particular en (,-). b) d ( ) ( ) d 0 d c) ( ) 0 d d) e ( d d) e ( d d) solución particular en (0,-). ln e) '. Encontrar la traectoria ortogonal que pasa por (,0) de la familia de curvas Ce. 4. Encontrar las ecuaciones del plano tangente de la recta normal a: a) en (,,4) b) en (,,) c) en (4,,f(4,)) d) e en (,, f (, )) 5. Dada donde t t 4, hallar d dt como derivada de una función compuesta, verificarla luego epresando como función de t calcular d dt t. 6. Hallar d d si ln e. 7. Dada f (,, ), hallar u. v f f, siendo u v. u v v u 8. Hallar las derivadas de t respecto de,, para =-, =0, =/ dada u t u v w siendo v sen. w

4 Análisis Matemático C T.P. Nº 4 9. Hallar en las siguientes funciones: a e ) sen e cos b) 0. Hallar las derivadas parciales de respecto de de de: a ) b ) d ) a b c 0 c ) cos cos cos Verificar despejando f (, ).. Sea =(,) la función diferenciable determinada por la ecuación 0. Hallar d(-,).. Calcular la derivada direccional de la función f (, ) de la recta =. Verificar aplicando la definición. en (,) en la dirección. Hallar la derivada de la función en el punto M (,) en la dirección que va desde éste al punto N (4,6). 4. Hallar la derivada de la función ln en el punto (,) en la dirección: a) de la bisectri del primer cuadrante. b) del semieje negativo de las. 5. Siendo f (, ) 9, hallar D f (, ) siendo u el vector unitario en la dirección del vector U = 4i j. u 6. Hallar la derivada de la función u 5 en el punto M (,,-) en la dirección que forma ángulos iguales con todos los ejes coordenados. 7. Calcular el gradiente de las siguientes funciones en los puntos dados: a) en (, ) c) en ( 4, ) e) u ln( ) en (, 0, ) b) cos( ) tg en (, ) d) u.. en (,, ) f) Graficar los gradientes hallados en a) c).

5 Análisis Matemático C T.P. Nº 5 8. Hallar la magnitud la dirección de la máima raón de cambio de la función dada por: a ) b ) c )u d )u.. en(, ) en(, ) en(,, ) en( 0,, ) 9. Determinar el ángulo formado por los gradientes de la función u puntos A (-,0,0) B (0,,0). en los 0. Dada la función f (, ), hallar en el punto (,) a) la pendiente en la dirección. b) la dirección de pendiente máima calcular la pendiente en dicha dirección. c) la dirección de pendiente nula.. Dada la superficie de ecuación 9, con > 0 : a) Hallar el gradiente de la función en el punto (-,4) graficarlo. b) Hallar el valor de la derivada en el punto (-,4) en la dirección que forma un ángulo = / con el semieje positivo de las abscisas medido en sentido antihorario. c) Verificar gráficamente el valor hallado en b). d) Hallar la curva de nivel de la función dada en el punto (-,4). e) Verificar gráfica analíticamente la relación eistente entre la curva de nivel el gradiente de en el punto (-,4).. Dado el campo escalar U a) Hallar la magnitud la dirección del gradiente en el punto (,,). b) Determinar en qué puntos el gradiente del campo U es perpendicular al eje, en cuales es igual a cero.. Hallar la divergencia el rotor de los siguientes campos vectoriales, indicando si alguno de ellos es irrotacional o solenoidal. a) a. i. j. k en (,, ) b) a. i. j. k c a e ) sen. i e cos. j

6 Análisis Matemático C T.P. Nº 6 4. Calcular la divergencia el rotor del gradiente de un campo escalar U. 5. Si a. i. j. k, hallar: a) b). a c) a d) div( a ) e) rot( a ) 6. Si a. i. j. k, hallar en (,-,): a) a. b). a c) ( ) a 7. Verificar las siguientes identidades: a) div rot v 0 b) ( u) u u, (con, u: campos escalares) c ).( a + b ) =. a +. b d ) ( a + b ) = a + b e ). ( a ) = ( a ) + ( ).a Ejercicios Propuestos. Analiar si la función ( ) es diferenciable en (,0).. La resistencia de un circuito se halló empleando la fórmula I=E/R, siendo I la intensidad de la corriente E la fuera electromotri. Si ha un error de /0 amperio en I /0 voltio en E,Cuál es un valor aproimado del máimo error de R si las lecturas son I=5 amperios E=0 voltios?. Demostrar que para la función ln se verifica que: ln 4. Reconstruir, si es posible, la función de la cual proviene la siguiente epresión: 4 ( 6 ln ) d ( ) d ( ) d 5. Un lado de un rectángulo de =0m aumenta con una velocidad de 5m/s, el otro lado de =0m, disminue con una velocidad de 4m/s. Con qué velocidad variarán el perímetro el área de dicho rectángulo? 6. Un punto se mueve sobre la curva de intersección de la superficie esférica 49 el plano =. Sabiendo que cuando es 6 aumenta a raón de 4 unidades por segundo, hallar: a) a raón de cuántas unidades por segundo cambia b) con qué rapide se mueve el punto.

7 Análisis Matemático C T.P. Nº 7 7. Siendo demostrar que. 8. Dada la superficie de ecuación 0 > 0 el punto P (-,) perteneciente al dominio de dicha función: a) hallar la ecuación de la recta tangente a la curva intersección de dicha superficie con un plano paralelo al o que pasa por el punto (-,, f(-,)). b) hallar las ecuaciones del plano tangente de la recta normal a la superficie dada en (-,,f(-,)). c) hallar el gradiente de la función en P graficarlo. d) hallar el valor de la derivada en P en la dirección del semieje negativo de las. e) hallar el valor de la derivada en P en la dirección del eje negativo de las. f) verificar gráficamente los valores hallados en d) e). g) hallar la curva de nivel de la función dada en P. h) verificar analíticamente la relación eistente entre la curva de nivel el gradiente de la función en P. 9. Determinar el ángulo formado por los gradientes de la función u los puntos P (0,,-) Q (,-, 0). en 0. Contestar verdadero o falso a cada una de las siguientes proposiciones. Justificar. a) Si f (, ) D f ( 0, 0) 0, b) Si f (, ) D f (, ) c) Si D f (, ) eiste D f (, ) D f (, ) d) Si D f ( 0, 0) C, C 0 e) Si F(,, ) f (, ) F f (, ). i f (, ). j k. a) Demostrar que ( a) a a. b) Verificar el resultado de a) si a i j ( ) k Respuestas a los ejercicios. a) (sen e ) d (cos e ) d b) d d c d ) ( sen ) sen d ln d 9 d) - 5d d d. f (0,0) = 0 f (0,0) = 0. No es diferenciable en (0,0) pues el infinitésimo no es de orden superior al infinitésimo tipo.

8 Análisis Matemático C T.P. Nº 8. V dv V-dV /0 u m/s 6. a ) b ) c ) ( ( ) ) ln ch( ) sh( ) ( ) sh( ) ( ) ( ln ) ch( ) sh( ) 8. d d f (, ) f (, ) e d (cos e sen e )d d (sen e (cos e e )dd e e d )d d e ( )dd 9. d f (,, ) 6d 4d d 8dd dd 6dd. a ) f (, ) b )P c ) d )P Q Q C C e ) f (, ) f ) g )P R h ) sen C C C. a) b) ln C c) C 0 d) e e e) ln ( ) C

9 Análisis Matemático C T.P. Nº 9. 4 e 4. a) b) 5 c) 9 8 d) e e e d d 5. ( t ) ( t 4 ) 6t( t ) 64 dt dt ln d ln 6. ( ) d ( ) t 7. f u u v v 4u f v u uv 4v e sen e sen a )' e cos e cos ln b )' a ) b ) c ) d ) 6 cos sen sen cos c a d(, ) 4 ( d d ) ( ) c b sen cos sen cos.. 4. a) b) -/

10 Análisis Matemático C T.P. Nº a) (i+j) b)i+j c)i-j d)6i+j+k e)-i+k f) a) c) 8. a) 5, 6 6 b), /4 c) 6 d = /i - /j + /k d) 9 d = j 9. / 0. a) 6( -) b) 7/4 o ( /, / ), c) /4 o ( /, / ), 5/4 o ( /, / ). a) i - j b) d) 5 4 c) e) (-,4) 4 (-,4) 5 4 / e) Pendiente (-,4) = -4/ Pendiente curva de nivel en (-,4) = /4.

11 Análisis Matemático C T.P. Nº. a) U b ) Todos los (,, d ) R i / j k Todos los (,, ) R /. a ) diva 6 rota j k b ) diva 0 rota j Solenoidal c ) diva 0 rota 0 Irrotacional Solenoidal 4. div( U ) U rot( U ) 0 5. a ) i b ) c ) i ( 4 ) j d ) e )( j 6 4 k )i ( 4 8 ) j ( 4 )k 6. a ) 5 b ) c ) 56.i 0.j 47.k Respuestas a los ejercicios propuestos. No es diferenciable dicha función en (,0) pues el infinitésimo no es de orden superior al infinitésimo tipo, a que no eiste el límite ohmios U(,, ) ln C 5 5. d dt m da m 70 s dt s 6. a) 8 unidades por segundo b) 45 unidades por segundo

12 Análisis Matemático C T.P. Nº 8. 4 a ) b ) 5 c ) f (,) i j d ) e ) 4 g ) 0 f) D f(-,) = D / f(-,) = h) Pendiente (-,) = - Pendiente curva de nivel en (-,) = /. 9. = / 0. a) V b) F c)v d)v e)v