Técnicas de Integración, preparado por: Gil Sandro Gómez

Transcripción

1 Tema II. Técnicas de Integración. Integración por partes. La integración por partes surge del producto de una función trascendente y una algebraica, una inversa trigonométrica y una algébrica, una trigonométrica y una algebraica, una trascendente y una trigonométrica, una inversa trigonométrica sola y una logarítmica sola. Teorema 9. Integración por partes. Sean u y v funciones de y tienen derivadas continuas, entonces, udv uv vdu c Demostración: Sea uv ~ () Derivamos la ep resión () : d( uv) udv vdu ~ () Despejando de () : udv d( uv) - vdu ~ (3) Integrando (3) tenemos que : udv duv - vdu c ~ (4) Q. E. D Nota: Cuando estamos frente a una integral por partes, es conveniente seleccionar como dv la parte más complicada, pero de más fácil integración y como u el resto. Luego iniciamos el proceso de integración cuantas veces sea necesario.

2 Regla nemotécnica:. Logarítmica, inversa, algebraica, trigonométrica y eponencial: LIATE.. Irracionales, Logarítmicas, Potenciales, Eponenciales, Trigonométricas: I L P E T. Ejemplos. Resuelva las s iguientes integrales:. e d Hacemos u Derivamos a u : du d dv e d b e d uv vdu c d e d ~ ( ) Integramos a b : e dv e d v Aplicando el métdo de int egración tenemos que : e e c 4 e e

3 . e send Hacemos u sen Derivamos a u : du cos d dv e d ~ ( b) Integramos a ( b) : dv e d v e Técnicas de Integración, preparado por: Gil Sandro Gómez Aplicando el métdo de int egración tenemos que : e send e sen e cos d ~ ( c) Dado que la integral de la derecha es por parte, aplicamos el métdo de nuevo. e cosd e cos e send e cos e send ~ ( d) u cos du sen dv e d dv e dv v e Como se puede obsevar la integral original se repite, porque es cíclica, por tanto sustituímos a (d) en (c) e send e sen e cos e send c e send e send e sen e cos c e send e sen e cos c e sen e cos e send c 3

4 Método Tabular El método tabular hace que las integrales por partes sean bastantes sencillas, en especial en los casos que se tienen que aplicar varias veces. Esta versión particular fue desarrollada por Dan Rosen en la Universidad Hofstra. Procedimiento: Para calcular fgd, construimos una tabla, en la que obtenemos las funciones en la columna D por diferenciar repetidamente la función f, y las en la columna I por integrar repetidamente la función g. Los signos van alternándose. Signos D I f g Df I ( g) D f I ( g) n D f n I ( g) Se continúa este proceso hasta que: La función a la izquierda se convierta en cero (en caso que sea un polinomio. El producto de las funciones en el último reglón se pueda integrar. 4

5 El producto de las funciones sea un múltiplo constante del producto de las funciones en el primer reglón. Este método funciona bien para las integrales del tipo: n n n a cos ad, senad, e d Ejemplo. Resuelva la integral dada utilizando el método tabular. 3 3 e d e 3 e 6e 6e C Signos u y sus derivadas dv y sus int egrales e e e e e Integrales Trigonométricas En el campo de la Física, Ingeniería y la Química nos encontramos con aplicaciones de integrales, cuyas funciones son trigonométricas. Las más usuales son de los tipos: m n m n sen cos d y sec tan d Integrales que contienen potencias de senos y cosenos. Si la potencia del seno es impar y positiva, conservar un factor seno y pasar los factores restantes a cosenos. Entonces, desarrollar e integrar. k n k m n k n k n sen cos d sen cos d sen cos send n sen cos send cos cos send 5

6 . Si la potencia del coseno es impar y positiva, conservar un factor coseno y pasar los factores restantes a senos. Entonces, desarrollar e integrar. k m m m n m k m k sen cos d sen cos d sen cos cos d cos cossen d sen sen cos d k 3. Si las potencias de ambos son pares y no negativas, usar repetidamente las identidades. cos cos sen y cos para convertir el integrando a potencias impares del coseno. Luego proceda como en el caso. Ejemplo 4. Calcule el integral dado. sen cos 5 3 d Sacamos un factor coseno y lo otro lo convertimos en seno: sen cos cos d sen ( s en ) cos d ( sen cos sen cos ) d u u sen cosd sen cosd u du u du C Hacemos : 6 7 sen sen C 6 7 u sen du cos d Ejemplo 5. Halle el integral dado sen cos d ~ () Aplicamos la identidad del ángulo duplo : cos cos sen ~ (),cos ~ (3) 6

7 Sustituyendo () y (3) en () tenemos que : cos cos cos ( cos d d ) d ~ (4) 4 4 Utilizamos la identidad del ángulo duplo otra vez: cos 4 Sust. (5) en (4): cos ~ (5) ( cos4 cos4 cos4 ) 4 ( d 4 ) d 4 ( 4 ) d 4 cos4 4 ( 4 ) d 4 8 d 8 cos 4d 8 3 cos zdz sen 8 3 C Hacemos z 4 dz 4d De a hí que : d dz 4 Integrales que contienen potencias de secante y tangente Caso. Si la potencia de la secante es par y positiva, conservar un factor secante cuadrado y c onvertir los factores restantes en tangente. Entonces desarrollar e integrar. k n k n k n sec tan d (sec ) tan sec d ( tan ) tan sec d Caso. Si la potencia de la secante es impar y positiva, conservar un factor secante-tangente y convertir los factores restantes en secante. Entonces desarrollar e integrar. m k m k m k sec tan sec (tan ) sec tan sec (sec ) sec tan d d d Caso 3. Si no hay factores secantes y la potencia de la tangente es par y positiva, convertir un factor tangente cuadrado a secante cuadrado. Luego desarrollar y repetir si es necesario. 7

8 n n tan tan n (tan ) tan (sec ) d d d Caso 4. Si la integral es de la forma impar y positiva, usar la integración por partes. sec m d donde m es Caso 5. Si ninguna de las cuatro guías aplica, intentar convertir el integrando en senos y cosenos. Ejemplo 6. Resuelva el siguiente integral. 4 tan sec d tan sec sec d tan ( tan )sec d 4 4 (tan sec tan sec ) d tan sec d tan sec d ~ ( a) Hacemos : u tan du sec d ~ ( b) Sustituyendo ( b) en ( a) : u u tan tan u du u du C C Ejemplo 7. Calcule el integral. 3 3 tan sec tan sec sec tan (sec )sec sec tan d d d 4 4 (sec sec tan sec sec tan ) d sec sec tan d sec tan sec d ~ ( a) Hacemos : u sec du sec tan d ~ ( b) Sustituyendo ( b) en ( a) : u u sec sec u du u du C C

9 Integrales que contienen los productos seno -coseno de ángulos distintos. Las integrales que contienen los productos de ángulos diferentes ocurren en muchas aplicaciones. En tales casos utilizar las identidades de sumas y productos. senmsenn (cos[ m n] cos[ m n] ) senm cos n ( sen[ m n] s en[ m n] ) cos m cos n (cos[ m n] cos[ m n] ) Método de Fracciones Parciales Función racional: es una función que puede epresarse como el cociente de dos polinomios. Es d ecir, P ( ) R ( ) Q ( ) Donde P( ) y Q( ) son polinomios. El método de fracciones parciales es una técnica algebraica que d escompone R ( ) en una suma de términos: P ( ) R( ) p( ) F( ) F( )... Fk ( ) Q ( ) donde p ( ) es un polinomio y F( ) es una epresión que puede integrarse con facilidad. i Descomposición de N()/D() en fracciones simples.. Dividir en caso impropio: Si N()/D() es una fracción impropia (es decir, si el grado de numerador es mayor o 9

10 igual al grado del denominador), dividir el denominador para obtener N ( ) N ( ) p ( ) D( ) D( ) Donde el grado de N ( ) es menor que el grado de D(). Entonces se aplican los pasos, 3 y 4 a l a epresión racional N ( ) D ( ).. Factorizar el denominador: Factorizar completamente el denominador en fracciones de los tipos ( ) m n p q y ( a b c) donde a b c es irreducible 3. Factores lineales: Para cada factor lineal ( p q) m, la descomposición en fracciones simples debe incluir la suma siguiente de m fracciones. A A Am... ( p q) ( p q) ( p q) m 4. Factores cuadráticos: Para cada factor cuadrático ( a b c) n, la descomposición en fracciones simples debe incluir la suma siguiente de n fracciones. B C B C Bn Cn... ( a b c) ( a b c) ( a b c) n 0

11 Factores lineales no repetidos Ejemplo. Encuentre la solución del siguiente integral 5 d Dado que no se puede resolver por una fórmula básica, tenemos que aplicar la técnica de fracciones simples. Ahora procedemos a factorizar el denominador: - ( - )( ) 5 5 d d ( - )( ) Re escribimos el integral: 5 A B d d ~ ( b) ( - )( ) Multiplicamos (b) por ( - )( ) : 5 A( ) B( ) 5 A A B B Aplicando la teoría de los polinomios tenemos que: A+B=- A-B=5 La solución del sistema es: A=3 y B=- Sustituyendo los valores de A y B en (b): 3 3 d d ln ln C -

12 Ejemplo. Factores lineales repetidos Encuentre la solución del integral indicado 3 4 d Pr ocedemos a factorizar el denominador: ( 4 4) ( ) Tenemos que: 3 4 A B C d 3 d ~ () 4 4 ( ) ( Multiplicamos la epresión () por ( ) : 3 4 A( ) B C ( ) 3 4 A( 4 4) B C C 3 4 A 4A 4 A) B C C A C 4A B C 3 4A 4 La solución del sistema es: A=-, B=3 y C= Suatituyendo a A, B y C por sus valores en () tenemos que: 3 d d 3 d 3 ( ) d ln ln C ( ) ( Ejemplo 3. Factores cuadráticos no repetidos Resuelva el siguiente integral d 3 Primero factorizamos el denominador: 4 3 ( )( ) 4 3 ( )( ) ( ) ( ) 4 4 A B C D d d ~ ( a) Multiplicamos 4 4 ( A B)( 3 la epresión (a) por ( )( ) : ) ( C D)( ) 4 A A B B C C D D 3 3 3

13 A C 4 B D 0 A C 4 B D 0 La solución del sistema es: A=0, B=0, C=4 y D=0 Sustituyendo a A, B, C y D por sus valores en (a) 0 4 d d 5 d d 5ln ln C Ejemplo 4. Factores cuadráticos repetidos Evalúe el siguiente integral ( 4 4) d d 4 4 ( 4 4) ( A B C D) Como el denominador es un polinomio que no tiene raíces reales, entonces tenemos: d d ~ ( a) Multiplicamos por 4 la epresión (a): A B C D b 4 4 ( )( 4) ~ ( ) Desarrollamos la epresión (b): A B 4A 4B C D Aplicando la teoría de los polinomios: A=0 B= 4A+C=4 4B+D=4 Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que: A=0, B=, C=4 y D=0 Sust. a A, B, C y D por sus valores en (a): d d arctan ( 4) d arctan ( 4) C 4 d d arctan C

14 Funciones Racionales de Seno y Coseno Sustitución para funciones racionales de seno y coseno Para integrales que contienen funciones racionales de seno y coseno, la sustitución sen z cos tan ~ ( a) hace que cos z z dz, sen y d z z z Demostración: Como cos () cos Despejando el cos tenemos que : cos cos z z z z z z cos z ( ) sec tan ( ) ( ) 4

15 Aplicando la propiedad del seno doble: sen ~ ( c) sen sen cos ~ ( b) cos sen cos tan tan Multiplicando la ec. ( b) por cos cos sen cos cos sec tan Sustituyendo ( a) en ( c) : z sen z De la ecuación (a) tenemos: ar tan z ~ ( d) Derivando ( d) : dz d z Ejemplo. Calcule la siguiente integral d dz dz z z z z z dz sen z z z z dz z z ( z ) dz ( z ) dz ~ ( a) Hacemos u z ~ ( b), entonces tenemos que : du dz ~ ( c) Sustituyendo ( b) y ( c) en ( a) : u u du C u C C C tan( ) tan( ) C C u z 5

16 Formas indeterminadas y Regla de L Hôpital Las formas 0 0 y son llamadas formas indeterminadas porque no garantizan que un límite eiste, ni indica lo que el límite es, si eiste. Teorema del valor medio de Cauchy Sean f y g funci ones deri vabl es en ( ab, ) y continuas ab,. Si g'( ) 0 para todo (, ) ab, entonces ei ste un número c ( a, b) tal que f ( b) f ( a) f '( c) g( b) g( a) g '( c) Teorema. Regla de L Hôpital Sean f y g funci ones deri vabl es en un interval o abi erto ( ab, ) que contiene a c, ecepto posib lemente el propio c. Si el límite de f( ) g ( ) cuando tiende a c produce la forma indeterminada 0 0, entonces, f ( ) f '( ) lim lim c g( ) c g '( ) Supuesto que el límite de la derecha eiste (o es infinito). Este resultado también aplica si el límite de f( ) g ( ) cuando tiende a c produce cualquiera de las formas indeterminadas,, o 6

17 Las formas indeterminadas más comunes son: 0 0 0, 0,0,,,0,,, Ejemplo. Calcule el límite de lim e e e e 0 sen 0sen Podemos observar que la sustitución directa nos lleva a la forma indeterminada, 0 esto nos permite aplicar la Regla de L'H pital: Derivamos el numerador y denominador de forma separada 0 0 e e e e e e 0 lim lim 0 sen 0 cos sen 0cos0 sen Como persiste la indeterminación, tenemos que utilizar el método de nuevo 0 0 e e e e lim 0 sen cos cos 0sen0 cos 0 cos 0 ô Ejemplo. Halle el límite de lim ( ) 0 La sustitución directa nos lleva a una forma indeterminada, pero no nos permite aplicar el teorema de L'Hôpital, por lo que debemos realizar los ajustes necesarios 0 para epresar el límite como o : 0 Sea y= lim ~ () Aplicamos logaritmo en (): ln lny= lim ~ () 7

18 Ahora podemos utilizar el teorema de L'Hôpital lny= lim lim 0 ln y 0 Por el criterio de funciones inversas tenemos que: e lny 0 y e Entonces lim Ejemplo 3. Determine el límite de 0 lim Sea y= lim ~ ( a) El c álculo directo nos da una forma indeterminada, pero ésta no permite aplicar 0 el método, debemos llevarlo a una de las formas o. 0 Aplicamos logaritmo en ( a): 0 lny= lim ln ~ ( b) Utilizando las propiedades de los logaritmos en (b): lny= lim ln ln( 0) ln( ) ln 0 De ahí lim Ahora usamos el método: ln y lim 0 0 ln y Por definición de función inversa tenemos que: e e lny y e Entonces lim e 0 8

19 Ejemplo 4. Encuentre el límite de lim ln lim ln ln 0 0 Re escribimos la epresión para que nos de una de las formas que nos permite usar la regla de L'Hôpital: ln ( ) ln ( ) 0 lim lim ln ( )ln ( )ln 0 Ahora aplicamos la regla: ln () 0 lim lim lim lim ( )ln ln ln ln 0 ln Utilizamos el método de nuevo: 4 4 4() 3 lim lim ln ln ln Integrales Impropias. b Definición. Sea f ( ) d a, donde el intervalo de integración es infinito ( a o b es ), o la función f :( a, b) no es acotada, se denomina integral impropia. Definición de integrales impropias con lίmites de integración infinitos.. Si f es continua en el int ervalo a,, entonces a f ( ) d lim f ( ) d b. Si f es continua en el int ervalo -, b, entonces b f ( ) d lim f ( ) d a 3. Si f es continua en el int ervalo c c b a b a f ( ) d f ( ) d f ( ) d -,, entonces 9

20 donde c es cualquier número real Técnicas de Integración, preparado por: Gil Sandro Gómez En los primeros dos casos, la integral impropia converge si el límite eiste, en caso contrario, la integral impropia diverge. En el tercer caso, la integral impr opia a la izquierda diverge si cualquiera de las integrales impropias a la derecha divergen. Integrales impropias con discontinuidades infinitas Definición de integrales impropias con discontinuidades infinitas.. Si f es continua en el int ervalo a, b y tiene una discontinuidad inf inita en b, entonces b a f ( ) d lim f ( ) d cb c a. Si f es continua en el int ervalo a, b y tiene una discontinuidad inf inita en a, entonces b a f ( ) d lim f ( ) d ca c b 3. Si f es continua en el int ervalo a, b, ecepto para a lg ún c en a, b en que f tiene una discontinuidad inf inita, entonces b c b f ( ) d f ( ) d f ( ) d a a c En los primeros dos casos, la integral impropia converge si el límite eiste, de otra forma, la integral impropia diverge. En el tercer caso, la integral impropia en la izquierda diverge si alguna de las integrales impropias a la derecha diverge. Teorema. Un tipo especial de integral impropia. d p p diverge si p si 0