Trabajo Práctico Nº 6: Aplicaciones de Derivadas

Transcripción

1 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] ANÁLISIS MATEMÁTICO I Año: 0 º Cuatrimestre Trabajo Práctico Nº 6: Aplicaciones de Derivadas Equipo Docente: Ma. Laura Halladjian P. Mariano Nowakoski Gabriela L. Paladino ) Determinar los máimos y mínimos absolutos en [a, b], a partir de los siguientes gráficos: i) ii) iii) iv) Página de 8

2 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] v) ) Determinar los máimos y mínimos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos indicados: Función f ( ) 6 3 f ( ) 5 f Intervalo ; = [ ] = [ 0;5 ] ( ) = 6 [ ;] 3 f ( ) = [ 0; 4 ] 3 f ( ) = 3 [ ;] f ( ) = 4 4 [ ; 6 ] f f ( ) ( ) = 4 = 3 ( ) [ ;] [ ;5 ] 3) Hallar el número en el intervalo [0, ] tal que la diferencia entre el número y su cuadrado sea máima.. 4) Un empresario ha calculado que el costo C de pedido y almacenamiento de unidades de un producto es C( ) =, 300. El camión de reparto sólo puede transportar 300 unidades. Hallar el pedido de tamaño que minimizará el costo. Bajaría el costo si el camión se sustituyera por otro que puede transportar 400 unidades? Justificar la respuesta. 5) La fórmula de la potencia P de una batería es P = VI RI donde V es la fuerza Página de 8

3 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] electromagnética en voltios, R la resistencia e I la intensidad de corriente. Hallar la intensidad (medida en amperios) que corresponde a un valor máimo de P en una batería con V= voltios y R = 0,5 ohmios. Supongamos que un fusible de 5 amperios limita la salida de corriente en el intervalo 0 I 5. Aumentaría la salida de corriente si se sustituye ese fusible por otro de 0 amperios? Eplicar la respuesta. 3s 3 cosθ 6) El área de la superficie de una celdilla en un panal es S = 6hs donde h y sinθ s son constantes positivas y θ es el ángulo entre las paredes superiores que intersecan a la altura de la celda. Averiguar el ángulo que minimiza el área de S. 7) Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar siempre la respuesta. a) El máimo absoluto de una función continua f ( ) en un intervalo cerrado puede ocurrir en dos valores de diferentes. b) Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces siempre alcanza un mínimo absoluto en ese intervalo. f también lo es de la función c) Si = c es un punto crítico de la función ( ) g ( ) = f ( ) k, donde k es una constante. d) Si = c es un punto crítico de la función f ( ) también lo es de la función g ( ) = f ( k), donde k es una constante. 8) Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar siempre la respuesta. a) Si la gráfica de una función corta al eje en tres puntos, debe haber dos puntos al menos en que su tangente sea horizontal. b) Si la gráfica de una función polinómica corta al eje en tres puntos, debe haber dos puntos al menos en que su tangente sea horizontal. c) Si f ( ) = 0para todo del dominio, entonces f ( ) es constante. e) Demostrar que si a > 0 y si n es cualquier entero positivo la función polinómica n f = a b n puede tener dos raíces reales. ( ) f) Probar que si ( ) 0 f = para todo en ( ab ; ), entonces f es constante en [ ; ] ab. 9) Calcular los siguientes límites: a) 3cos lim b) lim tan ( ( ) ) c) lim ln ( e ) 3 d) lim cos ec 0 e) lim ln 0 f) lim sin 0 g) lim ln h) lim 0 sin Página 3 de 8

4 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] lim i) ( ) 0 tan e j) lim 0 sin lim cos m) ( ) lim tan n) ( ) cos tan k) lim cot g o) lim ln ln l) lim 3 lim cot g p) ( ) sin 0 0) Si ( ) f =, calcular dy y Δ y en = 3 para un incremento de Δ = h= 0,. ) Mediante diferenciales, calcular aproimadamente ( ) ( ) 0, 3 a) 5 b) ln, c) cos 0,3 d) e )a) Aproimar mediante la recta tangente la función f ( ) = sin en =0. b) Usar el resultado anterior para calcular f ( 0,). 3) Obtener el polinomio de Mc Laurin según el grado que se indica para cada una de las siguientes funciones: a) f ( ) = e, n= 4 b) f ( ) =, n= 4 c) f = sin, n= 7 d) f = cos, n= 5 ( ) ( ) 4) Utilizar el ejercicio 0 a) para calcular e 0, y comparar el resultado con el obtenido en el ejercicio 8 d). 5) Obtener el polinomio de Taylor según el grado y el punto indicado para cada una de las siguientes funciones: ( ) ( ) a) f = ln, n= 5, c= b) f = arctg, n= 4, c= c) f ( ) = cos ec, n= 3, c= 4 6) a) Calcular una aproimación lineal de 5,3. b) Calcular una aproimación de 5,3 mediante un polinomio de grado 4. c) Comparar ambos resultados. 7) - Para cada una de las siguientes funciones, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: a) f () = b) f () = 6 c) f () = ( ) ( ) d) f () = 4 3 Página 4 de 8

5 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] e) f () = ( ) /3 f) f () = 3 g) f () = h) f () = 9 i) f () = j) f () = k) f () = cos, 0 l) f () = sen. cos, 0 m) f () = sen sen, 0 n) f () = cos sen, 0 8) En un periodo de dos horas tras la ingestión de un fármaco, su concentración en sangre es: C (t) = 0,9483t 0,0453t 0,00035t 3 con C medida en miligramos y t en minutos. Hallar los intervalos en que C crece y en que C decrece. 9) - Si el costo de pedido y transporte (en miles de dólares) de cientos de unidades es: C ( ) = 0 3 Hallar los intervalos en que C es creciente o decreciente. 0) En cada uno de los siguientes ejercicios, suponga que f es derivable en todo. El signo de f es así: f () > 0 en (- ; -4) f () < 0 en (-4; 6) f () > 0 en (6; ) completar la desigualdad adecuada por el valor indicado de : a) g () = f () 5 g (0)..0 b) g () = 3f () 3 g (-5). 0 c) g () = - f () g (-6). 0 d) g () = - f () g (0).. 0 e) g () = f ( 0) g (0).. 0 f) g () = f ( 0) g (8)..0 ) Para cada una de las siguientes funciones, hallar los etremos relativos. Utilizar, cuando sea posible, el criterio de la segunda derivada: a) f () = 6 b) f () = 3 8 c) f () = ( 5) d) f () = e) f () = /3 3 f) f () = 4 g) f () = h) f () = ) Para cada una de las siguientes funciones, analizar la concavidad y hallar los puntos de infleión: a) f () = ( ) b) g (w) = 3w 3-8w Página 5 de 8

6 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] c) f (z) = z z d) h (t) = t 4 6t 3-4t 3t e) f (h) = h cos h f) f () = 4 sen 3) Determinar, para cada una de las siguientes funciones, dónde la gráfica es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Luego, realizar la gráfica: a) f () = 3 b) g () = c) h () = d) f (t) = sen t en [0; ] e) g () = f) g () = 8 /3 4/3 4) Realizar un análisis completo de las siguientes funciones y luego realizar un bosquejo de sus gráficas: a) f () = ( ) 4 b) g () = c) f (t) = 4 t ( )( 3) d) h () = ( )( ) e) f () = cos f) g (z) = tan z g) f () =.tan en ; h) f () = ln( -) en [; ) 5) Dibujar la gráfica de una función continua en [0; 6] que cumpla las siguientes condiciones: a) f (0) = ; f (6) = 3; creciente y cóncava hacia abajo en (0; 6). b) f (0) = 8 ; f (6) = - ; decreciente en el intervalo (0; 6) ; punto de infleión (; 3) y cóncava hacia arriba en el intervalo (; 6). c) f (0) = 3 ; f (3) = 0 ; f (6) = 4 f () < 0 en (0; 3) ; f () > 0 en (3; 6) f () > 0 en (0; 5) ; f () < 0 en (5; 6) d) f (0) = 3 ; f () = ; f (6) = 0 f () < 0 en (0; ) (; 6) ; f () = 0 f () < 0 en (0; ) (; 6); f () > 0 en (; ) 6) Demostrar que una función cuadrática no tiene puntos de infleión. 7) Demostrar que una función cúbica tiene un solo punto de infleión. 8) Determinar los valores de a, b y c para que la función f () = a 3 b c d sea siempre creciente. 9) Hallar los valores de a y b para que la función f () = a b tenga a (4; 3) como punto de infleión. 30) Bosquejar la gráfica de una función f que tenga las siguientes propiedades: f es continua en todas sus partes. f () = -3 ; f (6) = f () = 0 ; f () > 0 para ; f (6) = 3 Página 6 de 8

7 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] f (6) = 0 ; f () > 0 para < < 6 ; f () < 0 para > 6 3) Sea f () = ( )( 3)( 4) y f () =. Realizar la gráfica de f (). 3) Sea f () = ( 3)( ) ( ) y f () = 0. Realizar la gráfica de f (). PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: (Etraídos del libro Cálculo y Geometría Analítica Larson, Hostetler 3 Edición Ed. McGraw Hill) 33) Qué longitud y anchura debe tener un rectángulo de 00 pies de perímetro para que su área sea máima? 34) Qué número positivo minimiza la suma /? 35) La suma de un número más el doble de otro es 4. Qué números han de elegirse para que su producto sea el mayor posible? 36) Hallar dos números cuya diferencia sea 50, de modo que su producto sea el menor posible. 37) Hallar dos números positivos cuya suma sea 0 y cuyo producto sea máimo. 38) Un granjero dispone de 00 pies de valla para delimitar dos corrales adyacentes rectangulares. Qué dimensiones debe elegir para que el área encerrada sea máima? 39) Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El pastizal debe tener metros cuadrados para producir suficiente forraje para su ganado. Qué dimensiones requerirán la mínima cantidad de valla, si el lado del río no necesita ser vallado? 40) Se desea hacer una caja abierta, con una pieza cuadrada de material de pulgadas de lado, cortando cuadraditos iguales en cada esquina y doblando por la línea de puntos como muestra la figura. Hallar el máimo volumen que puede lograrse. Página 7 de 8

8 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] 4) a) Resolver el ejercicio anterior con un cuadrado de lado s pulgadas. b) Si se duplica la longitud s cómo cambia el volumen máimo? 4) Un recinto cerrado por una red para la práctica de golf está abierto por uno de sus lados como se muestra en la figura. Calcular las dimensiones que eigen mínima cantidad de red, si el recinto ha de tener un volumen 83 /3 metros cúbicos. 43) Un rectángulo está acotado por los ejes, y y por el gráfico de y = (6 )/. Qué longitud y anchura ha de tener el rectángulo para que su área sea máima? 44) Hallar las dimensiones del triángulo isósceles más grande que puede inscribirse en un círculo que tiene radio r. 45) Un pabellón deportivo cubierto consta de una zona rectangular y un semicírculo en cada uno de sus etremos. Si el perímetro del pabellón ha de ser una pista de 00 metros, calcular las dimensiones que hacen máima el área de la zona rectangular. 46) Se forman triángulos rectángulos en el primer cuadrante, limitados por los ejes y por una recta que pasa por el punto (; 3), Hallar los vértices del triángulo de área mínima. Página 8 de 8