Cálculo 20. Semestre B-2015 Prof. José Prieto Correo: 1. Teoremas sobre funciones derivables

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1 Cálculo 0. Semestre B-05 Prof. José Prieto Correo: Teoremas sobre funciones derivables Problema Determine si la función dada satisface las hipótesis del Teorema de Bolzano sobre el intervalo indicado. En caso afirmativo, encuentre todos los valores de c que satisfacen la conclusión del teorema. Si no se puede aplicar, eplicar por qué no. (a) f() = +, [0, 5] (b) f() = 6 +8, [0, ] (f) f() =, [, 5] (g) f() =, [0, 5] (c) f() = + 6, [0, ] (d) f() = + 6, [ 5, 4] (e) f() = 8 4, [, 5] (h) f() = +, [, ] (i) f() =, [, ] (j) f() = 4cos ()+, [0, π ] Problema Determine si la función dada satisface las hipótesis del Teorema de Bolzano sobre el intervalo indicado. En caso afirmativo, encuentre todos los valores de c que satisfacen la conclusión del teorema. Si no se puede aplicar, eplicar por qué no. +, si 0, (a) f() =, si >0., si, en [, ] (b) f() = +, si >. en [0, ] Problema Sea f() =tg(). Apesardequef( π 4 )=y f(π 4 )=, no hay ningún punto en el intervalo [ π 4, π 4 ] tal que f() =0. Eplique por qué no hay una contradicción con el teorema de Bolzano. Problema 4 Demuestre que las siguientes ecuaciones posee al menos una raíz real. (a) + =0 (b) =0 Problema 5 Determine si la función dada satisface las hipótesis del Teorema de Rolle sobre el intervalo indicado. En caso afirmativo, encuentre todos los valores de c que satisfacen la conclusión del teorema. Si no se puede aplicar, eplicar por qué no. (a) f() = 4 +, [, ] (e) f() =( ), [0, ] (b) f() = 6, [ 4, 0] (c) f() = +, [, ] (d) f() = +, [, 0] (f) f() = +, [, ] (g) f() =sen(), [ π, π] (h) f() =cos(), [ π, π]

2 . Teoremas sobre funciones derivables (i) f() =tg(), [0,π] (j) f() =sec(), [π, π] (k) f() = 4, [, ] (l) f() =, [0, ] (m) f() =, [, ] (n) f() = +, [, 8] Problema 6 Determine si la función dada satisface las hipótesis del Teorema de Rolle sobre el intervalo indicado. En caso afirmativo, encuentre todos los valores de c que satisfacen la conclusión del teorema. Si no se puede aplicar, eplicar por qué no. 4, si <, 4, si, (a) f() = en [, 8 5 ] (b) f() = en [, 7] 5 8, si. 9, si >. Problema 7 Demuestre que las siguientes ecuaciones tiene eactamente una raíz real. (a) + =0 (c) + sen() =0 (b) =0 (d) cos() =0 Problema 8 La función 0, si =0, f() =, si 0 <. es derivable en (0, ) ysatisfacef(0) = f(). Sin embargo, su derivada nunca es cero en (0, ). Contradice el teorema de Rolle? Eplicar. Problema 9 En cada una de las siguientes funciones, investiga si la función verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo indicado. Luego encontrar el o los valores de c que satisface la conclusión del teorema. (a) f() = +, [0, ] (h) f() =, [ 7, ] (b) f() = /, [0, ] (c) f() = + +, [ 7, ] (d) f() = 4, [, ] (e) f() = +, [, ] (f) f() = 4 8, [0, ] (g) f() = +, [, ] (i) f() =sen(), [0,π] (j) f() =cos()+tg(), [0,π] (k) f() = +, [, 5] (l) f() =+, [0, 4] (m) f() = 4 +, [, 6] (n) f() =, [ 8, ] Problema 0 Utilice el Teorema del Valor Medio para demostrar que lím ( + )=0 Problema En cada una de las siguientes funciones, investiga si la función verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo indicado. Luego encontrar el o los valores de c que satisface la conclusión del teorema.

3 Cálculo 0 Semestre B , si, (a) f() = 4, si >., si, (b) f() =, si >. en [0, ] en [0, ], si, (c) f() =, si >. en [0, ] Problema Determinar los valores a, b y c tales que la función f satisfaga la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, ]., si =0, f() = a + b, si 0 < +4 + c, si <. Solución: a =6, b =, c = Problema Determinar los valores a, b, c y d tales que la función f satisfaga la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [, ]. a, si =,, si < 0, f() = b + c, si 0 < +4, si <. Solución: a =, b =, c =y d = 4 Problema 4 En cada una de las siguientes funciones, investiga si la función verifica las hipótesis del Teorema de Cauchy en el intervalo indicado. Luego encontrar el o los valores de c que satisface la conclusión del teorema. (a) f() = +y g() =, [, ] (d) f() =sen() y g() =cos(), [0, π ] (b) f() = y g() =, [, ] (c) f() = +y g() = +, [, 4] (e) f() =e y g() =e, [0, ] (f) f() =ln() y g() =, [,e]

4 4. Teoremas sobre funciones derivables Regla de L Hôpital Problema 5 sen() sen(a). lím =cos(a) a a cos() cos(a). lím = sen(a) a a tg() tg(a). lím =sec (a) a a Resolver los siguientes límites, aplicando la Regla de L Hôpital. ctg() ctg(a) 4. lím = csc (a) a a sec() sec(a) 5. lím = sec(a)tg(a) a a csc() csc(a) 6. lím = csc(a)ctg(a) a a ln( + ) 7. lím = 0 ln() ln(a) 8. lím = a a a ln(tg( π 4 9. lím + a)) = a 0 sen(b) b ) ln(cos(a)) ( a 0. lím 0 ln(cos(b)) = b sen ( π ). lím π cos() =. lím π 4. lím π 6 4. lím 0 ctg () ctg() ctg () = 4 sen ()+sen() sen () sen()+ = cos() cos() sen = () cos()cos()cos() 5. lím =4 0 cos() a 7. lím =ln(a) 0 8. lím a a a a = aa ln ( a e a a 9. lím a a = aa ln(ae) 0. lím sen(π α ) sen(π β ) = α β e α e β. lím 0 sen(α) sen(β) =. lím a α a α β a β = α β aα β. lím b a a b b = ab ln(a) 4. lím h 0 a +h + a h a h 5. lím sen (π ) ln(cos(π )) = a aa a a 6. lím a a a = aaa ln(a) ln(a) ln(n + n 7. lím ) 0 ln( + = n ) ln( + ) 8. lím ln( + ) =0 ln( + ) 9. lím + ln( + ) = ln() ln() ln( + e ) 0. lím + ln( + e ) = ln( + e ). lím + ln( 4 + e ) = ) = a ln (a) 6. lím π tg () tg() cos ( + π ) = 4 6 e a. lím = a b 0 sen(b) b

5 Cálculo 0 Semestre B-05 5 Problema 6 Resolver los siguientes límites, aplicando la Regla de L Hôpital.. lím = e 5. lím (sen()) tg() =. lím 0 ( + ) ctg () = e. lím 0 ( + sen(π)) ctg(π) = e 4. lím (tg()) tg() = e π 4 Problema 7. lím 0 ( ) + = + π ( ( π )) ctg() 6. lím tg 0 4 = e 7. lím cos( )= 0 e 8. lím 0 sen() = Resolver los siguientes límites, aplicando la Regla de L Hôpital. ( ) a + b 7. lím 0 a + b = ab ( ) +. lím = + ( ) +tg() sen(). lím = 0 +sen() ( ) sen() a 4. lím a sen(a) = e ctg(a) ( ) cos() 5. lím = e 0 cos() 6. lím 0 ( + + ) = ( ) 4 8. lím = e ( ) + 9. lím + +4 ( ) + 0. lím = e ( + +. lím + +4 = e 4 ) + = e ( ) sen(a)+sen() sen(). lím = e sen(a) 0 sen(a) sen() Problema 8 Resolver los siguientes límites, aplicando la Regla de L Hôpital.. lím h 0 log( + h)+log( h) log(). lím 0 cos() h cos() cos() = = log(e) sen(a +) sen(a + )+sen(a). lím 0 = sen(a) cos(a +) cos(a + )+cos(a) 4. lím 0 = cos(a) tg(a +) tg(a + )+tg(a) 5. lím 0 = sen(a) cos (a)

6 6. Teoremas sobre funciones derivables sen(a + )sen(a +) sen (a) 6. lím = 0 sen(a) Polinomio de Taylor Problema 9 Hallar el polinomio de Taylor P n () de la función f en potencias de a, para los valores de a y n indicados y dar la forma de Lagrange del resto. (a) f() = ; a =4, n = (e) f() =ln(); a =, n =5 (b) f() = +5; a =, n =4 (c) f() =cos; a = π, n =4 (d) f() =sen; a = π 4, n =4 (f) f() =arctg(); a =, n = (g) f() =cos(π); a =, n =4 (h) f() = ln(); a =, n =4 Problema 0 Para cada una de las siguientes funciones y = f(), estimar el error cometido al evaluar f( 0 ) utilizando el polinomio de Taylor P n () alrededor del punto a, para los valores de a, n y 0 indicados. (a) f() =ln(); a =; n =5; 0 =, (d) f() = +; a =0; n =4; 0 =4 (b) f() =e ; a =0; n =5; 0 = (c) f() = ; a =4; n =; 0 =5 (e) f() =cos(); a = π ; n =4; 0 = (f) f() =arctg(); a =; n =; 0 = Problema Hallar una aproimación del valor numérico de ln(), dando una cota del error cometido, utilizando los polinomios de Maclaurin de grado 5 de las funciones: ) (a) f() =ln( +) (b) f() =ln( + Problema Estimar e 0, conunerrorinferiora0,0005 Problema Estimar sen(0,5) conunerrorinferiora0,00 Problema 4 Estimar e con un error inferior a 0,000 Problema 5 Estimar el máimo error que se comete cuando se aproima la función dada con su polinomio de Taylor de orden n alrededor de a en el intervalo indicado. (a) f() =cos; n =, a =0, [ 0., 0.] (b) f() =sen; n =, a = π 6, [0, π 4 ] (c) f() = ; n =, a =4, [4, 5]

7 Cálculo 0. Semestre B-05 Prof. José Prieto Correo: Representación gráfica de funciones Analice y grafique las funciones cuyas reglas son las siguientes: () Funciones algebraicas Problema Polinómicas.. f() = f() = f() = 4. f() = Problema Racionales. 9. f() = 0. f() =. f() = f() = 4 +. f() = + Problema 8. f() = 5 9. f() = 0. f() = + Irracionales. 5. f() = + 6. f() = f() =/4 4 / 8. f() = f() = + 5. f() = 9 6. f() = + 7. f() = +. f() =. f() =. f() =( ) /

8 8. Representación gráfica de funciones () Funciones trascendentes Problema 4 4. f() = ln() 5. f() = ln() 6. f() = ln() 7. f() = ln () Logaritmicas. Problema 5 Eponenciales.. f() =e. f() =e 4. f() = e Problema 6 8. f() =sen()cos() Trigonometricas. 9. f() =sen()+cos() 40. f() =e sin(), [ π, π] 8. f() =( +)ln ( +) 9. f() = ln() 0. f() =log ( +). f() = ln ( ) 5. f() = e 6. f() = e 7. f() =e 4. f() =e cos(), [ π, π ] 4. f() =sen() sen ( ) 4. f() =sen()+sen() Etremos Absolutos Problema 7. f() =, [0, 4]. f() =, [0, 4] Hallar los etremos absolutos de la función en el intervalo cerrado. 5. f() =, [0, ] 6. f() =[[ ]], [, ].. f() =, [, ] + 4. f() =, [, ] + 7. f() =, [, 5] 8. f() = + +, [, ]

9 Cálculo 0 Semestre B-05 9 Gráficos de las funciones algebraicas y transcendentes () () () (4) (5) (6) (7) (8) (9)

10 0. Representación gráfica de funciones (0) () () () (4) (5) (6) (7) (8)

11 Cálculo 0 Semestre B-05 (9) (0) () () () (4) (5) (6) (7)

12 . Representación gráfica de funciones (8) (9) (0) () () () (4) (5) (6)

13 Cálculo 0 Semestre B-05 (7) (8) (9) (40) (4) (4) (4)

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15 Cálculo 0. Semestre B-05 Prof. José Prieto Correo: Problemas de optimización Problema La base y la altura de un triángulo isósceles miden, respectivamente 6 unidades y unidades. Hallar el área máima posible de un rectángulo que pueda inscribirse en el triángulo con uno de su lados sobre la base del triángulo. Cuáles son las dimensiones del rectángulo de máima área? Solución: unidades y 6 unidades Problema Hallar las dimensiones de un rectángulo de 7 m. de perímetro que encierra un área máima. Solución: 8 m cada lado. Problema Se quiere cercar un terreno rectangular que está a las orillas de un río. Si se cercan sólo tres lados del terreno y se cuenta con 400 m. de alambrada. Qué dimensiones debe tener el terreno si se quiere que tenga área máima? Solución: 00m. y 00m. Problema 4 Se construye cajas sin tapa utilizando láminas de cartón cuadrado de 96 cm. de lado, a las cuales se recorta un pequeño cuadrado en cada esquina. Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado cortado si se quiere que la caja tenga volumen máimo? Solución: 6cm. Problema 5 Se construye cajas sin tapa utilizando láminas de cartón rectangulares de cm. por 6 cm, a las cuales se recorta un pequeño cuadrado en cada esquina. Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado cortado si se quiere que la caja tenga máimo volumen? Solución: cm. Problema 6 Se desea construir una pista de carrera de 400m. de perímetro. La pista debe estar formada por un rectángulo con dos semicírculos localizados en dos lados opuestos del rectángulo. Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo si se quiere que el área de éste sea máima? Solución: 00 π my00m. Problema 7 Se desea construir una pista de carrera de 560m. de perímetro. La pista debe encerrar un terreno que tenga la forma de un rectángulo con un semicírculo adjunto a cada uno de los lados opuestos del rectángulo. El rectángulo debe tener área máima. Hallar las dimensiones del rectángulo. Solución: 80 π m cada lado.

16 6. Problemas de optimización Problema 8 Hallar las dimensiones del rectángulo de área máima, de lados paralelos a los ejes y que puede inscribirse en la región acotada por las parábolas. Solución: los lados miden 4 y =4, y = 6 Problema 9 De un tronco circular de radio m. se quiere cortar un viga rectangular de máima resistencia. Hallar las dimensiones del rectángulo. Se sabe que la resistencia de una viga rectangular es directamente proporcional a su ancho y al cuadrado de su altura. Es decir, R = kah, donde R es la resistencia, k es una constante de proporcionalidad, a es el ancho del rectángulo y h su altura. Solución: a = m. y h = 6 m. Problema 0 Un hotel tiene 00 habitaciones. El gerente sabe que cuando el precio por habitación es de $45 todas las habitaciones son alquiladas; pero por cada dólar de aumento, una habitación se desocupa. Si el precio de mantenimiento de una habitación ocupada es de $5 Cuántas habitaciones deben alquilarse para obtener la máima ganancia? Cuál debe ser el precio por habitación? Solución: 70 habitaciones, $75. Problema Se quiere cercar un terreno rectangular y luego dividirlo en dos partes iguales mediante una cerca. El área del terreno encerrado debe ser de 864m. Si se desea utilizar la mínima cantidad de cerca, qué dimensiones debe tener el rectángulo? Solución: Las dimensiones son: 4m y 6m. Problema Se quiere construir una caja cerrada de madera de 7dm de volumen. La base debe ser un rectángulo cuyo largo sea el doble de su ancho. (a) Qué dimensiones debe tener la caja si se quiere usar la mínima cantidad de madera? Solución: Las dimensiones son: dm; 6dm y 4dm. (b) Qué dimensiones debe tener la caja si no tiene tapa? Solución: Las dimensiones son: dm; 6 dm y dm. Problema Se quiere imprimir un libro, en el cual cada página tenga cm. de márgenes superior e inferior y cm. de margen a cada lado. El teto escrito debe ocupar un área de 94 cm. Si se busca economizar papel, qué dimensiones de la página son las más conveniente? Solución: 8 cm. y 7 cm. Problema 4 Se tiene un terreno rectangular de 480 m, de área, sobre el cual se va a construir una casa que tendrá también forma rectangular. Para jardines se dejaran 5 m. de frente, 5 m. atrás y 4 m. a los costados. Qué dimensiones debe tener el terreno para que el área de la casa sea máima? Solución: 8 6 m. y 0 6 m. Problema 5 Para envasar sus productos una compañía necesita pote cilíndricos de hojalata de π litros de capacidad y con tapa. Qué dimensiones debe tener cada pote si se quiere usar la mínima cantidad de hojalata? Solución: radio yaltura.

17 Cálculo 0 Semestre B-05 7 Problema 6 Resolver el problema anterior para el caso en que el pote no tenga tapa superior. Solución: radio yaltura. Problema 7 Se quiere construir vasos (cilíndricos sin tapa) de vidrio que tengan 08π cm. de material. Que dimensiones debe tener el vaso si se quiere que contenga la mayor cantidad de líquido? Solución: radio 6 cm. y altura 6 cm. Problema 8 Un arquitecto quiere diseñar una ventana en forma de rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana esta limitado a 4 metros, qué dimensiones debería elegir el arquitecto para que la ventana permita entrar la mayor cantidad de luz? 4 Solución: radio de la parte semicircular 4+π ylaalturadelaparterectangular 4 4+π Problema 9 Un arquitecto quiere diseñar una ventana en forma de rectángulo coronado por un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de metros. Qué dimensiones debería elegir el arquitecto para que la ventana permita entrar la mayor cantidad de luz? Solución: La altura del rectángulo debe ser 9 y el lado del triángulo es de 6. Problema 0 Un trozo de alambre de m. se corta en dos partes. Una parte se doblará para formar una circunferencia y la otra se doblará para formar un cuadrado. Dónde se hará el corte si la suma de las áreas es mínima? Solución: El alambre se cortará en π π+4m para construir la circunferencia y el resto del alambre para construir el cuadrado. Problema Un trozo de alambre de 0m. se corta en dos partes. Una parte se doblará para formar un triángulo equilátero y la otra se doblará para formar un cuadrado. Dónde se hará el corte si la suma de las áreas es mínima? 80 Solución: El alambre se cortará en 9+4 m para construir el triángulo equilátero y el resto del alambre para construir el cuadrado. Problema Encontrar dos números positivos que satisfagan los siguientes ejercicios (a) El producto es 85 y la suma es mínima. (b) El producto es 47 y la suma del primero más tres veces el segundo es un mínimo. (c) El segundo número es el recíproco del primero y la suma es un mínimo. (d) La suma del primero y el doble del segundo es 08 y el producto es un máimo. (e) La suma del primer número al cuadrado y el segundo es 54 y el producto es máimo. Problema ( Hallar los puntos de la hiperbola y =más próimo a (0, ). ) ( 5 ) Solución: 5, y, Problema 4 Hallar un punto sobre la parábola y =4 tal que la recta tangente en el segundo cuadrante, determine un triángulo de área máima (con los ejes coordenados) Solución: ( ), 8

18 8. Problemas de optimización Problema 5 Determine el área del triángulo isósceles más grande que pueda inscribirse en un círculo de radio 6. Identificar el tipo de triángulo de área máima. Solución: 7 Problema 6 Cuál de los cilindros de volumen dado tiene menor superficie total? Solución: Aquél, donde la altura es igual al diámetro de la base. Problema 7 Cuáles son las dimensiones de un cilindro circular recto inscrito en una esfera de radio a, cuyo volumen sea máimo? Solución: radio 6 a yaltura a. Problema 8 Cuáles son las dimensiones de un cilindro circular recto inscrito en una esfera de radio a, tal que la superficie lateral sea la mayor? Solución: radio a yaltura a. Problema 9 Cuáles son las dimensiones de un cono circular recto inscrito en una esfera de radio a, cuyo volumen sea máimo? Solución: altura 4 a yradio a Problema 0 Circunscribir en torno a un cilindro dado un cono circular recto que tenga el menor volumen posible (los plano u centros de sus bases circulares coinciden). Hallar las dimensiones del cono. Solución: radio R yalturah, donde R es la radio del cilindro y H su altura. Problema Hallar las dimensiones del rectángulo de área máima que puede inscribirse en un semicírculo de radio r. Solución: r y r

19 Cálculo 0. Semestre B-05 Prof. José Prieto Correo: 4. Curvas paramétricas y Coordenadas Polares Problema Trazar la curva que representa cada par de ecuaciones paramétricas, indicando su orientación de la curva. Además, elimine el parámetro y dar la ecuación rectangular correspondiente que tenga la misma gráfica.. { = t y =t, t [, 5]. 9. { =+sen(t) y =4+sen(t), t [ π, π ]. Sol: y = +, [, 4] Sol: y = ( +5), [, 5]. { =t y = t, t [, ]. 0. { =4cos(t) y =4sen(t), t [ π, π ]. Sol: y = 9, [ 6, 9] Sol: + y =6, [0, 4], y [ 4, 4]. { = t y =5 t, t [0, ).. { =8cos(t) y =8sen(t), t [0,π]. Sol: y =5, [0, ) Sol: + y =64, [ 8, 8], y [0, 8] 4. { =t y = t 4 +, t [0, ).. { = cos(t) y =sen(t), t [ π 4, π 4 ]. Sol: y = 4 +, [0, ) Sol: y = +, [, 0], y [, ] 5. { = e t y = e t, t [0, ln()]. Sol: y =, [, ]. { =tg(t) y = sec(t), t ( π, π ). Sol: y =, R, y [, ) 6. { = e t y = e t, t [0, ). 4. { = t + y = t, t [, ]. Sol: y =, (, ] Sol: y = ( ), [ 7, 9] 7. { = t y = t 4 +t, t R. Sol: y = +, [0, ) 8. { = t + t +4 y = t t, t R. 5. { =cos (t) y =sen (t), t [ π,π]. Sol: y =, [0, ] Sol: y = +8, R 6. { =sec (t) y =tg (t), t [0, π ). Sol: y =, [, )

20 0 4. Curvas paramétricas y Coordenadas Polares Problema Hallar la dy y d y sin eliminar el parámetro. Además, halle la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado.. { =4t y =t, t =. 5. { =cos(t) y = t, t = π 4.. { = t y = t, t =. 6. { =sec(t) y =tg(t), t = π 6.. { = t y =t, t =. 7. { =cos (t) y =sen (t), t = π { = e t y = e t, t =. 8. { = t sen(t) y = cos(t), t = π. Problema Para cada una de las siguientes ecuaciones paramétricas. Hallar los valores del parámetro para los cuales la curva es cóncava hacia arriba. Además, hallar los valores del parámetro para los cuales la curva es cóncava hacia abajo.. { = t + y = t 6t, t R.. { =ctg(t) y =sen (t), t (0,π).. { = t t y = t, t R. Problema 4 Para cada una de las siguientes ecuaciones paramétricas. Hallar los puntos en la gráfica donde la recta tangente es horizontal. Además, hallar los puntos en la gráfica donde la recta tangente es vertical. { =t { =cos(t). y = t t, t R.. y =sen(t), t [0, π].. { = t t y = t, t R. Problema 5 Grafique el punto con las coordenadas polares indicadas.. (,π). (, π ). (, π ) 4. (, π 6 ) 5. ( 4, π 6 ) 6. (, 7π 4 ) 7. (, π 4 ) 8. (, π ) 9. (, π) Problema 6 que satisfagan Para cada uno de los puntos anteriores, encuentre coordenadas polares alternas

21 Cálculo 0 Semestre B-05. r>0, θ<0. r>0, θ>π. r<0, θ>0 4. r<0, θ<0 Problema 7 son las siguientes. Encuentre las coordenadas polares de los puntos cuyas coordenadas cartesianas. (, ). (, ). (, ) 4. (0, 4) 5. ( 6, ) 6. (, ) 7. (, ) 8. (, ) 9. (, ) 0. ( 5, 5). (, ). (, ) Problema 8 Dibuje la región sobre el plano que consiste en los puntos (r, θ) cuyas coordenadas polares satisfacen las condiciones indicadas.. r<4, 0 θ π. <r 4, 4. r 0, π 4 θ π 4 5. r, 0 θ π. 0 r, π θ π 6. r<4, π θ π Problema 9 dada Encuentre una ecuación polar que tenga la mis gráfica que la ecuación rectangular. y =5 Solución: r =5csc(θ). +=0 Solución: r = sec(θ). y = Solución: θ = π 6 4. y = Solución: θ = π 5. +8y +6=0 Solución: r = 6 cos(θ)+8 sen(θ) 6. y = 4 +4 Solución: r = +cos(θ) 7. y 6 = 0 Solución: r = 8. + y =6 Solución: r =6 6 +sen(θ) Problema 0 polar dada. r =sec(θ). r cos(θ) = 4. r =6sen(θ) Encuentre una ecuación rectangular que tenga la mis gráfica que la ecuación 4. r =tg(θ) 5. r =4sen(θ) 6. r cos(θ) =6

22 4. Curvas paramétricas y Coordenadas Polares 7. r +5sen(θ) =0 8. r =+cos(θ) Problema Identifique por nombre la gráfica de la ecuación polar dada. Después trace la gráfica de la ecuación.. r =6. r =. θ = π 4. θ = 5π 6 5. r =+cos(θ) 6. r =5 5sen(θ) 7. r =+sen(θ) 8. r = cos(θ) 9. r =sen(θ) 0. r =sen(4θ). r =cos(θ). r =sen(θ). r =cos(5θ) 4. r =sen(9θ) 5. r =6cos(θ) 6. r = cos(θ) 7. r = sen(θ) 8. r =5sen(θ) 9. r =4sen(θ) 0. r =4cos(θ). r = 9sen(θ) Problema indicadas Encuentre los puntos de intersección de las gráficas del par de ecuaciones polares. r =, r =4sen(θ). r =sen(θ), r =sen(θ). r = cos(θ), r =+cos(θ) 4. r = cos(θ), r =cos(θ) Problema Encuentre la pendiente de la recta tangente en el valor indicado de θ.. r = θ; θ = π. r = θ ; θ =. r =4 sen(θ); θ = π 4. r = cos(θ); θ = π 4 Problema 4 Determine los puntos sobre la gráfica de la ecuación dada en los cuales la recta tangente es horizontal y los puntos en los que la recta es vertical.. r =+cos(θ). r = sen(θ) Problema 5. r = sen(θ). r =cos(θ) Encuentre la ecuación polar de cada recta tangente a la gráfica polar en el origen. 4. r = sen(θ) 5. r =sen(5θ). r =+ sen(θ) 6. r =sen(θ)

23 Cálculo 0 Semestre B-05 Gráfica de los ejercicios del problema y () () () y y y y (4) (5) (6) (7) t [0, + ) (7) t (, 0] (8) y y y y

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25 Cálculo 0. Semestre B-05 Prof. José Prieto Correo: 5. Integrales Indefinidas Problema Calcule las siguientes integrales directas a partir de la tabla:. ( c).. tg ().. 4. ( t + t )dt ( )( ) ( ) 5. ( + ) y 4 +y dy y ( ) ( ) ( 4 ) ( + 4 ) ( + ) ( +)( +) ( +)( ) ctg () ctgh () tgh () e sen() +cos()

26 6 5. Integrales Indefinidas Problema Calcule las siguientes integrales por sustitución simple: (a) Directamente. sec().. 4. csc() tg() ctg() cos() ( + sen()) arc tg() + ( + )arctg() e r +dr A + B + A + B 5. ctg(5 7) 0. (e ) ctg(e )e. e sen() cos() cos(6 ) sen ( ) tg (5 ) sen ()cos() cos() sen () tg() cos () tg(u)sec (u)du cos() 4+sen () cos () tg() e +e e e ln() ln () ln() cos(ln()) ln () 7 A+ B arc cos() arc tg() ( 4 ) t t + dt ( +s(s +) )ds

27 Cálculo 0 Semestre B-05 7 Problema z z + dz ( +) + + (b) Completando cuadrados en A + B a + b + c o A + B a + b + c ( +5) ( ) Problema 4 (c) Completando cuadrados en (A + B) a + b + c. 5. ( ) ( +) 9+ ( +) +

28 8 5. Integrales Indefinidas Problema 5 Integración por partes:. arc sen(). ln() arc cos() arc tg() arc sen() arc sen( ) arc cos() arc tg() arc tg( ) arc sen( ) ln() ln () ln () ln() ln( ) ln() ln( ) ( +)ln() ( +) ln( +) ln( +) ( )e e +ln() e e e + + e ( + ) e cos() e cos() cos(ln()) ln( + + ) cos()ln(sen()) arc sen( ) cos() Problema 6 Integrales trigonométricas:. sen () 5. cos () 9. tg 4 (). sen 4 (5) 6. cos 4 () 0. tg 5 (). sen 5 ( ) 7. cos 5 (). tg 6 () 4. sen 6 () 8. tg (). ctg 4 ()

29 Cálculo 0 Semestre B csc 4 () 8. sen 4 ()cos (). tg ()sec () 4. sec 4 (7) 9. sen ()cos 4 () 4. cos 4 ()sen () 5. sen()sen(5) 0. sen ()cos () 5. tg 4 ()sec 4 () 6. cos(5) sen(). sen 4 ()cos 4 () 6. tg ()sec 5 () 7. cos() cos(). sen 6 ()cos () 7. tg ()sec() Problema 7 Calcule las siguientes integrales por cambio de variable (trigonométrico o hiperbólico). + a a a ( + ) 6 Problema 8 Integrales racionales (descomposición en fracciones simples). a a ( +). ( ) ( +) ( +) 7 ( +) ( +) ( +4)

30 0 5. Integrales Indefinidas Problema 9 Integrales irracionales ( +6) + + Problema 0 Integrales trigonométricas que se transforman en racionales.. +sen() 5. sen(). +cos() 6. +sen() cos() cos() 4+4sen() sen()+cos() sen()+4cos()