PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. Ejercicios de Cálculo Diferencial

Transcripción

1 PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Ejercicios de Cálculo Diferencial Fabio Germán Molina Focazzio

2 Índice

3 1. Inecuaciones Halle el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: < > < 2 3 < ,, 1 4 < < > ( 1)( 2) > < > < = = < Funciones Halle el dominio de las funciones definidas por: 24. g() = v() = f() = f() = f() = f() = f() = f() = f() = f() = f() = Si f() = 4 2 2, y, g() = 2 3 halle: 35. f(3) 36. g( 2 1) f(+h) f() h g(+h) g() h Partiendo de las gráficas de las funciones definidas por: f() = 2, g() = 1, h() =, utilice traslaciones y refleiones para representar las gráficas de: 39. r() = s() = t() = 3 1 2

4 Partiendo de las grficas de las funciones definidas por: f() = sen(), g() = cos(), utilice traslaciones, refleiones, dilataciones y contracciones, para representar las gráficas de las funciones definidas por: 42. h() = 3 sen() r() = 1 3 cos() s() = sen(2) 45. t() = 3 cos( 1 2 ) + 2 Si f() = y g() = 46. (f g)() halle: Dada la siguiente gráfica: 47. (g f)() 48. (f f)() 49. (g g)() Dada la tabla f() g() Determine los siguientes valores: 50. 2f( 5) + 3g(7) 51. (f( 1)) 2 (g(3)) (f g)(3) 53. (g f)(3) 54. (f f)( 5) 55. (g g)( 1) 56. Determine la ecuación se la función a trozos cuya gráfica se presenta a continuación: Determine: 57. (f + g)(3) 58. ( f g )(4) 59. (f g)(3) 60. (g f)(2) 61. 4g(0) 5g(3) 62. Represente la función a trozos definida por: 3

5 f() = 2 3 si si 2 < < si Grafique la inversa de la función que se representa a continuación. Indique el dominio y el rango de la función y de su inversa. 63. Represente la función a trozos definida por: 2 si 1 f() = si 1 < < 3 4 si Halle la ecuación de la recta que contiene los puntos (2, 4) y ( 2, 1) 65. Halle la ecuación de la recta que tiene pendiente -2 y contiene al punto (2, 3) 66. Determine la ecuación de la recta que contiene al punto (3, 1) y es paralela a la recta de ecuación 6 + 3y = Grafique la inversa de la función que se representa a continuación. Indique el dominio y el rango de la función y de su inversa. 67. Determine la ecuación de la recta que contiene al punto ( 3, 2) y es perpendicular a la recta de ecuación y = Determine el vértice y los cortes con los ejes de la parábola de ecuación y = Repesente la parábola. 69. Una parábola tiene una ecuación de la forma y = a 2 +b+c. Determine los valores de a, b y c de tal forma que la parbola contenga los puntos ( 1, 2), (0, 1) y (2, 4) Utilizando traslaciones y refleiones sobre las grficas de las funciones definidas por y = e, y = ln() y y = 2, represente: 70. y = e y = ln( + 2) y = y = ln( ) + 3 Para cada una de las funciones definidas por las ecuaciones siguientes, halle f 1 (). Represente la función y su inversa. 76. f() = f() = 2, con f() = f() = 2 + 1, con f() = sen() + 2, con π 2 π 2 4

6 81. f() = cos() 1, donde 0 π 3. Límites Dada la gráfica de una función: 88. lím 3 f()) 2 + (g()) lím 3 f() 2f() g() Evalúe los siguientes límites: 90. lím lím lím lím lím Evale los siguientes límites: 82. lím f(), lím f(), lím f() lím 0 f(), lím 2 f(), lím 4 f() 84. lím f(), lím f(), lím f() Considere la función definida por: 5 si 2 f() = si 2 < < si 5 Evalúe los siguientes lmites: 85. lím f(), lím f(), lím f() lím f(), lím f(), lím f() Si lím f() = 3, lím g() = 4, aplique 3 3 propiedades de los límites y evalúe: 87. lím 3 (2f() 3g()) 95. lím lím lím lím lím 2 a 2 a 3 a lím h 0 1 +h 1 h 101. lím lím lím lím lím ( 4 1 9) 5

7 106. Determine las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de f() = evaúe los límites lím f(), lím f(), lím f(), represente las asíntotas y haga un bosquejo de la gráfica Determine las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de f() = evaúe los límites lím f(), lím f() lím f(), lím f(), lím f(), represente las asíntotas y haga un bosquejo de la gráfica. Determine las asíntotas horizontales y verticales de las funciones definidas por las ecuaciones siguientes. (Evalúe los límites correspondientes como en los dos ejercicios anteriores) 108. f() = f() = f() = f() = Continuidad si f() = ; En = si > si f() = ; En = 2 3 si = si f() = ; En = 1 5 si = si f() = si 3 < < 2 ; + 4 si 2 En = 3; = 2 sen()+2 cos() 1 si < π 118. f() = 2 si = π ; En = π 2π π si > π Indique los intervalos donde la función dada es contínua. Determine si la función dada es contínua en los valores de indicados. En cada caso analice todas las condiciones de la definición de continuidad 112. f() = +1 1 ; En = si f() = si 2 < < 1 ; + 1 si 1 En = 2; = g(t) = 4 t h(u) = u 3 u 3 4u 121. r(s) = s2 2 s f(t) = t 1 t 2 2t p() = f() = si si = 1 ; 6

8 Utilice el Teorema del Valor intermedio, para demostrar que las siguientes ecuaciones tienen por lo menos una solución en el intervalo dado = 0. En [ 2, 1] = 3. En [1, 2] 127. sen() + cos() =. En [0, π 2 ] e 2 = 0. En [ 1, 0] 129. ln() = 2 2. En [1, e] 5. Derivadas Utilizando la definición halle la derivada de: 130. f() = f() = f() = f() = f() = Utilizando las propiedades de las derivadas, halle la derivada de: 135. y = y = 2 ( 3 1) y = y = y = (2 1) 140. y = y = 2 sen() 142. y = ( 3 + )e 143. y = (2 2 3) sin() 144. y = ln() y = e sen() 146. y = 4 tan() 147. y = 2 sec() 148. y = ( 2 + 3) y = y = sen( 2 + 4) 151. y = 3 sen(2) y = cos( 4 + 8) 153. y = tan((5 3) 3 ) 154. y = sen 2 (4) 155. y = cos 3 ( 2 + 2) 156. y = e 2 +3 sen(2 1) 157. y = ln(2 +3) y = y = sec 2 (e ) 160. y = sen 5 (cos(5)) 161. y = 2 e 2 +3 Halle la segunda derivada de las funciones definidas por: 162. y = y = sen( 3 ) 164. y = e y = Halle la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación dada en el punto dado: 7

9 166. y = en (1, 2) 167. y = + 1 en (3, 2) 168. y = en (1, 1) 169. y = sen() en ( π 2, π 2 ) Utilizando derivación implícita halle dy d : y 3 = y = y+1 = y 173. y cos + cos y = y + y = 8 Halle la pendiente de la recta tangente a la curva definida por la ecuación dada en el punto dado: y 2 = 13 en (2, 3) y + y 3 = 2 en (1, 1) sen(y) = en (1, π) 178. y + sen(πy) = 2 en (2, 1) Utilizando derivación logarítmica halle dy d en: 179. y = 3 ( 2 +1) 4 (2 1) y = 3 e sen 5 () 181. y = 182. y = sen() 183. y = (sen( 2 + 3)) y = (ln( )) 3 6. Razón de cambio 185. Los lados de un cuadrado aumentan a razón de 10cm/s. Determine la razón a la que cambia el área cuando el lado mide 20cm 186. El radio de un círculo disminuye a una razón de 5cm/s. Determine la razón a la que cambia el área del ciŕculo cuando el radio mide 40cm La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles decrece a una razón de 4 m s a) A qué razón están cambiando los lados iguales del triángulo cuando éstos tienen 5m de longitud? b) Con qué rapidez está cambiando el área del triángulo cuando los lados iguales miden 5m? 188. Los lados de un rectángulo están aumentando de tal forma que su base crece a razón de 5 cm s y su altura crece a razón de 3 cm s a) Determine la rapidez con que crece el área del rectángulo cuando su base mide 8cm y su altura 10cm b) Determine la rapidez con que crece la diagonal del rectángulo cuando su base mide 8cm y su altura 10cm 189. Una cometa que está a 30m del suelo se mueve horizontalmente a una velocidad de 3 m s. Con qué razón disminuye el ángulo entre el cordel y la horizontal cuando se han soltado 60m de cordel? 190. Desde un tubo se deja caer arena a razón de 20 m3 min formando un montón de forma cónica. Si la altura del montón es cuatro veces el radio de la base, con qué rapidez 8

10 aumenta la altura, cuando el montón tiene 16m de alto? 191. Un niˆno de 1 metro de estatura se acerca a un poste de alumbrado público de 4 metros de altura a una razón de 3 m s, A qué razón disminuye la sombra del niˆno cuando éste se encuentra a 5 metros del poste? 192. Una escalera de 15 metros de largo está apoyada contra una pared. Si la parte inferior de la escalera se desliza alejándose m s de la pared a una razón de 1 3. Qué tan rápido resbala la parte superior de la escalera cuando ésta se encuentra a 5 m del suelo? 193. Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas circulares concéntricas cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda eterior tiene un radio de 3m, éste aumenta a una velocidad de 50 cm s. A qué velocidad aumenta el área del círculo formado por dicha onda? 194. A un depósito cilíndrico de base circular y 50dm de radio, le está entrando agua a razón de 25 dm3 s. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua Dos barcos salen simultáneamente de un puerto; uno viaja hacia el sur a una velocidad de 30 km h y el otro hacia el este a una velocidad de 40 km h. Después de 2h, cuál es la velocidad con la que se separan los dos barcos? 196. Un hombre está parado en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos están a 3m por encima del amarre de la lancha. Cuando la lancha está a 4m del muelle, el hombre está jalando la cuerda a una velocidad de 80 cm s. A qué velocidad se aproima la lancha al muelle? 197. Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto con el vértice hacia abajo y la longitud de su altura es el doble de la de su diámetro. Al recipiente le está entrando agua con una rapidez constante, por lo que la profundidad del agua va en aumento. Cuando la profundidad es de 1m, la superficie sube a razón de 1cm por minuto. Con qué rapidez le está entrando agua al recipiente? 198. Un incendio forestal se propaga en la forma de un círculo cuyo radio cambia a razón de 1 m 4 min. A qué razón está creciendo el área de la región incendiada cuando el radio alcanza 60m? 199. Dos automviles parten del mismo punto, uno viaja hacia el sur a 60 km h y el otro hacia al oeste a 25 km h Con qu razón aumenta la distancia entre los dos automóviles 2h más tarde? 7. Trazado de curvas Determine si el Teorema del Valor Medio es aplicable a la función definida por la ecuación dada en el intervalo dado. En caso afirmativo determine un valor de que verifique el teorema f() = , [0, 1] 201. f() = 3 12, [1, 3] 202. f() = 5, [1, 25] Determine si el Teorema de Rolle es aplicable a la función definida por la ecuación dada en el intervalo dado. En caso afirmativo determine un valor de que verifique el teorema f() = , [0, 3] 204. f() = 3 4, [ 2, 2] 9

11 205. f() = cos(5), [ π 10, 3π 10 ] Determine los intervalos donde la función es creciente y los intervalos donde la función es decreciente. Represente en el mismo plano la función y su derivada f() = f() = 3 12 Determine los intervalos donde la función es creciente y los intervalos donde la función es decreciente f() = f() = sen(2) en [0, π] 210. Trace la gráfica de una función contínua que tenga un mínimo absoluto en = 1, f () = 0 en = 2, = 3 y un máimo absoluto en = 5 Trace la gráfica de las funciones definidas por las ecuaciones dadas indicando: a) Intervalos donde la función es creciente. b) Intervalos donde la función es decreciente. c) Puntos máimos y mínimos. d) Intervalos donde la función es cóncava hacia arriba. e) Intervalos donde la función es cóncava hacia abajo. f ) Puntos de infleión f() = ff() = f() = f() = f() = f() = ( 9)( + 9) f() = + sen() en el intervalo [0, 2π] 218. f() = cos() en el intervalo [0, 2π] 219. f() = f() = f() = f() = f() = Máimos y mínimos 224. Halle dos números reales positivos cuya suma sea 80 y su producto sea máimo Un agricultor tiene 1000m de alambre para cercar un terreno rectangular, el cual está limitado por un río en uno de sus lados. Si el lado que está en el borde del río no necesita alambre, determine las dimensiones de los lados del rectángulo de mayor área que puede cercar Se vá a construír una caja sin tapa (paralelepípedo rectangular) a partir de una lámina rectangular de cartón de 60 cm de largo por 40 cm de ancho cortando cuadrados en las esquinas. Determine las dimensiones de la caja de máimo volumen Se vá a fabricar un recipiente con la forma de un cilindro circular recto, teniendo en cuenta que el material de la base y el techo tiene un costo de $2 por cm 2 y el material de la parte lateral tiene un costo de $4 por cm 2. Determine las dimensiones del cilindro de mayor volumen que se puede fabricar si se dispone de $1000 para comprar el material. 10

12 228. Determine las dimensiones del rectángulo de menor perímetro cuya área es de 25 m Un rectángulo tiene sus dos vértices inferiores en el eje X y los dos vértices superiores en la parábola y = Cuáles son las dimensiones del rectángulo de mayor área? 230. Determine las dimensiones de un cilindro circular recto que tiene un volumen de 1000cm 3 de tal forma que el material utilizado en su fabricación sea mínimo Un pescador está en el mar en un bote a 3km de la orilla y desea viajar a un muelle que se encuentra en la orilla a 7km del bote. El pescador rema a una velocidad de 2km/h y corre en tierra a una velocidad de 3km/h. En qué punto de la orilla debe dejar el bote para llegar al muelle en el menor tiempo posible? 232. Los márgenes superior e inferior de un cartel son de 8cm y los márgenes laterales son de 5cm. Si el área de impresión del cartel debe ser de 400cm 2. Encuentre las dimensiones del cartel con menor área Un alambre de 80cm debe cortarse en dos partes, una para formar un cuadrado y la otra para una círculo. Cómo debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas del cuadrado y el círculo sea mínima? 234. Determine las dimensiones y el área máima de un rectángulo inscrito en un triángulo equilátero con lados de longitud 1m. (Ver figura) 9. Regla de L Hopital Utilizando la regla de L Hopital, evalúe los siguientes lmites: 235. lím lím cos(2) lím π π sin(4) 238. lím lím cos(π) lím lím 1 sin(π) cos(π)+ 1 cos(5) 242. lím lím ( ) ln() lím 3+3 e 245. lím e 0 sen(2) 246. lím lím

13 ln(cos(5)) 248. lím 0 ln(cos(7)) e 249. lím e 2 0 sen() 250. lím 0 sin()) 1 cos() 251. lím ( ) 1 0 ln(1+) lím (sin()) 0 ) 253. lím ( lím (2 1)