Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería Industrial Curso: Matemática II Guía 3 - Solucionario

Transcripción

1 Ciclo:01- Tema: Integrales Indefinidas (Ejercicios Adicionales) En los siguientes ejercicios calcule la integral indefinida por cualquier método de los vistos en clase: 1. xe x Haciendo [u x, dv e x ] [du, v e x ]. xe x uv vdu xe x e x xe x e x + C. (arctan x) Haciendo [u arctan x, dv ] [du 1, v x]. 1 + x (arctan x) uv vdu x x arctan x 1 + x x arctan x 1 da [a 1 + x da x] a x arctan x 1 ln a + C x arctan x 1 ln (1 + x ) + C. ln x Por partes o inmediatamente se llega a: ln x xln(x) x + C 1

2 Ciclo:01-. z ln z dz Haciendo [u z, dv ln(z)dz] [du z dz, v z ln(z) z]. z ln zdz uv vdu z (z ln z z) (z ln z z)z dz z (z ln z z) z ln zdz + z dz ( ) z z (z ln z z) z ln zdz + + C, luego: ( z ln zdz z (z ln z z) + z ln z C z + ) + C ( ) 16 ln z 1 z + C w ln w dw Haciendo [u w, dv ln(w)dw] [du dw, v w ln w w]. w ln wdw uv vdu w(w ln w w) (w ln w w)dw w ln w w w ln(w)dw + wdw w ln wdw w ln w w + w + C w ln wdw w ( ln w 1) + C

3 Ciclo:01-6. csc x csc x csc x csc x csc x(1 + cot x) csc x + csc x cot x cot x csc x cot x csc x csc x [u cot x, dv csc x cot x] [du csc x, v csc x], luego: csc cot x csc x + ln(cot x + csc x) x + C 7. x sin x [ Por partes u x, dv sin x 1 cos(x) ] [ du, v x sin x uv vdu ( ) x sin(x) x sin(x) x ( ) x sin(x) x x cos(x) + C 8 x x sin(x) cos(x) + C 8 ] x sin(x).

4 Ciclo:01-8. x e x Por partes [u x, dv e x ] [du x, v e x ]. x e x uv vdu x e x xe x x e x (xe x e x ) [u x, dv e x du, v e x ] x e x (xe x e x ) + C e x (x x + ) + C 9. ln x Por sustitución [u ln x] [x e u, e u du]. ln x u e u du e u (u u + ) + C [Ejercicio 8] x(ln x ln x + ) + C 10. e t cos t dt Por partes [u cos t, dv e t dt] [du sin tdt, v e t ].

5 Ciclo:01- e t cos tdt uv vdu e t cos t + e t sin tdt e t cos t + e t sin t e t cos tdt e t cos tdt et cos t + e t sin t + C [u sin t, dv e t dt du cos tdt, v e t 11. (ln x) Primero se hace la sustitución [y ln x] [x e y, e y dy]. ln x y e y dy y e y y e y dy [Partes:u y, dv e y dy du y, v e y ] y e y e y (y y + ) + C [Ejercicio 8] x ln x x(ln x ln x + ) + C 1. tan x dy La integral es con respecto a y, entonces tan x dy tan x dy tan x [y + C] 1. x x + Por partes u x, dv x + [du, v (x + )/ ]. 5

6 Ciclo:01- x x + uv vdu ( ) x (x + )/ (x + )/ ( ) x (x + )/ 15 (x + )5/ + C (x + )/ ( x 5 (x + ) ) + C 1. 1 x x Por sustitución trigonométrica [x sin θ] [ cos θdθ]. 1 x 1 sin θ cos θdθ x sin θ cos θ cos θdθ sin θ cos θ sin θ dθ 1 sin θ dθ sin θ (csc θ sin θ)dθ 15. (x + 9) / ln csc θ + cot θ + cos θ + C ln 1 1 x x + x + 1 x + C [Hacer triángulo] Por sustitución trigonométrica [x tan θ] [ sec θdθ]. 6

7 Ciclo:01- (x + 9) sec θdθ / (9 tan θ + 9) / sec θdθ (9 sec θ) / sec θdθ sec θ cos θdθ 16. x x sin θ + C x 9 + C [Hacer triángulo] x + 9 Por sustitución trigonométrica [x sec θ] [ sec θ tan θdθ]. x x 16 sec θ tan θdθ 16 sec θ 16 sec θ 16 tan θdθ 16 sec θ tan θ dθ 16 sec θ cos θdθ 16 sin θ 16 + C x 16 + C 16x 17. t dt t Por sustitución trigonométrica [t sec θ] [dt sec θ tan θdθ]. 7

8 Ciclo:01- t sec θ dt sec θ tan θdθ 1 tan θ tan θdθ t 8 sec θ sec θ 1 tan θ sec θ dθ 1 sec θ 1 dθ 1 (1 cos θ)dθ 1 ( cos θ)dθ sec θ (θ sin θ) + C 1 ( sec 1 (t/) ) t + C [Hacer triángulo] t Luego, t dt 1 ( sec 1 (t/) ) t 5 t t ( ) 1 sec 1 (5/) 1 5 x x 6x + 18 ( x 1 x 6 x 6x + 18 x 6x ) x 6x + 18 ln x 6x ( x ) C ln x 6x sec t 9 tan t + 1 dt + C [ ] x tan t sec tdt ln x 6x sec t sec t dt + C ln x 6x t + C ln x 6x tan 1 ( x ) + C 8

9 Ciclo:01- [ x 1 x 6x + 18 ln x 6x ( x tan 1 ( 6 ) [ ( 6 ln tan 1 )] 6 ) tan 1 ( )] 9