Diferenciabilidad de funciones de varias variables

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1 6 si 6 f si a) Eisten las derivadas parciales de f en (, ). b) f no es continua en (,). 1.- Sea la función,.- Sea la función,,,,,. Probar que: 1 sen si f. si a) Probar que f es continua en (,). b) Es f diferenciable en (, )? (Nota: investigar la eistencia de derivadas parciales). 3.- Hallar la derivada direccional de según la dirección del vector u (1, ) : 3 si si,,,, a) Mediante la definición de derivada direccional. b) Aplicando la regla de la cadena. c) Mediante la fórmula para calcular derivadas direccionales de funciones diferenciables. A la vista del apartado anterior, es f diferenciable en (, )? en el punto (,), 4.- La fórmula que mide el efecto enfriador del viento viene dada por E =,817 (3,71 v +5,81-,5v)(T-91,4) + 91,4 donde v es la velocidad del viento en millas/h T la temperatura en grados Fahrenheit. Supongamos que la velocidad del viento es 3 3 millas/h la temperatura 8º 1º. Usar de para estimar el error propagado máimo el error relativo al calcular el efecto enfriador E. 5.- La superficie de una montaña admite aproimadamente el modelo: h(, ) Si un montañero se encuentra en el punto (5, 3), En qué dirección debe moverse si desea ascender con la maor rapide posible? 6.- La temperatura en un entorno del origen viene dada por una función de la forma T(, ) T e sen. Hallar la traectoria seguida por una partícula, originada en el origen, que hue del calor. Hallar la variación de temperatura que eperimentaría la partícula si tomase la dirección del vector u = (1,-). 7.- Un campo escalar diferenciable = f(, ) tiene, en el punto P(1,) las derivadas direccionales + en dirección al punto A(,) en dirección al punto B(1,1). U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

2 Determinar el vector gradiente en P calcular la derivada direccional en P en dirección al punto C(4,6). 8.- Hallar la constante c tal que en todo punto de la intersección de las dos esferas c 3 ; c 1 los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares entre sí. cost 9.- Un pato está nadando a lo largo de la circunferencia unidad la sent temperatura del agua en el estanque está dada por la epresión T = e 3. Hallar el T coeficiente de variación de la temperatura que puede sentir el pato: t a) Epresando T en términos de t diferenciando. b) Mediante la regla de la cadena. u v 1.- El cambio de variables transforma = f(,) en = g(u,v). Calcular el uv f f f f f valor de en el punto u =1, v =1, sabiendo que 1 en vu dicho punto La ecuación = define implícitamente una función real de dos variables reales =f(,). a) Hallar el vector gradiente de f en el punto P(-1,1,). b) Calcular la derivada direccional de en P en la dirección de descenso más pronunciado. c) Dar la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P. d) Hallar en P. 1.- Dada la función f(, ) = tg, se pide: a) Hallar el dominio de f. b) Dar las direcciones de máimo nulo crecimiento de f en el punto P,. 4 c) Calcular la derivada direccional h() de f en P en la dirección que forma un ángulo con el eje de abscisas. d) Hallar la aproimación lineal (plano tangente) de f(,) en P. e) Suponiendo que el error estimado al medir la magnitud es de un % el de un 5% cuál es la estimación del error propagado? cos t f) Calcula la derivada de f respecto de t en la circunferencia. sen t U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

3 La temperatura en un punto (, ) de una lámina metálica es T(, ). a) Hallar la curva de nivel (isoterma) que pasa por el punto P(, -1). b) Hallar la dirección de máimo crecimiento de la temperatura en P. c) Hallar el coeficiente de variación de la temperatura en P en la dirección de la bisectri del primer cuadrante. d) Hallar, usando la regla de la cadena, el coeficiente de variación de la temperatura a sent lo largo de la curva. cos t e) Si la cota de error en la medida de es de 1% en la de es de %, hallar el máimo error propagado de T en P. define f, 14.- La ecuación 3 e. Hallar: a) f, siendo P (1,1,). P como función implícita de b) Plano tangente a la superficie en el punto P. c) La derivada direccional de f en el mismo punto P, en la dirección de la bisectri del segundo cuadrante. Decir si f,, en P en esa dirección, es creciente, decreciente, o si está en la dirección de una curva de nivel. d) P En una superficie, la temperatura en un entorno del punto P, viene dada por 4 la función T(,)= e cos a) Hallar la dirección de máimo calor seguida por una partícula que parte de P. b) Hallar la variación de temperatura eperimentada por la partícula si toma, desde P, la dirección del vector u (1,-) Hallar unas ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva intersección de las superficies + =, + + =9, en el punto P (,1,-) La ecuación cos e 4 define implícitamente la función f, Suponiendo que se dieran las condiciones de diferenciabilidad adecuadas, calcular: P,1. a) Plano tangente a la superficie en el punto b) Derivada direccional de en P,1 en la dirección. 4 c) Ecuación dibujo aproimado de la curva de nivel que pasa por P. d) P.. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

4 18.- Un posible modelo para el consumo de leche per cápita viene dado por la función = -1,83-1,9 +14,7 donde es el consumo de leche desnatada, el de leche semidesnatada el de leche entera. Una empresa láctea estima para el año un consumo per cápita de 35,1 1 litros de leche desnatada 4,1 1 litros de leche semidesnatada. Se pide estimar el máimo error propagado el error porcentual en la predicción sobre el consumo de leche entera a) Aplicando la regla de la cadena, calcular la derivada d/dt a lo largo de la curva =cost, =sent, siendo e sen evaluar si, en t=π/, es creciente o decreciente. b) El radio la altura de un cilindro circular recto verifican que: dr dh 6cm/ min, 4cm/ min dt dt Si V=r h es el volumen de dicho cilindro se pide, aplicando la regla de la cadena, dv hallar para r=h=5cm, su ritmo de variación, es decir, la derivada,. dt 3.- La ecuación ln 1 define de forma implícita a como función de e, se pide: a. La derivada direccional de en el punto P(,1) en la dirección del vector (,-) b. Las direcciones de la curva de nivel de en P. c. El plano tangente la recta normal en P. 1.- a) Sea una función diferenciable = f(,) sean = s +, = s, escribir las ecuaciones de un cambio de variable, en función de, s b) La ecuación de Laplace es la ecuación en derivadas parciales Comprobar que la siguiente función verifica la ecuación de Laplace e sen 6 si,,.- a) Dada la función f(, ) =, se pide calcular f (,) si,, la derivada direccional de f en (1, 1) en la dirección de la curva de nivel. b) La caja de cambios automática de un Nissan Qasqhai tiene dos pieas con forma de cono circular recto, aproimar el error propagado el error relativo cometidos en el cálculo del área lateral A r r h de uno de los conos si se han obtenido r=13,5 cm h=,1 cm con un error máimo de medida de mm Sea la función f, 1, se pide: a) Hallar el error porcentual, en la estimación de f(1,-), si se ha medido =1 con un error de ±1% e =- con un error de ±%. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 4

5 b) Hallar la curva de nivel correspondiente a = comprobar que es una hipérbola. c) Hallar en P(1,-) la derivada direccional en la dirección de máimo crecimiento. 4.- a) Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a las superficies S = 1 S =, respectivamente, en el punto P(1,1,1). b) Cuál sería la ecuación de la recta tangente a la curva intersección de las superficies S S. 5.- Sea = f(,) una función con derivadas parciales continuas. Aplicar el cambio de u variables: probar que v u v 6.- Sea, sin si,, f. Se pide: 1 si,, a) Dominio f. b) Estudiar la continuidad de f. c) Calcular, si eisten, las derivadas parciales de f en (, ). d) Calcular, si eisten, las derivadas parciales de f en (π, -π). 7.- Al hacer un levantamiento de una porción triangular de terreno se han medido dos lados a=15m b=m, así como el ángulo comprendido C=6º Cuál es el error porcentual que tendrá el área de dicho terreno si la cota de error al medir a b es de cm la de C es de º. 8.- Sea la función f (, ) 4 e 1, hallar: sen(t) a) La derivada de f a lo largo de la curva b) Es f creciente o decreciente en t=? cos t La ecuación define de forma implícita a como función de e, se pide: a) La derivada direccional de en el punto P(1,-1) en la dirección del vector (1,-) b) La dirección en P donde la tiene el máimo decrecimiento el valor del máimo decrecimiento. c) El plano tangente la recta normal en P. 3.- a) Sea una función diferenciable =f(,) sean r las coordenadas polares de cada punto (,), se pide hallar, en función de, r b) Comprobar el resultado anterior considerando el cambio a polares de la función U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

6 La ecuación 3 - entorno del punto P(1, -). Se pide: define una función f, diferenciable en un a) El gradiente de en el punto P la derivada de segundo orden P b) El plano tangente la recta normal en P. c) La derivada direccional en P en la dirección La temperatura en cada punto de una hoja de metal viene dada por la función T(,) e cos e cos. a) En qué dirección crece la temperatura más rápidamente a partir del punto (,)? b) Calcular el coeficiente de variación de la temperatura (derivada direccional) en dicho punto en la dirección de máimo crecimiento de T. c) En qué dirección decrece más rápidamente la temperatura a partir de (,)? d) Hallar la ecuación del plano tangente de la recta normal a dicha superficie en el punto (, ). e) Estimar mediante la diferencial el incremento de T cuando se pasa del punto (,) al, Dada la superficie e 3. Se pide: a) Hallar la curva de nivel correspondiente a = 1. Qué tipo de curva es? b) Hallar el plano tangente la recta normal a la superficie en P(, ). c) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la función, al pasar del punto P (,) al punto (.1, 1.99). 3 si (, ), 34.- Sea la función f (, ). Se pide: si (, ), a) Raonar si esta función es continua en el punto (,)., f ',. b) Hallar, si eisten, las derivadas parciales f ' 35.- a) Hallar la derivada direccional de en el punto (1,), según la dirección del vector u (-1, 1): a 1 ) Aplicando la definición. a ) Mediante la diferencial. b) Cuál es la dirección de máimo crecimiento de en el punto (1, )? 36.- Dada la superficie + + = 1, con, se pide: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 6

7 a) Hallar la curva de nivel correspondiente a = 1. Qué tipo de curva es? b) Hallar el plano tangente la recta normal a la superficie en P (, 1). c) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la función, al pasar del punto (,1) de su dominio, al (.1,.99) a) Deducir cuál es la dirección de máimo crecimiento de una función diferenciable =f(, ) en un punto P(, ). b) Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: b 1 ) Si lím f (, ) = L, entonces obligatoriamente eiste el límite a lo largo de,, cualquier camino que pasa por (, ) vale L. b ) Si f es diferenciable en (, ), entonces f es continua en (, ). b 3 ) Si f tiene derivadas parciales en (, ), entonces f es continua en (, ) a) Hallar la derivada direccional de en el punto P(1,), según la dirección del vector u (1, 1) : a 1 ) Aplicando la definición. a ) Mediante la diferencial. b) Raonar si es creciente o decreciente en P en la dirección de u Dada F (,, ) = =, se pide: a) Encontrar las derivadas parciales de primer de la función =f(,) en el punto (,-1,) b) Hallar en (,-1) el valor de d cuando d = d =.. c) Hallar el plano tangente a la superficie F(,,) en el punto (,-1, ) 4.- Usa la regla de la cadena para hallar la derivada de respecto de u siendo = +, con = u + v e = u v 41.- Sea f:r Rla función: f(,) Estudiar si f es diferenciable en un punto (a,b). 1 ( +3 )sen si (,) (,) si (,) = (,). 4.- Sea f:r Rla función: sen sen ++ si (,) (,) f(,) si (,) = (,). U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 7

8 f(,) a) Hallar la derivada u respecto del vector u (cos,sen ) en particular las f(,) f(,) derivadas parciales. b) Estudiar si f es diferenciable en un punto (,) Sea = f(,) una función con derivadas parciales continuas. Aplicar el cambio de u variables: a la epresión: v 44.- Sea 3 si, (, ) si (, ) = (, ) f(,) a) Hallar el dominio de la función f(, ). b) Calcular el límite de f(, ) en (, ) a lo largo del camino =. c) Estudiar la continuidad diferenciabilidad de f en el origen. f, f, d) Calcular en los puntos (,) (, -1). e) Determinar en el punto P(, -1) el valor de la derivada de f(,) en la dirección del u 1, 3. vector 5 si 45.- Consideremos f(,)=. Se pide: 1 si = a) Eiste el límite: lím f(,)?, 1, b) Es continua la función en (1,)? c) Es diferenciable la función en (1,)? 46.- Sea la función f(,) con derivadas parciales continuas sean uv las v u ecuaciones de un cambio de variable, se pide demostrar que comprobarlo u v para ()sen( ) uv 47.- Sea la función = sen ( + 3). Se efectúa el cambio de variables: v u U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 8

9 Hallar u Diferenciabilidad de funciones de varias variables v en u v U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 9

10 6 si Sea la función f, si a) Eisten las derivadas parciales de f en (, ). b) f no es continua en (,). a),,,,. Probar que: 6 h 6 5 f fh, f, h h h f (,), lim lim lim h h h 4 h h 1h f f,kf, k f (,),lim lim lim. k k k k k. b) f no es continua en (,) al no eistir el lím f,,, todos nulos, en cambio, el límite a lo largo de la parábola Límites reiterados en (, ): lim lim f (, ) lim() lim lim f (, ) lim(). Y es que los límites radiales son es 1. Límites radiales en (, ): 6 5 lim f(, ) lim lim (, ), 6 5 m ( m) m m Límite a lo largo de la parábola = : 6 lim (, ) lim f lim1 1 (, ), 6 Luego no eiste el límite lim f (, ) (,),, por tanto, f no es continua en (, ). U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

11 1 sen si.- Sea la función f,. si a) Probar que f es continua en (,). b) Es f diferenciable en (, )? (Nota: investigar la eistencia de derivadas parciales). a) Los límites radiales son nulos. 1 r cos rsensen r cos rsen lim g(r) r r cos rsen r cos sen Luego lím f (, ) f (,),, por tanto f es continua en (,).,, r g(r), con b) f, f lim h h, f, h 1 h sen lim h h h lim sen h 1 h No eiste. Luego, f no es diferenciable en (,), a que si lo fuera eistirían las derivadas parciales de f en dicho punto. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 11

12 3.- Hallar la derivada direccional de según la dirección del vector u (1, ) : 3 si si,,,, en el punto (,), a) Mediante la definición de derivada direccional. b) Aplicando la regla de la cadena. c) Mediante la fórmula para calcular derivadas direccionales de funciones diferenciables. A la vista del apartado anterior, es f diferenciable en (, )? a) Mediante la definición de derivada direccional. u 1, 1, u h h h 3 f, f, f , lim lim lim h h h 3 u h h 4h h b) Aplicando la regla de la cadena. f t, t f, t t u Recta que pasa por O(, ) tiene de dirección : u t 5 r, t 5 t t f d, u dt f lim t h, f, h d dt, h Por tanto,, t t f d 1, 1 u dt 5 5 t, d dt 3 h lim h 1; análogamente, h h 1 5,. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

13 c) Mediante la fórmula para calcular derivadas direccionales de funciones diferenciables. f u 1 1, f, 1,, u u A la vista del apartado anterior, es f diferenciable en (, )? f no es diferenciable en (,), a que si lo fuera, deberíamos haber obtenido el mismo f resultado por los tres métodos al calcular,. u U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 13

14 4.- La fórmula que mide el efecto enfriador del viento viene dada por E =,817 (3,71 v +5,81-,5v)(T-91,4) + 91,4 donde v es la velocidad del viento en millas/h T la temperatura en grados Fahrenheit. Supongamos que la velocidad del viento es 3 3 millas/h la temperatura 8º 1º. Usar de para estimar el error propagado máimo el error relativo al calcular el efecto enfriador E. Error propagado máimo dv 3, E E E de dv dt v T dt 1, E 817(371 5 v 1 E 817(5v t 1 7 v 3, T 8 v)(5t 457) v v 581) v3,t v3,t de E de Error relativo % E E U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 14

15 5.- La superficie de una montaña admite aproimadamente el modelo: h(, ) Si un montañero se encuentra en el punto (5, 3), En qué dirección debe moverse si desea ascender con la maor rapide posible? Debe tomar la dirección dada por el vector: h h 5,3, h 5, 3 5,3.,.8.1,.4 Que es lo mismo que seguir la dirección del vector (-1,-4). U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 15

16 6.- La temperatura en un entorno del origen viene dada por una función de la forma T(, ) T e sen. Hallar la traectoria seguida por una partícula, originada en el origen, que hue del calor. Hallar la variación de temperatura que eperimentaría la partícula si tomase la dirección del vector u = (1,-). Representamos la traectoria por unas ecuaciones paramétricas: rt t, t. Un vector tangente a dicha traectoria en cada punto t, t viene dado por d d r` t,. dt dt Como la partícula hue del calor, tomará la dirección de máimo descenso de temperatura, que viene dada por el vector: T T T,, e cos,e sen Por tanto, las direcciones de r` t de e cos, e sen son la misma a lo largo de toda la traectoria. Así pues, d d e cos k e sen k, donde k depende de t. dt dt Despejando k dt en cada ecuación e igualando los resultados, se obtiene: d cos d sen tg d d tg d -ln cos C Como sabemos que la partícula parte del origen, ha de ser: -lncos C C. Por consiguiente, la traectoria seguida por la partícula será: -lncos La figura muestra esa traectoria. Observación: La traectoria es perpendicular a las curvas de nivel (isotermas) pues en cada punto su vector tangente es paralelo al vector gradiente en ese punto. La variación de temperatura que eperimentaría la partícula si tomase la dirección del vector u = (1,-) sería la derivada direccional de T en el (, ) en la dirección de dicho vector: T u 1 1 5, T, 1,, u u U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 16

17 7.- Un campo escalar diferenciable = f(, ) tiene, en el punto P(1,) las derivadas direccionales + en dirección al punto A(,) en dirección al punto B(1,1). Determinar el vector gradiente en P calcular la derivada direccional en P en dirección al punto C(4,6). 6 1 P v u B w A C Sea f P a,b Vector dirección de P a A: u, 1, 1, Vector dirección de P a B: v 1,1 1,, 1 f u f v P f P 1, P f P, a,b 1, a a,b a,b, 1 b f P, Vector dirección de P a C: w 4,6 1, 3,4 w f w 3,4 P, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 17

18 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos Hallar la constante c tal que en todo punto de la intersección de las dos esferas 3 c ; 1 c los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares entre sí. Unas ecuaciones implícitas de ambas esferas son, respectivamente: 3 c,, F 1 c,, G Un vector normal al plano tangente a la primera superficie es:,, c F, F, F n 1 Un vector normal al plano tangente a la segunda superficie es:, c, G, G, G n Para que se cumplan las condiciones eigidas en el enunciado del problema, para el punto genérico P(,, ) se ha de verificar: 1) P debe pertenecer a la primera superficie: 3 c ) P debe pertenecer a la segunda superficie: 1 c 3) c c, c,,, c n n 1 Resolviendo con DERIVE el sistema formado por las tres ecuaciones anteriores, se obtiene que ha de ser c.

19 cost 9.- Un pato está nadando a lo largo de la circunferencia unidad la sent temperatura del agua en el estanque está dada por la epresión T = e 3. Hallar el T coeficiente de variación de la temperatura que puede sentir el pato: t a) Epresando T en términos de t diferenciando. b) Mediante la regla de la cadena. sent 3 a) T(t) cos t e cost sen t dt sent sent 3 cost (-sent)e cos t e cost - (-sent)sen t cos t 3 sen t cost dt sent 3 sent 4 cost sent e cos t e sen t 3 sen t cos t b) T T d T d t t dt dt 3 T e sent e 3 cos t sent 3 sent 4 t cost sent e cos t e sen t 3 sen t cos t U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 19

20 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1.- El cambio de variables uv v u transforma = f(,) en = g(u,v). Calcular el valor de u v en el punto u =1, v =1, sabiendo que 1 f f f f f en dicho punto. u g v u v g v f 1 f u f u f u g f v v f v v f v f v v f 1 f v u v g v f v f f v v f v f f v Sustituendo estas dos últimas epresiones en la anterior a ellas, queda: g f f f f f v v v u v v v v v u,v 1,1 f f f f f 1 uv v 1 uv v u f g u u f, f u

21 11.- La ecuación = define implícitamente una función real de dos variables reales =f(,). a) Hallar el vector gradiente de f en el punto P(-1,1,). b) Calcular la derivada direccional de en P en la dirección de descenso más pronunciado. c) Dar la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P. d) Hallar en P. a) F(,, ) = = define implícitamente a la función = f(,). El vector gradiente de f en el punto P es f P, P F 3 1 P 1 F F 1 P 1 F f P 1,1 b) La dirección de descenso más pronunciado viene dada por el vector: u f P 1, 1 La derivada direccional de en P en esta dirección es: f u 1, P f 1,1 1,1 u u c) Ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P: f f P P 1111 d) P = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

22 1.- Dada la función f(, ) = tg, se pide: a) Hallar el dominio de f. b) Dar las direcciones de máimo nulo crecimiento de f en el punto P,. 4 c) Calcular la derivada direccional h() de f en P en la dirección que forma un ángulo con el eje de abscisas. d) Hallar la aproimación lineal (plano tangente) de f(,) en P. e) Suponiendo que el error estimado al medir la magnitud es de un % el de un 5% cuál es la estimación del error propagado? cos t f) Calcula la derivada de f respecto de t en la circunferencia. sen t Solución a) Domf = R - {(, ) tales que = k/, kr} b) La dirección de máimo crecimiento es la del gradiente: f (P) = tan, cos = (1,4). P Análogamente la dirección de nulo crecimiento es u f (P), luego u = (4,-1). c) Un vector en la dirección indicada es u = (cos, sen), además u 1, por tanto, h()= f (P) (cos, sen)= (1,4) (cos, sen)= cos+4sen. d) La ecuación de la aproimación lineal es la del plano tangente en P: f f = + ( ) ( ) P P = f(,/4) = = + 1( ) 4( ) 4 f f e) d= d d el error propagado es P P E1 (,) + 4 (,5) =, df f d f d f) = tan cos t sent = dt dt dt cos cos t tansentcos t cos sent sent U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

23 La temperatura en un punto (, ) de una lámina metálica es T(, ). a) Hallar la curva de nivel (isoterma) que pasa por el punto P(, -1). b) Hallar la dirección de máimo crecimiento de la temperatura en P. c) Hallar el coeficiente de variación de la temperatura en P en la dirección de la bisectri del primer cuadrante. d) Hallar, usando la regla de la cadena, el coeficiente de variación de la temperatura a sent lo largo de la curva. cos t e) Si la cota de error en la medida de es de 1% en la de es de %, hallar el máimo error propagado de T en P. Solución a) Para hallar la curva de nivel en P(,-1) calculamos previamente el valor de T(P) 3 6 = #1: 5 + (-1) La curva de nivel en P tiene por ecuación 6 3 = #: 5 + Operando obtenemos + -5/= que corresponde a una circunferencia de centro (5/4,) radio 5/4. b) La dirección de máimo crecimiento sabemos, por teoría que es la del vector gradiente. d 3 3 ( - ) #3: = d + ( + ) d 3 6 = - #4: d + ( + ) El vector gradiente en un punto (,) es: 3 ( - ) 6 #5:, - ( + ) ( + ) Y en P es: 3 ((-1) - ) 6 (-1) 9 1 #6:, - = -, 5 5 ( + (-1) ) ( + (-1) ) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

24 c) Se nos pide la derivada direccional de T en P en la dirección α=π/4 9 1 π π 3 #7: -, COS, SIN = d) Aplicamos la regla de la cadena a T a lo largo de la curva =sent, = cost, sustituimos e por las funciones de t que definen e 3 ( - ) 6 #8: ( COS(t)) + - (- SIN(t)) = ( + ) ( + ) 6 ( - ) COS(t) 6 SIN(t) + ( + ) ( + ) 6 COS(t) (1-3 SIN(t) ) #9: (3 SIN(t) + 1) e) El error propagado máimo (en la medición de T) se obtiene a partir de la fórmula de la diferencial total de T d 3 d 3 dt = (d) + (d) #1: d d ( - ) 6 #11: dt = (d) + - (d) ( + ) ( + ) Ahora sustituimos =, =-1,d=±.1, d=±. se obtiene la cota de error que denominamos "error propagado máimo" 3 ((-1) - ) #1: error propagado máimo = (±.1) + - ( + (-1) ) 6 (-1) (±.) ( + (-1) ) #13: error propagado máimo = (-.36) (±.1) +.48 (±.) #14: error propagado máimo = ± #15: error propagado máimo = ±.13 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 4

25 3 define f, 14.- La ecuación e. Hallar: a) f, siendo P (1,1,). P como función implícita de b) Plano tangente a la superficie en el punto P. c) La derivada direccional de f en el mismo punto P, en la dirección de la bisectri del segundo cuadrante. Decir si f,, en P en esa dirección, es creciente, decreciente, o si está en la dirección de una curva de nivel. d) P. Solución a) F(,,) 3 F F F F F F F Sustituendo en P: 1, 1 f P, luego, = (-1, -1). b) Plano tangente a la superficie en el punto P: f f P P1111 c) Vector unitario en la dirección de la bisectri del segundo cuadrante: u 1 1, u Derivada direccional de f en P, en la dirección de este vector: u 1 1 1,1 1,1 1, 1, u u Luego, en P en esa dirección, está en una curva de nivel. d) 1 P U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

26 15.- En una superficie, la temperatura en un entorno del punto P, viene dada por 4 la función T(,)= e cos a) Hallar la dirección de máimo calor seguida por una partícula que parte de P. b) Hallar la variación de temperatura eperimentada por la partícula si toma, desde P, la dirección del vector u (1,-). Solución T T a) T,, 4, 4 1, 1 T u 1 1, 1, u u 5 5 b) P TP 1 5 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 6

27 16.- Hallar unas ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva intersección de las superficies + =, + + =9, en el punto P (,1,-). Solución La recta tangente es la intersección de los dos planos tangentes a ambas superficies en el punto P. Plano tangente a la primera superficie: f f P P, siendo f(, ) = -. Plano tangente a la segunda superfície: F F F P P P 9, siendo F(,, ) = Ecuación de la recta tangente pedida: t 9 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 7

28 17.- La ecuación cos e 4 define implícitamente la función f, Suponiendo que se dieran las condiciones de diferenciabilidad adecuadas, calcular: P,1. a) Plano tangente a la superficie en el punto b) Derivada direccional de en P,1 en la dirección. 4 c) Ecuación dibujo aproimado de la curva de nivel que pasa por P. d) P. a) F,, cos e 4 Para =, = 1, se obtiene: F F F P F F P P,, sen e F,1,,, F,1,,, e F,1, 1 F Luego, se tiene que: b) Si el vector es unitario: Un vector unitario en la dirección u cos,sen 4 4 F,1, P F,1, u P f P u., es: 4, - ; P F F Por tanto,,1,,1,. P f P u,, - u. P,1 : Se sustitue por en la ecuación de la superficie: e cos 4 cos e 4 c) Curva de nivel que pasa por U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 8

29 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 9 d) e F F P e e e e Particulariando en P ( =, = 1, = ), se obtiene: P

30 18.- Un posible modelo para el consumo de leche per cápita viene dado por la función = -1,83-1,9 +14,7 donde es el consumo de leche desnatada, el de leche semidesnatada el de leche entera. Una empresa láctea estima para el año un consumo per cápita de 35,1 1 litros de leche desnatada 4,1 1 litros de leche semidesnatada. Se pide estimar el máimo error propagado el error porcentual en la predicción sobre el consumo de leche entera. Solución El error propagado viene dado por la diferencial: d P P #1: = f(, ) = #: f(35.1, 4.1) = = d #3: ( ) = d d #4: ( ) = -1.9 d d P P = (-1.83). 1 + (-1.9) 1 = -.9. Error porcentual: (-1.9) #5: 1 = (-1.9) 1 #6: 1 = (-1.9) 1 #7: 1 = = % U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

31 19.- a) Aplicando la regla de la cadena, calcular la derivada d/dt a lo largo de la curva =cost, =sent, siendo e sen evaluar si, en t=π/, es creciente o decreciente. b) El radio la altura de un cilindro circular recto verifican que: dr dh 6cm/ min, 4cm/ min dt dt Si V=r h es el volumen de dicho cilindro se pide, aplicando la regla de la cadena, hallar dv para r=h=5cm, su ritmo de variación, es decir, la derivada,. dt Solución d d d a) dt dt dt #8: = e SIN() d #9: (e SIN()) = e SIN() d d #1: (e SIN()) = e COS() d Llevando estas epresiones a la derivada: #11: d = (e SIN()) (- SIN(t)) + (e COS()) COS(t) dt Sustituendo e en función de t en la epresión anterior: COS(t) COS(t) #1: (e SIN(SIN(t))) (- SIN(t)) + (e COS(SIN(t))) COS(t) = COS(t) e (COS(t) COS(SIN(t)) - SIN(t) SIN(SIN(t))) COS(t) #13: e (COS(t) COS(SIN(t)) - SIN(t) SIN(SIN(t))) Para el valor t=π/: COS(π/) π π π π #14: e COS COS SIN - SIN SIN SIN = -SIN(1) Por ser la derivada d ( π/) <, es decreciente en dicho valor de t. dt b) #15: V = π r h dv V dr V dh Calculemos dt r dt h dt : d d d d d d (π r h) r + (π r h) h = ( π h r) r + (π r ) h dr dt dh dt dt dt dv Sustituendo r h por sus valores concretos, se obtiene (5, 5): dt #17: ( π 5 5) 6 + (π 5 ) (-4) = π U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 31

32 3.- La ecuación ln 1 define de forma implícita a como función de e, se pide: a) La derivada direccional de en el punto P(,1) en la dirección del vector (,-) b) Las direcciones de la curva de nivel de en P. c) El plano tangente la recta normal en P. a) Pf Pu u Hemos de hallar el vector gradiente de f en forma implícita: 3 #18: F(,, ) = LN() = d 3 #19: ( LN() ) = LN() d d 3 #: ( LN() ) = + d d 3 #1: ( LN() ) = + 3 d El gradiente de en (, ) es + LN() #: -, Hallemos f(,1), despejando en la ecuación implícita para esos valores de e : 3 #3: SOLVE( LN(1) =, ) #4: = -1 - i = -1 + i = Luego, =. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

33 El gradiente de en (, 1) es: + 1 LN(1) 1 #5: -, LN(1) 1 6 #6: -, - =, Y la derivada direccional pedida es: 6 [, -] 3 #7:, - = 13 [, -] 13 b) Las direcciones de la curva de nivel indican crecimiento nulo, es decir, en P en dichas direcciones la derivada es, luego la dirección seguida es ortogonal al vector gradiente, por lo tanto, son las indicadas por los vectores (-1,), (1,). c) La ecuación del plano tangente en el punto P (=, =1, =), es 6 #8: - = ( - ) + - ( - 1) 13 Operando pasando al primer miembro queda: = Un vector ortogonal al plano es (,6,13) por lo que una ecuación de la recta normal en P es #9: = = 6 13 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 33

34 1.- a) Sea una función diferenciable = f(,) sean = s +, = s, escribir las ecuaciones de un cambio de variable, en función de, s b) La ecuación de Laplace es la ecuación en derivadas parciales Comprobar que la siguiente función verifica la ecuación de Laplace e sen Solución a) s s s s b) No ha más que hallar las derivadas segundas, sustituir en la ecuación ver que se cumple: e sen e sen e cos e sen esen esen U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 34

35 6 si,,.- a) Dada la función f(, ) =, se pide calcular f (,) si,, la derivada direccional de f en (1, 1) en la dirección de la curva de nivel. c) La caja de cambios automática de un Nissan Qasqhai tiene dos pieas con forma de cono circular recto, aproimar el error propagado el error relativo cometidos en el cálculo del área lateral A r r h de uno de los conos si se han obtenido r=13,5 cm h=,1 cm con un error máimo de medida de mm. a) Por estar definida la función f(, ) de forma distinta en (,) que en el resto, el cálculo de f f f (,), hemos de hacerlo mediante límites:, 6h f h lím lím lím h h h, h h 6 h f h lím lím lím h h h h h Luego f (,),, La curva de nivel es el conjunto de puntos (,) donde la función tiene el mismo valor, luego su dirección indica, en cada punto, la dirección de crecimiento cero, luego la derivada direccional de f en (1,1) en la dirección de la curva de nivel es. b) El error propagado es una cota del error obtenida mediante la diferencial de la función A A A r r h, es decir, teniendo en cuenta que da dr dh tomando r=13.5cm r h h=.1cm, dr= dh =,cm. Luego, el error propagado es E p cm. El error relativo es el cociente entre el error propagado el valor (aproimado) del área medida E p E r A U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 35

36 Luego, E r.67, en porcentaje sería un error porcentual del.63% aproimadamente. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 36

37 8 3.- Sea la función f, 1, se pide: a) Hallar el error porcentual, en la estimación de f(1,-), si se ha medido =1 con un error de ±1% e =- con un error de ±%. b) Hallar la curva de nivel correspondiente a = comprobar que es una hipérbola. c) Hallar en P(1,-) la derivada direccional en la dirección de máimo crecimiento. 8 #37: a) El error porcentual se estima con (df(1,-)/f(1,-))*1. Los datos de los errores de medida que nos proporcionan nos dicen que (d/)*1=±1, (d/)*1=±, luego d=±.1, d=±.. Calcularemos, en =1, =-, el error porcentual en valor absoluto 8 1 (-) 8 = - #38: (-) d 8 8 ( - - 1) #39: = - d ( + + 1) 8 (-) (1 - (-) - 1) 16 #4: - = - 9 (1 + (-) + 1) d 8 8 ( - + 1) #41: = d ( + + 1) 8 1 (1 - (-) + 1) 4 #4: = - 9 (1 + (-) + 1) #43: 1 = Es decir, el error porcentual es aproimadamente un 1,33% b) Es una hipérbola, como se ve operando dibujando 8 = #44: #45: (1 + + ) - 8 = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 37

38 #46: = c) La dirección de máimo crecimiento es la del gradiente en (1,-) el valor de la derivada direccional es el módulo del gradiente. Las derivadas en (1,-) están calculadas en el apartado a) #47: -, - = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 38

39 4.- a) Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a las superficies S = 1 S =, respectivamente, en el punto P(1,1,1). b) Cuál sería la ecuación de la recta tangente a la curva intersección de las superficies S S. a) Utiliaremos las fórmulas de la derivación implícitas para obtener los gradientes de cada superficie en el punto indicado #48: - 1 = d d ( - 1) ( - 1) d d #49: -, - = -, - d d ( - 1) ( - 1) d d 1 1 #5: -, - = [-1, -1] 1 1 #51: - 1 = - 1 ( - 1) ( - 1) #5: + + = 3 #53: = d d ( ) ( ) d d -, - = -,- d d 3 3 ( ) ( ) d d #55: -, - = -, #56: - 1 = - ( - 1) + - ( - 1) 3 3 #57: = 6 b) La recta tangente a la curva intersección de las superficies S S' es la determinada por la intersección de los dos planos obtenidos #58:SOLUTIONS([ + + = 3, = 6], [,, ]) = [@1, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 39

40 5.- Sea = f(,) una función con derivadas parciales continuas. Aplicar el cambio u de variables: probar que v u v f u v u v u v ( 1) u v u v u v u v u v U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 4

41 sin si,, 6.- Sea f,. Se pide: 1 si,, a) Dom f. b) Estudiar la continuidad de f. c) Calcular, si eisten, las derivadas parciales de f en (, ). d) Calcular, si eisten, las derivadas parciales de f en (π, -π). a) El dominio de la función es todo R b) En todo (,) (,) la función es cociente de funciones continuas cuo denominador es distinto de. En (,) hemos de estudiar si el límite es 1. Pasamos a polares SIN( + ) SIN((r COS(α)) + (r SIN(α)) ) SIN(r ) #13: = = + (r COS(α)) + (r SIN(α)) r SIN(r ) #14: lim = 1 r r Luego f también es continua en (,) c) El cálculo de las derivadas parciales en (,) se realia aplicando la definición sen(h ) 1 f lím h lím lím h h h, h h sen( h ) 1 f lím h lím lím h h h h h, d) Al ser la función diferenciable en (,) (,), por ser cociente de funciones diferenciables, aplicamos las reglas de derivación d SIN( + ) (( + ) COS( + ) - SIN( + )) #17: = d + ( + ) d SIN( + ) (( + ) COS( + ) - SIN( + )) #18: = d + ( + ) Sustituimos en ( π,- π) π (( π + (- π) ) COS( π + (- π) ) - SIN( π + (- π) )) 1 = π ( π + (- π) ) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 41

42 7.- Al hacer un levantamiento de una porción triangular de terreno se han medido dos lados a=15m b=m, así como el ángulo comprendido C=6º Cuál es el error porcentual que tendrá el área de dicho terreno si la cota de error al medir a b es de cm la de C es de º. El error propagado es una cota del error obtenida mediante la diferencial de la función 1 A A A A absenc, es decir, teniendo en cuenta que da da db dc tomando a b C a=15 m, b= m C= 3, da= db =,m dc= 9. A A A 1 EP A a b C bsenca asencb abcos CC a b C 1 sen, 15sen, 15 cos 64, Luego, el error propagado es E p 64,834766m. El error relativo es el cociente entre el error propagado el valor (aproimado) del área medida E p E r A 1 1 A absenc 15sen 199, Luego, E r, , en porcentaje sería un error porcentual del, % U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 4

43 8.- Sea la función f (, ) 4 e 1, hallar: sen(t) c) La derivada de f a lo largo de la curva d) Es f creciente o decreciente en t=? a) #4: ( + 4 ) e cos t d d d 1 #5: d ( + 4 ) e SIN( t) + d ( + 4 ) e dt - - d COS(t ) dt #6: e COS( t) + e (4 e t ( + 4 ( - 1)) SIN(t ) - 4 e ( + 4 ) COS( t)) #7: e ((t + 4 t ( - 1)) SIN(t ) - ( + (4-1)) COS( t)) b) #8: - SIN( π) - COS(π ) e ((π SIN( π) COS(π ) π COS(π ) (COS(π ) - 1)) SIN(π ) - (SIN( π) + SIN( π) (4 COS(π ) - 1)) COS( π)) #9: SIN(π ) 3-16 π e SIN(π ) COS(π ) #1: f es decreciente en t= U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 43

44 La ecuación define de forma implícita a como función de e, se pide: a) La derivada direccional de en el punto P(1,-1) en la dirección del vector (1,-) b) La dirección en P donde la tiene el máimo decrecimiento el valor del máimo decrecimiento. c) El plano tangente la recta normal en P. a) #11: = d #1: ( ) = 3 - d d #13: ( ) = 3 - d d #14: ( ) = 3 - d El gradiente de es #15: -, #16: 1 + (-1) (-1) = #17: SOLVE(1 + (-1) (-1) =, ) #18: = -i = i = (-1) 3 (-1) - 1 #19: -, - = [-3, -3] 3-1 (-1) 3-1 (-1) #: [-3, -3], - = b) El máimo decrecimiento corresponde a un ángulo de 18º cuo coseno vale -1, luego la dirección es la opuesta al vector (-3,-3) u (3,3) Y el valor del máimo decrecimiento #1: - [-3, -3] = 3 c) La ecuación del plano tangente en el punto P (=1, =-1, =), es #: - = - 3 ( - 1) - 3 ( + 1) #3: = - 3 ( + ) Operando pasando al primer miembro queda: 3+3+= Un vector ortogonal al plano es (,1,-3) por lo que una ecuación de la recta normal en P es U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 44

45 3.- a) Sea una función diferenciable =f(,) sean r las coordenadas polares de cada punto (,), se pide hallar, en función de, r c) Comprobar el resultado anterior considerando el cambio a polares de la función #4: = ( ) d d d ( ) (r COS(α)) + (5-5 - #5: d dr d d 5 COS(α) 5 SIN(α) 5 ) (r SIN(α)) = - - dr ( ) ( ) 5 COS(α) 5 SIN(α) 5 r - - = - #6: ( ) ( ) (5 - r ) d d d ( ) (r COS(α)) + (5-5 - #7: d dα d d 5 r SIN(α) 5 r COS(α) 5 ) (r SIN(α)) = - dα ( ) ( ) 5 r SIN(α) 5 r COS(α) - = #8: ( ) ( ) #9: (5-5 (r COS(α)) - 5 (r SIN(α)) ) #3: (5-5 (r COS(α)) - 5 (r SIN(α)) ) = 5 (5 - r ) d 5 r ( 5 (5 - r )) = - #31: dr (5 - r ) d #3: ( 5 (5 - r )) = dα U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 45

46 3 - define una función f, 31.- La ecuación entorno del punto P(1, -). Se pide: diferenciable en un a) El gradiente de en el punto P la derivada de segundo orden P b) El plano tangente la recta normal en P. c) La derivada direccional en P en la dirección. 3 a) F(,, ) = 3 - define implícitamente a la función = f(,) El vector gradiente de f en el punto P es f P, P F 1 1 P F F fp, P F P b) Ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P: f f 1 1 P P Recta normal en P (pasa por P es perpendicular al plano tangente en P): c) u 1 cos,sen, f P fp u 1, 1 1, 3 u U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 46

47 3.- La temperatura en cada punto de una hoja de metal viene dada por la función: T(,) e cos e cos. a) En qué dirección crece la temperatura más rápidamente a partir del punto (,)? b) Calcular el coeficiente de variación de la temperatura (derivada direccional) en dicho punto en la dirección de máimo crecimiento de T. c) En qué dirección decrece más rápidamente la temperatura a partir de (,)? d) Hallar la ecuación del plano tangente de la recta normal a dicha superficie en el punto (, ). e) Estimar mediante la diferencial el incremento de T cuando se pasa del punto (,) al, 6 6. a) La dirección de máimo crecimiento es la del vector gradiente T T El vector gradiente de T en el punto P es TP, P T T e cose sen (,) 1 T T TP, T T u (1,1) e s en e cos (,) 1 P b) T u 1 1 PTP 1,1, u u c) El máimo decrecimiento corresponde a un ángulo de 18º cuo coseno vale -1, luego la dirección es la opuesta al vector (1,1) u ( 1, 1) d) Ecuación del plano tangente a la superficie T en el punto Q (, ) T(, ) e cos e cos e 1 T T e cos e s en (, ) 1 T T TQ, 1,e T T e s en e cos (,) e Q T T Q Q e 11e e e e 1 Recta normal en (,,T(, )) (,,e 1) perpendicular al plano tangente en dicho punto: e e 1 e) El incremento de T se obtiene a partir de la fórmula de la diferencial total de T T T (,) 1 1 dt P d P d T 6 6 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 47

48 33.- Dada la superficie e 3. Se pide: a) Hallar la curva de nivel correspondiente a = 1. Qué tipo de curva es? b) Hallar el plano tangente la recta normal a la superficie en P(, ). c) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la función, al pasar del punto P (,) al punto (.1, 1.99). #1: - e - 3 = a) #: - 1 e - 3 = #3: - e - 3 = #4: - LN e = LN(3) #5: - = LN(3) - #6: = 1 LN(3) Es una hipérbola equilátera de semiejes a = b = ln 3 b) d #7: - d e - 3 #8: - e d #9: - d e - 3 #1: - - e d #11: - d e - 3 #1: - e #13: - e - 3 = #14: - SOLVE e - 3 =,, Real #15: = 3 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 49

49 Particulariamos las derivadas en el punto (,, 3): #16: - 3 e #17: 1 #18: e #19: -1 #: - e #1: 1 Y sustituimos en la ecuación del plano tangente: F (P)( ) F (P)( ) F (P)( 3) #: 1 ( - ) - 1 ( - ) + 1 ( - 3) = #3: = Recta normal en P: #4: [,, ] = [,, 3] + λ [1, -1, 1] #5: = 1 λ + = - 1 λ = λ + 3 c) f (P) df (P) f ` (P) f ` (P) F (P) ` (P) 1 F (P) f (P) (.1) F (P) ` (P) 1 F (P).4 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

50 3 si (, ), 34.- Sea la función f (, ). Se pide: si (, ), a) Raonar si esta función es continua en el punto (,)., f ',. b) Hallar, si eisten, las derivadas parciales f ' Límites radiales m m m m m a) lim f(, ) lim lim (, ) (,) m 1 m 1 m m Los límites radiales depende de m, luego, no eiste el Por tanto, f no es continua en (, ). lim f (, ). (, ) (,) b) f(h,) f(,) f ' (, ) lim lim lim h h h h h 3 k f (, k) f (,) f' (,) lim limk lim1 1 k k k k k U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 51

51 35.- a) Hallar la derivada direccional de en el punto (1,), según la dirección del vector u (-1, 1): a 1 ) Aplicando la definición. a ) Mediante la diferencial. b) Cuál es la dirección de máimo crecimiento de en el punto (1, )? a) a 1 ) u u 1, f 1,, f 1, f 1 (1, ) lim lim 1, f u lim lim a ) f u (,1) f (1,) u u ( ) f '(, ) f '(1,) ( ) f 1 1 (1, ) (,1), ( ) f ' (, ) ' (1,) 1 f u ( ) 1 b) La dirección de máimo crecimiento de en el punto (1,) viene dada por: f (1, ) (, 1) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

52 36.- Dada la superficie + + = 1, con, se pide: a) Hallar la curva de nivel correspondiente a = 1. Qué tipo de curva es? b) Hallar el plano tangente la recta normal a la superficie en P (, 1). c) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la función, al pasar del punto (,1) de su dominio, al (.1,.99). (,, ) 1; F a) Es una elipse de semiejes a = 3, b b) F' F' F' ( P )( F' 4 F' ) F' (,1) 4 (,1) 4 ( P )( ) F' ( P )( ) F' ; ; como, F' (,1) 4 Plano tangente: 4(-)+4(-1)+4(-)= Recta normal: 1 Pues n (1,1,1) es perpendicular al plano tangente en (,1) c).1.1 f (,1) df (,1) f ' (,1) f ' (,1) F '(,1) 4 f '(,1) 1 F '(,1) 4 F '(,1) 4 f '(,1) 1 F '(,1) 4 f(,1) ( 1).1 ( 1) (.1) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 53

53 37.- a) Deducir cuál es la dirección de máimo crecimiento de una función diferenciable =f(, ) en un punto P(, ). b) Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: b 1 ) Si lím f (, ) = L, entonces obligatoriamente eiste el límite a lo largo,, de cualquier camino que pasa por (, ) vale L. b ) Si f es diferenciable en (, ), entonces f es continua en (, ). b 3 ) Si f tiene derivadas parciales en (, ), entonces f es continua en (, ). a) f ( P) f( P) u f( P) u cos( ) es máima cuando cos( ) 1 u siendo: f(p),u º Luego, la dirección el sentido de u coincide con los de f (P). b) b 1 ) VERDADERO b ) VERDADERO b 3 ) FALSO U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 54

54 38.- a) Hallar la derivada direccional de en el punto P(1,), según la dirección del vector u (1, 1) : a 1 ) Aplicando la definición. a ) Mediante la diferencial. b) Raonar si es creciente o decreciente en P en la dirección de u. c) Cuál es la dirección de máimo crecimiento de en el punto (1, )? a) a 1 ) u u 1, 1 f 1, f 1, f 1 1, lim lim 1 u 1 a ) ( ) ` ` ( ) ( ) ` ` ( ) 1, 1, 1 f u 1 1 1, f 1,, 1, u u 1 f 1 1, - u. b) es decreciente en P en la dirección de u por ser c) La dirección de máimo crecimiento de en el punto (1, ) viene dada por: 1,,1 f U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 55

55 39.- Dada F (,, ) = =, se pide: a) Encontrar las derivadas parciales de primer de la función =f(,) en el punto (,-1,) b) Hallar en (,-1) el valor de d cuando d = d =.. c) Hallar el plano tangente a la superficie F(,,) en el punto (,-1, ) a) Para calcular las derivadas parciales de primer orden derivamos implícitamente la función F(,, )= : Respecto a : en el punto (,-1,) es 1, 1, 1 Respecto a : en el punto (,-1,) es, 1, 1 b) Para calcular la diferencial: 1 d d d c) La ecuación del plano tangente en (, -1, ) es = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 56

56 4.- Usa la regla de la cadena para hallar la derivada de respecto de u siendo = +, con = u + v e = u v u u u u uv 4v u uv 4v 1 v u u u 4uv 4v uv 4v u u u U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 57

57 41.- Sea f:r Diferenciabilidad de funciones de varias variables Rla función: f(,) Estudiar si f es diferenciable en un punto (a,b). 1 ( +3 )sen si (,) (,) si (,) = (,). En cualquier punto (a,b) (,) diferenciables, con denominador no nulo. es diferenciable por ser composición producto de funciones Obtenemos las derivadas parciales: 1 h sen f(h,) f(,) h 1 f (,) lím lím límhsen h h h h h h 1 3k sen f(,k) f(,) k 1 f (,) lím lím 3límksen k k k k k k Para que f sea diferenciable en (,) se necesita que el límite sea cero: f (h, k) f (,) hf ' (,) kf ' (,) h 3k 1 lím lím sen h k h k h k (h,k) (,) (h,k) (,) Efectivamente en coordenadas polares queda: Resulta f diferenciable en (,), por lo tanto en todo punto (a,b). Nota: a pesar de ser f diferenciable en el punto (,) las derivadas parciales no son continuas en dicho punto. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 58

58 4.- Sea f:r Diferenciabilidad de funciones de varias variables Rla función: sen sen ++ si (,) (,) f(,) si (,) = (,). f(,) a) Hallar la derivada u respecto del vector u (cos,sen ) f(,) f(,) derivadas parciales. en particular las b) Estudiar si f es diferenciable en un punto (,). a) Según la definición de derivada según un vector: f(,) f(hcos,hsen ) f(,) lím u h h h hhcossen h cos sen cos sen sen(h cos ) sen(h s en ) lím sen(h cos ) sen(h s en ) cossencos senlím h h cossen cos sen cos sen lím h h cos hcoshsen sen cos sen cos sen Las derivadas parciales se obtienen para f(,) f(,) 1 f (,) f (,) 1 i j b) Una condición necesaria para que f sea diferenciable en (,) es: que en nuestro caso no se cumple puesto que: f (,) f (,) f (,) cos sen u cos sen cos sen cos sen Luego f no es diferenciable en (,) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 59

59 43.- Sea = f(,) una función con derivadas parciales continuas. Aplicar el cambio de u variables: a la epresión: v u v Derivando hasta el segundo orden aplicando la regla de la cadena: u v u v u v u v u v u v u v u uv vu v v 4 4 u uv v v 1 ( ) 4 u uv v u u v u uv vu v u 4 4 u uv v v u v u u v v u v v Sustituendo en la epresión dada: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 6

60 4 4 u uv v v ( ) 4 u uv v u 4 4 u uv v v u v u v ( ) 4 u uv v ( uv) 4 u uv v U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 61

61 44.- Sea Diferenciabilidad de funciones de varias variables 3 si, (, ) si (, ) = (, ) f(,) a) Hallar el dominio de la función f(, ). b) Calcular el límite de f(, ) en (, ) a lo largo del camino =. c) Estudiar la continuidad diferenciabilidad de f en el origen. d) Calcular f, f, en los puntos (,) (, -1). e) Determinar en el punto P(, -1) el valor de la derivada de f(,) en la dirección del u 1, 3. vector Solución a) La función f(,) está definida en aquellos puntos que no anulan el denominador = + 8 = D, R /; b) 3 lim f (, ) lim (,) (,) 3 lim c) Al aproimarnos al punto (,) por rectas de la forma = m se obtiene un límite distinto al del apartado b), por tanto, podemos afirmar que no eiste límite de la función en (, ). 3 lim f (, ) lim lim. (,) (,) m m m m m Por no ser continua en (,) tampoco es diferenciable, a que toda función diferenciable en un punto debe ser continua en dicho punto. d) 3 h f, f(h,) f(,) lim h h h h f, f(,k) f(,) lim k k k 1 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 6