UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE Facultad de Ingeniería. Análisis Matemático II

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE Facultad de Ingeniería Análisis Matemático II

2 RÉGIMEN DE REGULARIZACIÓN Y PROMOCIÓN Para aprobar la materia, el alumno podrá: ) Promover la asignatura en forma total con los siguientes requisitos: Asistir a no menos del 8% de las clases teórico prácticas b) Tener aprobadas las asignaturas correlativas correspondientes del plan de estudios: Análisis Matemático I Álgebra Geometría, antes del 6to. turno de eamen del año del cursado. c) Aprobar tres parciales prácticos con calificaciones no inferiores a Bueno (7), con la posibilidad de un recuperatorio práctico, aprobar tres parciales teóricos con calificación mínima de seis (6), con la posibilidad de un recuperatorio teórico. Cumplimentadas las condiciones antes mencionadas, el alumno tendrá aprobada la asignatura sin eamen final. ) Promover la parte práctica de la asignatura con los siguientes requisitos: Asistir a no menos del 8% de las clases teórico prácticas b) Tener regulariadas las asignaturas correlativas c) Aprobar los parciales prácticos, con la posibilidad de un parcial recuperatorio. Cumplimentadas las condiciones antes mencionadas, el alumno tendrá la condición de Regular promovido de la parte práctica de la materia deberá aprobar un eamen final de los contenidos teóricos de la asignatura. Duración: La condición de alumno regular promovido de la parte práctica, se mantendrá hasta el 6to. turno de eamen del próimo año siguiente a la obtención de la misma. ) Regulariar la asignatura con los siguientes requisitos: Asistir a no menos del 8% de las clases teórico prácticas b) Aprobar dos de los parciales prácticos. El ro. do. ó el ro ro. Los alumnos regulares deberán rendir un eamen final teórico - práctico. Duración: La condición de alumno regular, se mantendrá, a partir del momento de regulariar la materia, por tres años un turno. ) Alumnos libres: No cumpliendo ninguna de las condiciones antes nombradas, los alumnos tendrán la posibilidad de rendir como alumnos libres, en mesa de eamen final, debiendo aprobar un eamen final práctico eliminatorio de la totalidad de la asignatura final teórico oral o escrito. ACLARACIONES CON RESPECTO A LAS EVALUACIONES: * Aprobar un eamen parcial o final, teórico o práctico, con calificación seis (6), significa acreditar el conocimiento del 6% de los temas evaluados. * Eámenes parciales prácticos: Se evaluarán en ellos, además de los desarrollos prácticos, conceptos teóricos con preguntas de respuestas breves, que justifiquen dichos procedimientos. * Eámenes finales para alumnos regulares libres: Previo al eamen final práctico se tomará un breve coloquio de conceptos teóricos básicos. De aprobarse el mismo, pasara la evaluación de la parte práctica. De aprobarse ésta última, pasarán al eamen final teórico. Modificaciones realiadas por Ing. Manuel Zeniquel Ing. Juan C. Giraudo.

3 Trabajo Práctico Nº : Funciones de varias variables REPRESENTACIÓN DE SUPERFICIES. Dadas las siguientes superficies, identificarlas, hallar sus traas, sus intersecciones con los ejes coordenados representarlas gráficamente. b) 6 8 c) 5 d) e) 9 6 f) 9 5 g) 9 6 h) i) para j) k) 9. Relacione la ecuación con su gráfica (marcada I-VIII). Dé raones para su elección 9 ; b) 9 ; c) d) ; e) g) ; h) ; f) I. II. III. IV.. Responda: V. VI VII. VIII. Qué representa la ecuación b) Qué representa como superficie en R? c) Qué representa la ecuación? como una curva en R?

4 . Intersecciones entre superficies volúmenes limitados por superficies: Esquematiar las siguientes regiones 9 ; ; ; b) ; ; ; ; c) ; ; ; ; d) ; en el primer octante FUNCIONES DE DOS VARIABLES. f(,) 5 8 Calcular: f(;) b) f(;) c) f(;) d) f(;). (, ) f ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) Calcular:. La altura h de las olas en el mar abierto depende de la velocidad v del viento la duración del tiempo t que el viento haa estado soplando a esa velocidad. En la siguiente tabla aparecen los h f v, t en pies: valores de la función ( ) Cuál es el valor de f (,5)? Cuál es su significado? b) Cuál es el significado de la función h f (, t) c) Cuál es el significado de la función ( )? describa el comportamiento de esta función. h f v,? Describa el comportamiento de esta función. Duración (horas) f(;) b) f(;) c) f(;) d) f(;) Velocidad del viento (km/h) Responder si la función está o no definida en los siguientes casos. ( ; ) para sen sen ( ; ) para cos sen f f π

5 Puntos interiores, eteriores frontera. Conjuntos abiertos, cerrados, acotados coneos 5. Dados los siguientes conjuntos en R Graficarlos b) Hallar el conjunto derivado (conjunto de puntos de acumulación) c) Hallar el conjunto de sus puntos interiores d) Justificar si son conjuntos abiertos o cerrados e) Definir su frontera f) Decir si son o no coneos A ( ; ) / B ( ; ) / < < { } {( ; ) / [( ) < ] [ ( ) > ]} C D ( ; ) / < 9 E ( ; ) / { } 6. Describir analíticamente los siguientes conjuntos de puntos. b) c) - DOMINIO E IMAGEN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES. Determinar el dominio la imagen de las siguientes funciones. Graficar el dominio 6 b) arcsen( ) c) ln( ) d) g) 6 e) ( )( 6 ) 9 ( ) h) f) ( ).cos ( ) ln( ) i) sen( ) j) ln k) sen( )

6 CURVAS DE NIVEL. Cada una de las siguientes ecuaciones representa el relieve de distintos terrenos. Grafique las curvas de nivel de cada uno de ellos con una separación de m desde m de profundidad Ζ. hasta m de altura ( ) b) c). La siguiente ecuación representa la radiación de temperatura dentro de un local en ºC. Graficar las isotermas (curvas de igual temperatur para hacer un estudio de climatiación del mismo. Considerar qué valores etremos puede tomar la temperatura. b). A continuación se ilustra un mapa de contornos para una función f, utilícelo para estimar los valores de f (-,) f (,-). Qué se puede decir acerca de la forma de la superficie? Y X. A continuación se ilustran dos mapas de contorno. Uno es para una función f cua gráfica es un cono, el otro es para función g cua gráfica es un paraboloide. Cuál es cuál, por qué? I Y II Y X X

7 5. Relacione la función con su gráfica con su curva de nivel. De raones para su elección. b) c) sen ² ² ² A. B. C. Y Y Y X X X I. II. III. 5

8 REPRESENTACIÓN DE SUPERFICIES Ejercicios Complementarios:. Dadas las siguientes superficies, identificarlas, hallar sus traas, sus intersecciones con los ejes coordenados representarlas gráficamente 8 b) 6 9 c) Crear la ecuación de un plano que resulte paralelo al eje d) 8 e) f) Hallar la ecuación de un plano que resulte paralelo al plano g) Escribir las ecuaciones correspondientes a los tres planos coordenados. h) 6 para i) j) 9 6 k) 9 con. Decir a qué cuádricas corresponden las siguientes ecuaciones hacer un esquema en cada caso: d) g) a b c a b c a b b) e) - h) a b c a b c a b - c) f) a b c a b. Intersecciones entre superficies volúmenes limitados por superficies: Esquematiar las siguientes regiones ; ; ; ; b) ; 6 en el primer octante. c) - ; ; en el primer octante. d) 6 ; ; en el primer octante. e) 6 9 ; 6 en el primer octante. f) Trace la región limitada por la superficie ² ² ² ² para. g) Trace la región limitada por los paraboloides. h) Encuentre una ecuación para la superficie formada por todos los puntos que equidistan del punto (-,,) el plano. Identifique la superficie. 6

9 FUNCIONES DE DOS VARIABLES 5. f (, ) 5. f (, ) Calcular: f(;) b) f(;) c) f(;-) d) f(-;) Calcular: f(;) b) f(a;- c) f(;) d) f(-a; e) f(a;/. Responder si la función está o no definida en los siguientes casos. f ( ; ) para b) f ( ; ) para > Puntos interiores, eteriores frontera. Conjuntos abiertos, cerrados, acotados coneos. Dados los siguientes conjuntos en R Graficarlos b) Hallar el conjunto derivado ( conjunto de puntos de acumulación) c) Hallar el conjunto de sus puntos interiores d) Justificar si son conjuntos abiertos o cerrados e) Definir su frontera f) Decir si son o no coneos {( ; )/ < } A B ( ; ) / 8 C {( ; ) / < } D ( ; ) / < < { } { ( ; ) / } I { ( ; ) / } E > < 5. Describir analíticamente los siguientes conjuntos de puntos. b) - 6 7

10 DOMINIO E IMAGEN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES ) Determinar el dominio el rango de las siguientes funciones. Graficarlas d) b) c) arc cos sen( ) 5 9 ln ( ) e) f) sen( ) g) ln( h) ) j) ln( ) k) m) ln ( ) i) ( ) 9 ln( ) l) 6 ln( ) ) Encuentre trace el dominio de la función. f (, ) b) f (, ) c) f(,) ln(9 ² 9²) d) e) f (, ) f (, ) 5 ² ² f) f (, ) ln( ) g) f (, ) ² h) f (, ) ² ² ln( ² ²) i) f (,,) ² ² ² j) f(,,) ln(6 ² ² ²) ) Sea f (, ) ln( ) Evalúe f (,) b) Evalúe f (e,) c) Encuentre el dominio de f. d) Encuentre la imagen de f. f, e Evalúe f (,) b) Encuentre el dominio de f. c) Encuentre la imagen de f. ) Sea ( ) 5) Sea g(, ) 6 9² ² Evalúe g (,). b) Encuentre trace el dominio de g. c) Encuentre la imagen de g. 8

11 6) Sea f (,,) ² ln( ) Evalúe f (,6,). b) Encuentre el dominio de f. c) Encuentre la imagen de f. 7) Sea f (,,) ² ² ². Evalúe f (,,-). b) Encuentre el dominio de f. c) Encuentre la imagen de f. CURVAS DE NIVEL. Graficar las curvas de nivel para d) Z, de las siguientes superficies b) c) e). En los siguientes casos, considerar los valores que pueden asignarse a graficar las curvas de nivel. b) 5. Una placa metálica delgada, ubicada en el plano, tiene temperatura T(,) en el punto (,). Las curvas de nivel de T se denominan isotermas porque en todos los puntos de una isoterma la temperatura es la misma. Trace algunas isotermas si la función de temperatura esta dada por T, ( ) ( ). Si V (,) es el potencial electrónico en un punto (,) del plano, entonces las curvas de nivel de V se llaman curvas equipotenciales porque en todos los puntos de dicha curva el potencial eléctrico es igual. Trace algunas curvas equipotenciales si V(, ) c r² ² ², donde c es una constante positiva. 5. Relacione la función con su gráfica esquematice su curva de nivel. De raones para su elección. sen ² ² b) e c) sen sen I II III 9

12 Trabajo Práctico Nº : Límites continuidad LÍMITES Calcular, si eisten, el límite doble los límites iterados de las siguientes funciones en los puntos indicados. Probar por otros caminos si fuera necesario. ) lím (, ) (, ) ) ) 5) 7) lím ( 9 )sen( ) ( ) (, ) (, ) lím (, ) (, ) ( )sen( ) lím ) (, ) 8) (, ) 6) lím (, ) (, ) lím ( ) ( 9 ) ( )( ) (, ) (, ) lím (, ) (, ) (, lím ) (, ) CONTINUIDAD ) Dadas las siguientes funciones, determinar si son continuas en el origen, justificando la respuesta. ( ; ) ( ; ) b) ( ; ) ( ; ) c) 5 ( ; ) (;) ( ; ) (;) ) Dadas las siguientes funciones, determinar si son continuas en el punto (;) justificando la respuesta. ( ; ) ( ; ) b) ( ; ) ( ; ) ) Definir f(;) para que la función sea continua en dicho punto ( 9) sen c) ( ) sen( b) )

13 Ejercicios Complementarios: LÍMITES Calcular, si eisten, el límite doble los límites iterados de las siguientes funciones en los puntos indicados. Probar por otros caminos si fuera necesario. ) lím (, ) (, ) 6 ) lím (, ) (, ) ) ) lím (, ) (, ) lím (, ) (, ) ( ) sen sen sen 5) lím 6) lím (, ) (,) (, ) (, ) 7) lím ) Probar con 8) lím (, ) (, ) (, ) (, ) ( sen( ) 9) lím ( )( ) (, ) (, ) ) lím (, ) (, ) ( )( ) 7 ) lím ) lím Probar sobre (, ) (, ) (, ) (, ) ) lím sen ) lím Probar con (, ) (, ) (, ) (, ) 5) 7) lím (, ) (,) lím (, ) (,) 5 8) lím (, ) (,) con sobre sen ( π ) 6) si si 9 8 lím ) (,) (, CONTINUIDAD ) Dadas las siguientes funciones, determinar si son continuas en el origen, justificando la respuesta. sen c) f(,) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) si si b) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )

14 ) Determinar si son continuas en el origen las siguientes funciones ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( b) c) ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( d) (;) ) ; ( 5 (;) ) ; ( 5 e) f).sen ) Determinar en qué región son continuas las siguientes funciones e b) c) ) ln( d) ) tg( e) 5 f) sen ) Definir f(;) para que la función sea continua en dicho punto b).sen π c) ) sen( ) tg( 5

15 Trabajo Práctico Nº : Derivadas diferenciales primeras DERIVADAS PARCIALES ) Calcular las siguientes derivadas parciales aplicando la definición de derivada en los puntos indicados en P o (;-) b) 5 en P o (;-) c) sen.cos en P o (;) ) Aplicar las reglas de derivación para calcular las funciones derivadas de las siguientes dadas ( ) ( ) b) c) ln ) Demostrar que si ' ' sen, entonces es.. ' ' ' b) u, se verifica que u u u c) e.ln, entonces es ' '.. ln ) Calcular si eiste, la derivada parcial respecto de en P o (;8) de 5) Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva intersección de la superficie el plano en el punto P o (;) 6 con DIFERENCIALES ) Calcular el diferencial total de las siguientes funciones.e.e b) sen(.ln ) d) u c) arc tg ) Dada la función. comparar hallar la diferencia entre d ) Calcular el diferencial total de en P ( ; ), con d, d, 5 ) Calcular el valor de la función. 5 en, 7,, 99, aplicando diferenciales. 5) Calcular el volumen del material necesario para fabricar un vaso cilíndrico de las siguientes dimensiones: R: radio interior del cilindro, H: altura interior, K: espesor de las paredes fondo del cilindro Dar solución eacta aproimada. b) Medidas interiores: cm de radio cm de altura, con un espesor de material de mm. Dar solución eacta aproimada.

16 6) Los lados de un terreno triangular miden 5 metros con un error de, m el ángulo comprendido es de 6º con un error posible de º. Cuál es el error aproimado en que está medido el terreno? 7) El peso específico de un sólido se da por la fórmula P s, en donde, P es el peso en el vacío w w es el peso de un volumen igual de agua. Cómo afecta al peso específico calculado un error de ±, en el valor de P ±,5 en el valor de w, suponiendo P 8 w en el eperimento: si ambos errores son positivos; b) si un error es negativo? C) Cuál es aproimadamente el maor error porcentual? 8) El período de oscilación de un péndulo es l P π, cuál es el maor error aproimado en el g período si ha un error de ±, m en la medida de una suspensión de m, si g, que se toma como 9,8 m/seg, puede tener un error de 5 mm/seg?; b) cuál es el error porcentual? DERIVADAS PARCIALES Ejercicios Complementarios: ) Calcular las siguientes derivadas parciales aplicando la definición de derivada en los puntos indicados c) en o e en o P (;) b) en P o (;) P (;) d) en P o (;) e) en P o (;) f) en o P (;) ) Aplicar las reglas de derivación para calcular las funciones derivadas de las siguientes dadas e b) ln( ) c).sen( ) d) arc sen e).arc tg ln g) h) j). e en P (;).e.e f) i) e.tg.arc tg

17 ) Demostrar que si ' '.sen, entonces es ' ' b).sen.cos, se verifica que.. c) ' ' ln, entonces es.. ) Calcular si eiste, la derivada parcial respecto de en P o (;) de 5) Dado el elipsoide, hallar la pendiente de la recta tangente a la curva intersección 6 del elipsoide: Con el plano, en el punto en que b) Con el plano, en el punto en que DIFERENCIALES ) Calcular el diferencial total de las siguientes funciones b) cos c) u ( ) ln ( ) d) u ) Calcular u du para la función u, cuando ; 8;,;,; comparar los resultados. ) sea. Calcular d en P (;) si d, d -, ) Calcular el diferencial total de ( ) - en P (6;), con d, 5 d, 5) Calcular el diferencial total de la función.ln.ln en P ( ; ), con d, d, 6) Calcular el valor de la función 5. 6 en, 7,, 995, aplicando diferenciales. 7) Calcular aproimadamente aplicando diferenciales 5 (, 8).(, ) 8) Investigar si es diferenciable en el origen la función. ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) 9) Al medir un bloque paralelepípedo de madera, han resultado las dimensiones, cm en cada una con un error probable de,5 cm cada una. Hallar aproimadamente el máimo error que puede 5

18 cometerse al calcular el área total del bloque el porcentaje de error como consecuencia de las medidas individuales. ) Los radios de las bases de un tronco cónico circular recto miden 5 cm cm respectivamente, el lado mide cm; el error máimo de cada medida es de mm. Determinar el error aproimado el error por ciento al calcular con estas medidas: la altura; b) el volumen. ) Se da la superficie. Si en el punto donde, se aumentan cada uno en,, cuál es un valor aproimado del cambio de? ) La resistencia de un circuito se halló empleando la fórmula C E / R, siendo C intensidad de la corriente E fuera electromotri. Si ha un error de / de amperio en C / de voltio en E, cuál es un valor aproimado del error de R si las lecturas son C 5 amperios E voltios? b) cuál es el error porcentual? ) Si para calcular sen ( ) se emplease la fórmula sen ( ) sen cos cos sen, cuál sería el valor aproimado del error que resultaría si se hiciese un error de,º en la medida 5 tanto de como de, si estas medidas diesen sen sen? 5 ) La aceleración de un cuerpo que se deslia hacia abajo en un plano inclinado, prescindiendo del roamiento, viene dada por la fórmula a g.sen i. Si g varía cm/seg, si el valor de i, que mide º, puede tener º de error, cuál es el error aproimado del valor calculado de a? Tómese el valor normal de g 9,8 m/seg. 5) Suponiendo que la ecuación característica de un gas perfecto sea v.p n.r. t, en donde v volumen, p presión, t temperatura absoluta, n cantidad de gas epresada en moléculas gramo (moles) R una constante, cuál es la relación diferencial entre las diferenciales dv, dp, dt? 6) Aplicado a un caso eperimental el resultado del problema anterior, supóngase que haamos m. Kg / m encontrado t º, p.kg/m, v,7 m, n 8,58 R,878 º K. mol cambio de p, suponiéndolo uniforme, cuando t cambia a º v a, m.. Hallar el 6

19 Trabajo Práctico Nº : Funciones compuestas e implícitas FUNCIONES COMPUESTAS ) Sea t,, hallar d en t t dt ) Sea ln( ), e e u v u 5v, hallar u v ) Sea.e, sen( u ) v cos( u ) uv, hallar u en ( u ; v) (; ) v ) Sea u e, t t t, hallar du, epresar en función de t. dt 5) Sea, cost sent, hallar d π en t dt 6) Dada con u.cos v u.sen v analiar si se verifica la relación: u u FUNCIONES IMPLÍCITAS ) Calcular la derivada de las siguientes funciones definidas implícitamente si f() cos sen b) e sen c).. d) a.. e) e sen e cos ) Verificar que los valores dados de de satisfacen la ecuación hallar el valor correspondiente de d d. ;,. b) A B C e C ;, c) e cos e sen ;, 7

20 ) Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones definidas implícitamente si f(;)..sen(. ) b) sen(.) sen(.) sen(. ) c). sen( ) en P(π;;) π en P ; ; ) Dadas las funciones definidas implícitamente por los siguientes sistemas suponiendo que se verifican las condiciones de eistencia, calcular las derivadas que se piden en cada caso. 5 Hallar d d d d b) 5 t t Hallar d dt d dt u v c) u v Hallar u ; v ; u v ; Ejercicios Complementarios: FUNCIONES COMPUESTAS ) Sea t,, hallar d en t t dt ) Sea ln( ), e e t t, hallar d en t dt ) Sea ) Sea u uv,, hallar v v uv u cost,, hallar d en t sent dt en ( u;v ) ( ; ) v 5) Sea 6) Sea u sen t, cos t..,, hallar d π en t dt sen t t t, hallar du en t t dt e 8

21 7) Dada u v e.ln.ln,, demostrar que u v e u v ln. e u v u v ' ' u v 8) Demostrar que si arctg,, se verifica que u v u v u v 9) Sea 6 cos t,, hallar d π para t sen t dt ) f(,) t df 5 para, hallar t e dt en el punto t FUNCIONES IMPLÍCITAS ) Calcular la derivada de las siguientes funciones definidas implícitamente si f() b) c) a d) 6 e) cos ) Verificar que los valores dados de de satisfacen la ecuación hallar el valor correspondiente d de d.. ;, b).. ;, c) e cos ( ) d) 8; (,) e) 5 ; (,) en el origen. f) a a a ; (a, ) Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones definidas implícitamente si f(;) sen(.. ) en el origen. b) ln c) sen (..). d).e 9

22 ) Dadas las funciones definidas implícitamente por los siguientes sistemas suponiendo que se verifican las condiciones de eistencia, calcular las derivadas que se piden en cada caso. 8 Hallar d d d d b) v u v u Hallar v ; u ; v ; u c) v u Hallar v ; u ; v ; u

23 Trabajo Práctico Nº 5: Derivadas diferenciales sucesivas DERIVADAS SUCESIVAS ) Verificar la relación de Schwar en las siguientes funciones: b) 8 ) Calcular las derivadas parciales primeras segundas de las siguientes funciones c) ln e sen( ) b) sen(.ln ) d) f(,) ln ln ) Demostrar que si b) " " ", se verifica que..., se verifica que " " DIFERENCIALES SUCESIVAS ) Hallar d en P o (;) si 5 ) Si hallar d SERIES DE TAYLOR Y MAC LAURIN ) Desarrollar ln( ) en el entorno del punto ( ) P hasta el º orden. ; ) Desarrollar las siguientes funciones en un entorno del punto indicado o en las potencias indicadas aplicando las fórmulas de Talor o Mac Laurin según corresponda, hasta las derivadas terceras inclusive. en un entorno del punto P ( ; ) b) e.cos en un entorno del origen. c) d) e en un entorno del punto ( ;) e en potencias de ( ) P hallar aproimadamente f (,;, ) de ( ).

24 ) Verificar el siguiente desarrollo: cos cos...!! 6! EXTREMOS RELATIVOS ) Calcular los etremos relativos de las siguientes funciones: b) 5 c) 8 8 d) e) e ) Hallar k para que k tenga mínimo relativo en algún punto de su dominio. ) Dividir un número a en tres partes tales que su producto sea máimo. DERIVADAS SUCESIVAS Ejercicios Complementarios: ) Verificar la relación de Schwar en las siguientes funciones: ln( ) b) A C B D ) Calcular las derivadas parciales primeras segundas de las siguientes funciones arc tg c) e ln sen.ln b) d) f(,) cos[ ln ( ) ] ) Demostrar que si " " cos( ) sen( ), se verifica que. t b) e.(sen cos ), se verifica que " " ' t

25 DIFERENCIALES SUCESIVAS ) Hallar d si ) Hallar d si e SERIES DE TAYLOR Y MAC LAURIN ) Desarrollar las siguientes funciones en el entorno de los puntos indicados hasta el º orden π en P ; sen( ) b).e en P ( ; ) ) Desarrollar las siguientes funciones en un entorno del punto indicado o en las potencias indicadas aplicando las fórmulas de Talor o Mac Laurin según corresponda, hasta las derivadas terceras inclusive. e en un entorno del punto P ( ; ) π π en potencias de,. b) sen( ) c) sen ( ) en un entorno del origen. d) e.ln( ) en un entorno del punto P ( ) ) Verificar los siguientes desarrollos: ; a ln( ) ( ln a ln a ln... sen! b) ( )... EXTREMOS RELATIVOS ) Calcular los etremos relativos de las siguientes funciones: b) c) 5 d)

26 e) f) 6 9 g) 5 h) 5 9 i) j) e l) k) ( ) m) e cos n) 6 9 o) 6 9 ) Hallar k para que k presente un punto crítico en P ( ; ). Clasificarlo. ) Hallar k para que k 6 presente un punto crítico en P ;. Clasificarlo.

27 TRABAJO PRÁCTICO Nº 6: Integrales paramétricas: ) Resolver las siguientes integrales paramétricas: e d b) ( ) d c) d π d) sen d ) Derivación bajo el signo integral Hallar las derivadas de las siguientes integrales paramétricas: º : Por la fórmula de Leibnit. º : Integrando previamente. d 5 ( ) d d d d π cos d ) Integrales Sucesivas Resolver: a b a b) ( a ) b c) a ( ) d d d d d) ( d d ) d d 5

28 ) Integrales paramétricas Resolver las siguientes integrales paramétricas: e d d) π Ejercicios Complementarios: sen d e) ln ( ) d ) Derivación bajo el signo integral Hallar las derivadas de las siguientes integrales paramétricas: º : Por la fórmula de Leibnit. º : Integrando previamente. d d d d π b) sen d d b) arctg 6 ( )d c) cos π d ) Integrales Sucesivas π a a senθ r dr dθ b) d d ( ) c) ( ) d d

29 TRABAJO PRACTICO Nº 7: Integrales múltiples ) Calcular las siguientes integrales dobles: A ( ) d d donde A {(, ) ; ; - } donde R {(, ) ; ; } b) d d R c) T d d donde T {(, ) ; ; ; } ) Hallar por integración doble el área de la superficie limitada por los siguientes pares de curvas: 5 ; 5 9 b) ; 9 c) ; d) ; ; -; con ) Hallar por integración doble el área de la superficie limitada por: ( ) 9; ( 6) 6 ; e utiliando coordenadas polares. ) Hallar el volumen limitado por el paraboloide circular: 6 el plano : En el primer octante. b) En los octantes correspondientes a Sugerencia: utiliar coordenadas polares. 5) Hallar el volumen en el primer octante comprendido entre los planos:, interior al cilindro: 6. Resolver utiliando coordenadas rectangulares polares. 6) Hallar el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide elíptico el plano los planos coordenados. 7) Un cuerpo está limitado por el cilindro a los planos ; ;. Calcular su volumen. 8) Hallar los momentos de inercia I e I los radios de giro correspondientes para la superficie situada arriba de limitada por la parábola semicúbica la recta. 9) Calcular el momento de inercia del triángulo limitado por las rectas ; e, con respecto al eje. ) Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por las parábolas: ; -. ) Resolver las siguientes integrales triples: - d d d b) d d d

30 ) Calcular el volumen del tetraedro limitado por los planos ; ; ;. ) Calcular el volumen limitado por el cilindro los planos 6. ) Hallar el volumen limitado por el paraboloide el cilindro. Sugerencia: utiliar coordenadas cilíndricas. 5) Hallar el centro de gravedad del cuerpo limitado por el paraboloide el plano. Ejercicios Complementarios: ) Calcular la siguiente integral doble utiliando coordenadas rectangulares polares: ( ) d d donde D {( ; ) / } D ) Hallar por integración doble el área de la superficie limitada por los siguientes pares de curvas: b ; b b) sen ; cos ; c) ; d) 6 ; ; ) Hallar el área de la región eterior a la circunferencia ( a utiliando coordenadas polares. a e interior a la circunferencia ) Calcular el volumen de los cuerpos delimitados por las siguientes superficies: ; ; ; b) b ; ; ; ; a b c b b c) 7 5) Hallar el centro de gravedad del triángulo cuos vértices son A(;) ; B(;) C(;5). También determinar los momentos estáticos de dicha figura respecto de los ejes e. 6) Hallar el volumen que se elimina cuando a una esfera de radio a se le practica un orificio circular de radio a de forma que el eje del orificio sea un diámetro de la esfera. 7) Hallar los momentos de inercia I e I de las siguientes figuras: ; b) ; 8) Determinar el centro de gravedad de la semiesfera generada por la semicircunferencia 5 ; que gira alrededor del eje. 9) Calcular el volumen del sólido de revolución engendrado por la curva representada por la función, entre al girar alrededor del eje. ) Hallar el momento de inercia del cuerpo de revolución de densidad ρ engendrado por la curva al girar alrededor del eje entre, con respecto al eje.

31 TRABAJO PRÁCTICO Nº 8: Geometría diferencial ) Dados los siguientes vectores: A i j k B 6 i j k Hallar: A B b) A B c) A B ) Siendo: t R e i ln( t ) j tg t k Hallar: dr d R ; dt dt ; dr d R ; dt dt para t ) Demostrar las siguientes propiedades: b) d d d ( A B ) A B dt dt dt d db ( A B ) A dt dt da B dt ) Una partícula se mueve a lo largo de una curva cuas ecuaciones paramétricas son: e -t ; cos t ; sen t ; siendo t el tiempo. Hallar se velocidad la aceleración en el instante inicial t. 5) Una partícula se mueve a lo largo de una curva t ; t t; t ; siendo t el tiempo. Hallar las componentes de la velocidad la aceleración transcurrido segundo en la dirección i - j k. 6) Una partícula se mueve de forma que su vector de posición viene dado por: r cos wt i sen wt j, siendo w una constante. Demostrar: que la velocidad V de la partícula es perpendicular a r. b) que r V es una constante. 7) Hallar la función vectorial F (t) que representa la recta l que pasa por el punto (,,) es paralela a un vector i j. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta.

32 b) Hallar la ecuación del plano normal a la recta en el punto. 8) Siendo r sen t i cos t j t k, hallar: en el punto correspondiente a t Un vector tangente. b) Un vector tangente unitario. c) Ecuación de la recta tangente. d) El vector curvatura radio de curvatura. e) Ecuación del vector normal unitario de la recta normal. f) Ecuación del vector binormal recta binormal. g) Ecuaciones de los planos osculador, rectificante normal en dichos puntos. 9) Hallar la longitud del arco de una circunferencia definida por: cos t sen t para t π/ ) Dados los siguientes vectores: Ejercicios Complementarios: A i j k ; B i j k C i j k Hallar: A B C, A - B b) A B, A C, B c) A B, B C C C d) ( A B ) C ) Siendo: b) t r t i t j e k para t r cost i sent j t k para t π/ Hallar: dr d r ; dt dt ; dr dt d r dt ; ) Demostrar las siguientes propiedades: c) d db ( A B ) A da B dt dt dt d) d da ( φ A ) φ dφ A dt dt dt donde φ es una función escalar. ) Una partícula se mueve a lo largo de una curva, cuas ecuaciones son cos t, cos t,. Calcular los valores de la velocidad la aceleración en el instante t π/. 5

33 5) Una partícula se mueve a lo largo de una curva t t t t ; siendo t el tiempo. Hallar las componentes de la velocidad la aceleración transcurridos segundos en la dirección i - j k. 6) Siendo r sen t i cos t j t k, hallar: en el punto correspondiente a t π/ Un vector tangente. b) Un vector tangente unitario. c) Ecuación de la recta tangente. d) El vector curvatura radio de curvatura. e) Ecuación del vector normal unitario de la recta normal. f) Ecuación del vector binormal recta binormal. g) Ecuaciones de los planos osculador, rectificante normal en dichos puntos. 7) Una partícula se mueve a lo largo de una curva, cuas ecuaciones son cos t; cos t;. Calcular el espacio recorrido durante el intervalo entre: t π/ t π/. 6

34 TRABAJO PRACTICO Nº 9: Campos escalares vectoriales ) Si φ(,, ), hallar el gradiente de φ en el punto (,-,-). ) Hallar φ, siendo φ ln r siendo r i j k ) Demostrar que φ es un vector perpendicular a la superficie φ(,, ) c, siendo c una constante. ) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie 7 en P (,-,). 5) Hallar la derivada direccional de φ en P (,-,-) en la dirección sentido de: i - j - k. 6) Si A i j - k φ, hallar en P (,-,) Divergencia de A ( A ) b) A φ c) (φ A ) 7) Si A i - j k Hallar A (rot A ) en el punto P (, -, ) 8) Si A i - j k φ hallar en P (,,): A. b) (φ A ). 9) Probar las siguientes propiedades: Div ( F G ) Div F Div G b) Rot (f F ) Grad f F f Rot F Ejercicios Complementarios: ) Si φ(,, ), hallar el gradiente de φ en el punto (,-,-). ) Hallar φ, siendo φ r ) Hallar un vector unitario normal a la superficie en el punto (,-,). ) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie en P (,-,). 7

35 5) Hallar la derivada direccional de φ - en P (,-,) en la dirección sentido de: i - j 6 k. 6) Hallar la derivada de P e en el punto (,,-) en dirección hacia el punto (-,5,6). 7) Si A i - j k, hallar el rot rot A ( A ) 8) Si A i - j k, B i j - k φ hallar: ( A ) φ. b) A φ c) ( B ) A d) ( A ) φ e) A φ 9) Hallar la derivada direccional de la superficie ϕ : en P (,-,-), en la dirección sentido de d : i - j k. ) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie ϕ : en P (,,). ) Dados A i j - k ϕ :, calcular la divergencia de ( ϕ A ) en P (-,,). 8

36 Solución ejercicios complementarios Trabajo Práctico Nº : Funciones de varias variables Representación de superficies:. Plano Traas: Plano : ; plano : ; plano :. Intersecciones con los ejes coordenados: eje : ; eje : ; eje : no eiste. b) Plano Traas: Plano : /; plano : ; plano : Intersecciones con los ejes coordenados: eje : ; eje : ; eje :.,5,5 -,5,5 - c)plano paralelo al eje : Traas: Plano : ; plano : ; plano :. Intersecciones con los ejes coordenados: eje : ; eje : no tiene; eje :. d) Plano Traas: Plano : ; plano : ; plano : no tiene. Intersecciones con los ejes coordenados: eje : ; eje : no tiene; eje : no tiene. e) Plano Traas: Plano : 6; plano : no tiene; plano : 6. Intersecciones con los ejes coordenados: eje : no tiene; eje : 6; eje : no tiene. f) Ecuación plano paralelo al plano : Traas: Plano : ; plano : no tiene; plano :. Intersecciones con los ejes coordenados: eje : no tiene; eje : ; eje : no tiene. g) Ecuación plano coordenado : ; plano coordenado : ; plano coordenado :. h) Superficie cilindrica elíptica Traas: Plano : ; plano : ; plano :. Intersecciones con los ejes coordenados: eje : ; eje : no tiene; eje :

37 Solución ejercicios complementarios i) Paraboloide elíptico Traas: Plano : ; plano : ; - plano : Intersecciones con los ejes coordenados: eje : ; eje : ; eje : j) Hiperboloide de hoja Traas: Plano : ; plano : ; plano : Intersecciones con los ejes coordenados: eje : ; eje : no tiene; eje : k) Paraboloide elíptico Traas: Plano : ; plano : 9; plano : 9 Intersecciones con los ejes coordenados: eje : ; eje : 6 6; eje : ) Hiperboloide de hoja (no corta al eje ) b) Elipsoide c) Hiperboloide de hojas (no corta al eje ) - c a -a -b b - -b b a a - a -a - -c - - d) Hiperboloide de hoja (no corta al eje ) e) No tiene representación f) Paraboloide elíptico - - -b b - g) Paraboloide hiperbólico - h) Paraboloide hiperbólico

38 Solución ejercicios complementarios ) b) c) 6 d) e) f) 8 6 g) h). Superficie: paraboloide de revolución. Funciones de dos variables ) b) -6 c) 7 d) -9 ) - b) c) d) e) ) La función no está definida. b) La función está definida. ) A) b) ; / -X - c) ; / - d) No es conjunto abierto ni cerrado. e) ; / f) Conjunto Coneo. B) b) c) ; / 8 d) El conjunto es cerrado. e) ; / f) Conjunto coneo. -X X X C) b) ; / c) ; / d) No es conjunto abierto ni cerrado. -X - X

39 Solución ejercicios complementarios e) ; / f) Conjunto coneo. D) b) ; / -X c) ; / - d) No es conjunto abierto ni cerrado. e) ; / f) Conjunto coneo. X E) ; / ; / b) ; / c) ; / d) El conjunto es abierto. e) ; / f) Conjunto coneo. 5. ; / b) ; / Dominio e imagen de funciones de dos variables -X X - ; /, ; ; ;. b) ; /. ; -X X -X X - c) ; / ; ; - d) ; / 5 ;. -X X -X X - e) ; / 9, ;. - f) ; / ;. -X X -X X - -

40 Solución ejercicios complementarios g) ; / ;. h) ; / ;. ; -X X -X X - i) ; / ;. - j) ; / 5;. -X X -X X - k) ; / 6;. - l) ; / ;. -X X -X X - m) ; / ;. - -X X - ) ; / b) ; / c) ; / d) ; / e) ; / f) ; / g) ; / h) ; / i) ; / ) j) ; / ) ; b) ; c) ; / ; d) ) ; b) ; c) ;

41 Solución ejercicios complementarios 5) ; b) ; / ; c) ; 6 6) ; b) ; / ; c) 7) /5; b) ; / ; c) Curvas de nivel. b) c) d) e). 6 6 b) ;

42 Solución ejercicios complementarios. 5. Ec. a gráf. I; Ec. b gráf. III; Ec. c graf. II. TRABAJO PRACTICO Nº : Límites continuidad Límites lim,,, ; lim lim, ; lim lim, ; lim lim,. ) ; ;. ) ; ; ) ; ;. ) ; ; 5) ; ;. 6) ; ; 7) ; ; ; sobre : 8) ; ;. 9) ; ; ) ; ;. ) ; ; ) ; ; ; sobre : ) ; ; ) ; ; ; sobre : 5) ; ;. 6) ; ; 7) ; ; 5; sobre : 6 8) ; ; Continuidad ) ; ; ; ; ; es discontínua en ;. b) ; ; ; es discontínua en ;. c) ; ; ; ; ; es contínua en ;. ) Contínua. b) Discontínua. c) Discontínua. d) Contínua. e) Discontínua. ) ; / ; b) ; / ; c) ; / d) ; / ; ; e) ; / 5 f) ; / ) No se puede redefinir la función porque esta no posee límite; b) ; ; c) ; 5 Trabajo Práctico Nº : Derivadas diferenciales primeras Derivadas parciales ; 8; ; 6. b) ; 8; ; 8. c) ; ; ;. d) ; 5 ; ; 5. e) ; 6; ; 5 f) ; ; ; ) ; b) ; c) ; d). ;.. e) ; f) / ; g) h) ; i). tan. ;. tan. 5

43 Solución ejercicios complementarios j) ; ; ; ; ) b)..... cos.. cos.. cos. cos..... cos. cos cos. c).. ) ; cos cos 5) b) Diferenciales ) b). cos. c) ln ln. d) ) 9 ; 5 ) 99 5 ; 5 ) 5) 6),9785 7), 8) La función no es diferenciable en el origen porque no es contínua. 9) 8,.,75%. ) Altura: ; %,55%. Volumen: ; %,9%. ), ) 9;,6% ),77 ) 6. 5) 6) 5,9Kg/m 6

44 Solución ejercicios complementarios Trabajo Práctico Nº : Funciones compuestas e implícitas Funciones compuestas )5 ) ) ; ) 9 5) 6) 7) ) 9) ) 9,9788 Funciones implícitas ) ; b) ; c) ; d) ; e) ).. ; ; b)... ; ; d).. 8; ; e).. 5; ; ) ;.. ; d) ; b) ; ; ) ; ; b) ; ; ; 5) ; ; ; Trabajo Práctico Nº 5: Derivadas diferenciales sucesivas Derivadas sucesivas ) ; b) ; c) cos ; f).. ; c). ;. ) ; ; ; ; b) ; ln ; ; ln ; ln c) ln ; ln. cos ; ln ; ; ln d) ; ; ; ; ) cos cos cos cos b) Diferenciales Sucesivas ) 7

45 Solución ejercicios complementarios Series de Talor Mac Laurin ) ; b) ) ; b) c) ; d) ) Entorno del origen: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ln ; ; ; ; ; ; ; ; ln ; ; ; ; ;! ; ; ;! ; ; ; ;! ln! ln b) Entorno del origen: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;!.!! Etremos Relativos ) ; ; mínimo relativo; b) etremos relativos; c) ; ; mínimo relativo; d) ; ; mínimo relativo; e) ; ; mínimo relativo; ; ; punto de ensilladura f) ; ; 9 mínimo relativo; g) ; ; 5 máimo relativo; h) ; ; máimo relativo; ; ; punto de ensilladura; ; ; punto de ensilladura; ; ; 8 mínimo relativo; 5; ; punto de ensilladura; 5; ; mínimo relativo; i) ; ; mínimo relativo; j) ; ; máimo relativo; k) ; ; mínimo relativo; l) ; ; punto de ensilladura; m) etremos relativos; n) ; ; punto de ensilladura; ; ; mínimo relativo; o) ; ; 6 mínimo relativo; ; ; 6 punto de ensilladura; ; ; 6 punto de ensilladura; ; ; 6 máimo relativo. ), mínimo relativo. ), mínimo relativo. Trabajo Práctico Nº 6: Integrales paramétricas ) ; b) 6 6; c) ; d) ; e). ln ) ; b) ) ; b) ; c) 8

46 Solución ejercicios complementarios Trabajo Práctico Nº 7: Integrales Múltiples ) ) ; b) ; c) d) ) ) ; b) ; c) 6 5) ; ; ; 9 6) 8 7) ; ; b) ; 8) ; por simetría: 9) ; ) Trabajo Práctico Nº 8: Geometría diferencial ) 6 5 5; 7 ; b) ; 7; 5; c) 8; 5 6; d) 9 ) ; 6 ; 5; 5 b) ; ; ; ) ; b) ; : función escalar ) ; 5) ; 6) ; b) ; c) Ec. recta tangente: ; d) ; ; e) ; Ec. la recta normal: ; f) ; Ec. la recta binormal: ; g) Ec. plano normal: ; Ec. plano rectificante: ; Ec. plano osculador: 7) 9

47 Solución ejercicios complementarios Trabajo Práctico Nº 9: Campos escalares vectoriales ) 6 ) ) ) 5) 6) 7) 8) ; b) 6 8 c) d) e) 6 9) 7 ) 8 8 ) Apendice elaborado por Ing. Manuel Zeniquel. 5