UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 Clave-07--M docx UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Curso: Matemática Intermedia Tipo de examen: Elaborado por Primer Parcial Edgar Salguero Fecha 7/08/0 Semestre: Segundo Horario de Examen: 9:00 0:50 Jornada: Reviso: Matutina Inga. Vera Marroquín Nombre de la clave: Clave-07--M docx

2 Clave-07--M docx TEMARIO DIGITALIZADO Tema No. (8 puntos): En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 0 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y fresa. El presupuesto destinado para esta compra es de 50 quetzales y el precio de cada helado es de quetzales el de vainilla, 5 quetzales el de chocolate y 6 quetzales el de fresa. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que el número de helados de vainilla menos en número de los de chocolate es igual a tres veces los de fresa. a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cada sabor se compran a la semana. b) Resuelve, mediante el método de Gauss. Concluya si tiene solución o es inconsistente el sistema. Tema No. (5 puntos): Encontrar la solución del sistema usando X A b. Determine la inversa de dos formas: i. Usando cofactores. ii. Por el método de Gauss-Jordan (por operaciones elementales o de equivalencia) x + y 3 x y 5 Tema No.3 (0 puntos): Determinar el valor de m para que el sistema de ecuaciones: x + my mx + y Tenga: a) Solución única. b) Infinitas soluciones. c) No tenga solución. Tema No. (0 puntos): Hallar el determinante de la siguiente matriz, utilizando propiedades y cofactores. 0 A Tema No.5 (7 puntos): Encuentre la solución del sistema utilizando el método de Gauss. Expresar la solución en forma matricial o vectorial. X 3Y Z W X Y Z W 8 Tema No.6 (50 puntos): Resolver las siguientes integrales planteadas. a. 6x +x 3 +7x +x+3 x 3 (x +) Si se sabe que los valores de A, B, C, D, E, F & G son,, 3, -, -, & 0 respectivamente, luego de realizar fracciones parciales. ( puntos) d. b. x cosx c. +sen x+cos x e. 3 x x x x 3 x x

3 Clave-07--M docx SOLUCIÓN Tema No. (8 puntos): En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 0 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y fresa. El presupuesto destinado para esta compra es de 50 quetzales y el precio de cada helado es de quetzales el de vainilla, 5 quetzales el de chocolate y 6 quetzales el de fresa. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que el número de helados de vainilla menos en número de los de chocolate es igual a tres veces los de fresa. a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cada sabor se compran a la semana. X Numero de Helados de vainilla y Numero de Helados de chocolate z Numero de Helados de fresa Planteando el sistema de ecuaciones: x + y + z 0 x + 5y + 6z 50 x y 3z b) Resuelve, mediante el método de Gauss. Concluya si tiene solución o es inconsistente el sistema f f 3 0 f3 f f3 + f El sistema es inconsistente Tema No. (5 puntos): Encontrar la solución del sistema usando X A b. Determine la inversa de dos formas:

4 x + y 3 x y 5 Clave-07--M docx i. Usando cofactores. c c 3 c 3 c 3 5 Sea A c c T Adj A Determiante de A [ ] [ ] 3 COMO A Det CT Multiplicamos y encontramos la matriz inversa A Det CT 3 /3 /3 /3 /3 ii. Por el método de Gauss-Jordan (por operaciones elementales o de equivalencia) 0 0 f f f /3 /3 0 0 /3 /3 f f 0 0 /3 /3 /3 /3

5 Clave-07--M docx A /3 /3 /3 /3 Encontrando la solución del sistema Entonces Como X A b X /3 /3 /3 /3 3 5 X Y Tema No.3 (0 puntos): Determinar el valor de m para que el sistema de ecuaciones: x + my mx + y m A m A 0 AX B infinitas soluciones o ninguna solucion Entonces igualamos el determinante a 0 m m m 0 m ± Probando con m Probando con m- f / f f 0 0 Infinitas soluciones para m f / / 0 f + f 0 0 /

6 No tiene solucion para m Clave-07--M docx RESPUESTAS a) Solución única. Para cualquier valor diferente de ± m ± b) Infinitas soluciones para m c) No tiene solucion para m Tema No. (0 puntos): Hallar el determinante de la siguiente matriz, utilizando propiedades y cofactores. Utilizando propiedades 0 A 0 f3 f f + f Utilizando cofactores Det Tema No.5 (7 puntos): Encuentre la solución del sistema utilizando el método de Gauss. Expresar la solución en forma matricial o vectorial.

7 Clave-07--M docx X 3Y Z W X Y Z W f f 0 0 f x + 3y + z w y z x 3 z z + w x 6 7z + w x y z w z w 0 0 Tema No.6 (50 puntos): Resolver las siguientes integrales planteadas. a. 6x +x 3 +7x +x+3 x 3 (x +) Si se sabe que los valores de A, B, C, D, E, F & G son,, 3, -, -, & 0 respectivamente, luego de realizar fracciones parciales. ( puntos) 6x + x 3 + 7x + x + 3 x 3 (x + ) A x + B x + C Dx + E + 3 x x + + Fx + G (x + )

8 Clave-07--M docx 6x + x 3 + 7x + x + 3 x 3 (x + ) x + x + 3 x + x 3 x + + x + 0 (x + ) x + x + 3 x 3 + x x + + x + 0 (x + ) x + x x (x + ) x 3 x x + x + Resolviendo cada integral lnx x x x 3 x 3 3 x x x + u x + du x ln (x + ) x + tan x x (x + ) u x + du x x +

9 Clave-07--M docx 6x + x 3 + 7x + x + 3 x 3 (x + ) lnx x 3 x ln x + tan x x + + c b. x cosx Utilizando la técnica de integración por partes u x dv cosx du x v senx udv uv vdu x senx xsenx Utilizando la técnica de integración por partes para la integral xsenx u x dv senx du v cosx xsenx xcosx cosx xsenx xcosx + senx x cosx x senx xcosx + senx x cosx xcosx + senx(x )+c

10 Clave-07--M docx c. x 3 x x x x + x (x ) x 3 x Sustituyendo z x dz z 3 z Utilizando la técnica de integración por partes u z dv z z du zdz v z z z z z dz z z 3 (z ) 3 (x ) (x ) 3 ((x ) ) 3 + c

11 Clave-07--M docx d. +sen x+cos x u tan x senx u u + Sustituyendo cosx u u + u + du u + du + u u + + u u + u + du u ++u+ u u + u+u+3u+3(u+) u + du u +u+3 u + Resolviendo por fracciones parciales du u + 3 (u + ) A (u + 3) + B (u + ) A u + + B u + 3 A B A 3B A B

12 Clave-07--M docx du u + 3 (u + ) (u + 3) + (u + ) (u + 3) + (u + ) ln u ln u + Regresando u tan x ln tan x ln tan x + e. 3 x x Sustituyendo x 5 x 6 x 3 x z z dz z dz z 0 z 9 z dz z 9 (z ) z + + z z dz (z ) 6z + z + ln (z ) 6x 6 + x + ln (x )