Chapter 1 Integrales irracionales

Transcripción

1 Chapte Integales iacionales. Del tipo R R(, (a + b) m,..., (a + b) y z )d Se esuelven mediante el siguiente cambio de vaiable a + b = t n donde n = m.c.m(,,..., z) Difeenciando tendemos ad = nt n dt d = ntn dt a Convitiéndose la integal en una polinómica o acional en t Ejemplos: ) d ( +) ( +) d = = t d =tdt t t(t +) dt = dt =ln t + + C (t +) Deshaciendo el cambio de vaiable (Si = t ; entonces t = ). Con lo que: d =ln + + C ( +) ) + d + d = +t )dt = = t (ya que =mcm(, )) d =t 5 dt t 4 t t + t 4 t5 dt = dt = (t 5 t 4 + t t + t + +t =( t t5 5 + t4 4 t + t t +ln +t + C Deshaciendo el cambio de vaiable (Si = t ; entonces t = ). Con lo que: + d = ln + + C

2 Chapte Integales iacionales. Del tipo R(, µ m a + b c + e µ y a + b z,..., )d c + e Se esuelven mediante el siguiente cambio de vaiable a + b c + e = tn donde n = m.c.m(,,..., z) Despejando tendemos: a + b =(c + e) t n = e tn b a c t n e n t n (a c t n )+c n t n (e t n b) Difeenciando d = (a ct n ) dt Convitiéndose la integal en una polinómica o acional en t Ejemplos: ) d d = +=t = t d =tdt µ t dt = t + t + dt =(t ln +t )+C Deshaciendo el cambio de vaiable ++ d =( + ln + +)+C + + ) d + +=t = t t t d = + t = (t )t dt + t 4 dt = µ t 9 9 t Deshaciendo el cambio de vaiable + + d = ( +) + + ) + d t 5 dt = d =t 5 dt t t t t 5 dt + t t5 dt = + t5 5 + C q ( +) 5 + C

3 Section. Del tipo R(, µ m µ y a + b a + b z,..., )d c + e c + e + = t = t d = t dt (t ) + d = t t dt = t t dt (t ) (t ) Esta integal se puede esolve po pates u = t dv = du = dt t (t ) dt v = = t = t t t dt = (t ) (t ) (t +) = t t (t ) dt = t (t ) dt + t t dt = (t +) dt = t t + ln Deshaciendo el cambio de vaiable y teniendo pesente que t = : t + t + C + + d = ln + C = + (+)+ = + + ln + C = (+) = + + ln ³ p( +)+ + C = + + ln C Conloque + d = p + + ln p C Nota:También se puede esolve de la siguiente manea + + d = d = = + d + + d = + + d = Como (t ) (t +) = (t ) (t +) Si acionalizamos (+)+ ³p = ( +)+ (+)

4 Chapte Integales iacionales = + + d + + d = = µ + + d + + d = + + J Resolvamos pues J J = + d = 4 +4 d = d = = p ( +) d =ln p ++ ( +) + C Conloque + d = p + + ln p ++ ( + ) + C 0 4

5 Section. Integales del tipo. Integales del tipo R(, a ± b )d, R(, a ± b )d, R(, b a)d R(, b a)d Paa esolve estas integales númeos eales positivos R(, a ± b )d, R(, b a)d donde a, b son Integales Cambio de vaiable R(, a a b )d = sin t b R(, a a + b )d = tan t b R(, a b a)d = sec t b ) 4+ d ; =tant d =sec tdt Conloque 4+ d = 4tan t 4+4tan t sec tdt Teniendo pesente que +tan t =sec t; tendemos = 8tan t sec t sec tdt= sec t 4 tan t dt = = cos t 4 sin dt = cos t t 4 sin dt = cos t t 4 sin t dt = cos t cos t = cos t sin tdt= 4 4 sin t + C = 4 csc t + C Teniendo pesente que =tant y que csc t = +cot t = + 4 = +4entonces 4+ d = +4 + C 4 ) d =sint d =costdt p d = sin t cos tdt= cos tdt Como cos t = ( + cos t) entonces cos tdt= ( + cos t) dt = t + sin t + C 5 + tan t =

6 Chapte Integales iacionales Si utilizas que sin t =sint cos t entonces cos tdt= (t +sint cos t)+c Deshaciendo el cambio de vaiable =sint y teniendo en cuenta que cos t = t =acsin d = acsin + + C Nota: Esta integal también se puede esolve po pates.fíjate que es más sencilla I = d f() = f 0 () = g 0 () = g() = d = d Obseva detenidamente las tansfomaciones a ealiza d = Como cíclica o de etono = d + = A A = A;entonces Despejando I; obtendemos que d = d d +acsin +C = y de esta foma tenemos una integal I = I +acsin +C p d = ³acsin + p + C I = ) d ( 4) =sect d =sect tan tdt 4sec t d = sect tan tdt= ( 4) (4 sec t 4) Como sec t =tan t entonces 4sec t 4sec t sect tan tdt= sect tan tdt= (4 sec t 4) (4 tan t)

7 Section. Integales del tipo R(, a ± b )d, R(, b a)d = sec t tan t dt = cos t sin t cos t dt = cos t sin t dt Esta integal es impa en cos t Realizamos el cambio sin t = u cos t = u du t =acsinu dt = Con lo que u cos t sin t dt = du ( u ) u = du ( u ) u = (u ) du + (u +) du + u du = = ln (u ) + ln (u +) u + C = (u+) ln (u ) u + C = Si deshacemos el último cambio de vaiable efectuado (u =sint); tendemos = ln (+sin t) ( +sin t) sin t + C Si deshacemos el pime cambio =sect y teniendo pesente que sin t = cos t = sec t = 4 p = ( 4) Entonces la integal quedaá así p d = ( 4) ( 4) ln + p ( 4) p ( 4) + C + Simplificando al máimo tendemos ln + ( 4) ( 4) + C ( 4) =4 ln + p ( 4) d =ln + p ( 4) ( 4) ln 4 ( 4) + C p ( 4) + C0 Nota: Esta integal también se puede esolve po pates.fíjate que es más sencilla Como ( u ) u = (u ) + (u+) + u (Compuébalo) q 4 ln + ( 4) q ( 4) =ln +q ( 4) q ( 4) = µ +q ( ln 4) 4 =ln + p ( 4) ln 4 7

8 Chapte Integales iacionales = Vamos a esolvela po pates d = d ( 4) ( 4) f() = f 0 () = g 0 () = g() = d = ( 4) ( 4) ( 4) d = ( 4) + d = + d ( 4) ( 4) ( 4) ³ d = ( 4) +ln ³ ( 4) + + C = = +ln p + ( 4) ln + C ( 4) d = ( 4) + d = + J 5 ( 4) ( 4) ( 4) J = p ( 4) d = d = 4 ³ ³ d =ln + Conloque + C =ln + p ( 4) ln + C 4) 5) ) 7) 8) 9) d =ln + p ( 4) p ( 4) ( 4) + C0 d ; =sint d ; =sint 4 d ; =sint q(4 ) (9 ) d ; =sint 9 d ; =tant q( + ) (4 ) d ; =sint 4 8

9 Section. Integales del tipo R(, a ± b )d, R(, b a)d 0) ) ) ) 4) 5) ) 7) 8) 9) 0) ) ) ) 4) 4 d ; =sint d ; =tant ( + ) 5 (4 + ) d ; =tant 4+ d ; =tant q(9 + ) d ; =sint 9 d ; =sect 4 d ; =sint 4 d ; =tant 4+ d ; =sect 4 4 d ; =sint 9+4 d ; = tan t p d ; =sint (4 ) (9 + d ; =tant ) a + d ; = a tan t d ; = a tan t (a + ) 9