TEMA 3. TRIGONOMETRÍA

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1 TEMA 3. TRIGONOMETRÍA Este documento tiene como propósito que conozcas las funciones trigonométricas y las reglas que los norman. Para facilitar la comprensión del tema, se incluyen algunos ejemplos. Subtema 3.1 Funciones Trigonométricas: Triangulo Rectángulo y Círculo Unitario Transformación de grados en radianes y viceversa. Las dos medidas de ángulos más frecuentes son los grados y los radianes. En media circunferencia lo mismo caben que veces el radio, es decir, radianes = Mediante una regla de tres pueden deducirse las siguientes fórmulas de transformación: Por ejemplo: θ grados = 180 θ rad θ rad = 180 θ grados 15 0 = 15 ( 180 ) rad = 1 rad 3 rad = 3 (180 ) grados = 600 1

2 Ángulos alternos internos Cuando rectas paralelas son cruzadas por una recta oblicua los ángulos alternos internos son iguales como en la figura. Ángulos complementarios y suplementarios Dos ángulos se llaman complementarios si suman 90 0 o. Por ejemplo los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, en la siguiente figura se puede observar que 30 0 y 60 0 suman 90 0 Se llaman ángulos suplementarios a los que suman Ángulos suplementarios: = 180 0

3 Definición de las funciones trigonométricas: triangulo rectángulo. Los triángulos rectángulos cumplen el teorema de Pitágoras y poseen otras regularidades denominadas funciones trigonométricas mismas que se enuncian a continuación. Teorema de Pitágoras: La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la otensa. (op) + (ady) = () Definiciones sen θ = op cos θ = ady tan θ = op ady cot θ = ady op sec θ = ady csc θ = op Funciones trigonométricas para θ > 90 0 y ángulos negativos Para las funciones trigonométricas para ángulos mayores de 90 0 o para ángulos negativos se definen en términos del círculo unitario (radio = 1). 3

4 Ángulos Especiales La siguiente tabla contiene los valores del seno y coseno de los llamados ángulos especiales que pueden deducirse de los triángulos mostrados y del círculo unitario. Grados 0º 30º 45º 60º 90º 180º 70º 360º Radianes 0 /6 /4 /3 / 3 Seno Coseno Funciones inversas Para triángulos rectángulos donde 0 θ / se definen las funciones trigonometricas inversas mediante las siguientes reglas. y = sen θ θ = sen 1 y o bien θ = arcsen y y = cos θ θ = cos 1 y o bien θ = arccos y y = tan θ θ = tan 1 y o bien θ = arctan y Y análogamente la otras. 4

5 A continuación se presentan algunos ejemplos: EJEMPLO 1. Obtenga convierta de radianes a grados o de grados a radianes según sea el caso. a) 75 0 a radianes b) rad a grados 5 a) 75 0 = 75 ( 180 ) rad = 5 1 rad b) rad = 5 5 (180 ) grados = 360 EJEMPLO. Obtenga el complementario y el suplementario de El complementario de 70 0 es 0 0 porque = 90 0 El suplementario de 70 0 es porque = EJEMPLO 3. Obtenga los valores de todas las funciones trigonométricas del ángulo que se muestra. Se puede conocer el lado adyacente a partir del teorema de Pitagoras: (ady) + = 5 ady = 1 5

6 sen θ = op = 5, ady cos θ = = 1 5, tan θ = op =, ady 1 cot θ = ady = 1, sec θ = = 5, op ady 1 csc θ = = 5 op EJEMPLO 4. Obtenga los valores de x y y. Se sabe que sen 30 o = 1 y de la figura sen 30o = 4 x entonces 1 = 4 x x = 8 Se sabe que tan 30 o = 1/ 3 y de la figura tan 30 o = 4 y entonces 1 3 = 4 y y = 4 3 Respuesta x = 8, y = 4 3 EJEMPLO 5. Si cos θ = 5 obtenga los valores de la otras 5 funciones. A partir de cos θ = 5 puede construirse la siguiente figura. El lado opuesto es op = 5 = 1 Entonces 6

7 sen θ = 1 1, tan θ = 5, cot θ =, sec θ = 5 5, csc θ =, 1 1 EJEMPLO 6. Si sen θ = obtenga θ en grados y en radianes θ = arcsen. Por definición de arcoseno. θ = Por valores en ángulos especiales. θ =. Observando tabla de conversiones 4 7