Ejercicios Departamental de marzo del 2016

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Paula Villalba Arroyo
hace 7 años
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1 Ejercicios Departamental 06 Ciro Fabián Bermúez Márquez 7 de marzo del 06

2 El siguiente documento tiene la finalidad de revisar los ejercicios del eamen departamental de cálculo integral que se llevo acabo el día 7 de marzo del 06.. Resuelva por el método de integración por partes: ln ) ) Cuando se realiza integración por partes usualmente se escoge como u la función logaritmo natural, sin embargo analizando su derivada nos damos cuenta que seria mucho mas fácil si tomáramos la función junto con su eponente, de esta manera tomamos dv la cual es sencilla de integrar. La estructura es la siguiente: u ln ) dv du ln v Por consiguiente: ln ) ln ) ln ) ln ) ln ) + C 3) ln ) ln + + C 4). Resuelva la siguiente integral trigonométrica: sin 3 t cos 3 tdt 5) Para resolver integrales trigonométricas que se componen de dos funciones es necesario saber que normalmente se escoge una función f) a la cual llamaremos función principal de tal manera que la otra función g) la nombraremos función esclava. El primer paso es descomponer la función esclava de tal manera que aparezca la derivada de la función principal, después se busca pasar el resto de la función esclava a términos de la función principal. Elegimos como función principal a sin y como función esclava a cos, utilizamos la propiedad pitagórica para pasar la función esclava a términos de la función principal, sin + cos, y descomponiendo la función esclava obtenemos: sin 3 t cos 3 t dt sin 3 t cos t cos t dt 6) sin 3 t sin t ) cos t dt 7) sin 3 t sin 5 t ) cos t dt 8) Utilizando como sustitución: w sin t dw cos t dt

3 3 sin 3 t cos 3 t dt sin 3 t sin 5 t ) cos t dt ) w 3 w 5) dw 0) w 3 dw w 5 dw ) w4 4 w6 6 + C ) sin 4 4 sin6 6 + C 3) 3. Evalue la integral definida usando una sustitución trigonométrica. ) 3 Para resolver este tipo de integrales lo primero que hay que hacer es plantear un triángulo rectángulo, inmediatamente analizando la función nos percatamos de cuál es la hipotenusa y la fijamos, en este caso es 3, ahora bien, a sabiendas que para este método de integración las únicas sustituciones factibles son: sin θ, tan θ o sec θ, esto debido a que sus derivadas no posen signos negativos), se busca elegir alguna de estas sustituciones, el proceso para hacer esto es eligiendo arbitrariamente los catetos de manera que alguna de las sustituciones anteriores se acomode. 4) Anteriormente hemos fijado como hipotenusa al 3, sin embargo, ahora necesitamos elegir de manera correcta los catetos para poder realizar la sustitución, imaginemos por un momento que el cateto opuesto es, por lo tanto el cateto adyacente seria, y forzosamente tendríamos que elegir la función sec θ de modo que sec θ 3, no obstante esta sustitución es inútil porque de ninguna manera facilita el resolver la integral, entonces simplemente invertimos los catetos y obtenemos que sin θ 3, entonces 3 sin θ y. Figura : Triangulo Resolviendo primero la integral indefinida y realizando la sustitución trigonométrica: ) 3 3 sin θ) ) 3 5) sin θ ) 3 6) sin θ )) 3 7) cos θ) 3 8)

4 4 3 3 cos 3 ) θ sec θdθ 0) tan θ ) Regresando a la variable original ayudándonos de nuestro triángulo: tan θ ) Evaluando en nuestros límites de integración: Entonces: ) 3) ) 3 5 ) 8 4) 4. Use fracciones parciales para evaluar 3 3 5) Se trata de un caso de fracciones parciales en el que la función del denominador tiene mayor grado que la del numerador, ademas aparecen factores lineales que se repiten, entonces únicamente trabajando con la función: Si multiplicamos de ambos lados por ): 3 ) A + B + C 6) A ) + B ) + C 7) A A + B B + C 8) A + C) + A + B) B ) De donde se puede deducir que: A, B y C. Entonces: ) )

5 5 Integrando de ambos lados: ) + + 3) ) ln + ln 3) Evaluando en los limites de integración: [ ln + ] 3 + ln ln Resuelva la siguiente integral: 33) + 3 Utilizando sustitución por racionalización obtenemos los siguiente: Entonces la integral nos queda de la forma: w 3 3w dw w w 5 dw 34) w + Aplicando el caso mas clásico de fracciones parciales, es decir, cuando nos encontramos con una fracción propia, realizamos la división de polinomios: + ) La integral se reescribe de la siguiente forma: 3 w 5 [ w + dw 3 w 4 dw w 3 dw + w dw wdw + dw ] dw w + 35) Resolviendo: Se deja al estudiante para que sienta el rigor...

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