UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M TEMARIO A Curso: Matemática Básica 1 Código del curso: 101 Semestre: do semestre 015 Tipo de examen: Primer examen Parcial Nombre de la persona que resolvió el examen: María Esther Pineda Izquierdo Catedrático del curso: Lic. Francisco de la Rosa Guatemala 10 de marzo de 015

2 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA JORNADA MATUTINA FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMÁTICA BÁSICA 1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA TEMARIO A GUATEMALA, 19 DE FEBRERO DE 015 PRIMER EXAMEN PARCIAL TEMA 1: (30 PUNTOS) A) RESUELVA LA ECUACIÓN B) RESUELVA LA DESIGUALDAD C) RESUELVA LA DESIGUALDAD A) 3x + 5x 8 3x + 5x + 1 = 1 B) 3x 1 x + 1 C) 0x 3 55x = 8x TEMA : (0 PUNTOS) Calcular usando geometría, el área de la región sombreada. ABCD es un cuadrado cuo lado mide 10 centímetros. TEMA3: (0 PUNTOS) Se quiere disponer de un terreno rectangular con un área de 300 metros cuadrados, que quede inscrito dentro de un terreno que tiene la forma de un triángulo rectángulo con base 0 metros altura 30 metros. Encuentre las dimensiones del terreno. TEMA : (15 PUNTOS) Un rectángulo se inscribe en un triángulo isósceles de 8 centímetros de base por 10 centímetros de altura, de tal forma que la base del rectángulo está sobre la base del triángulo. Determine las dimensiones del rectángulo si su área es la cuarta parte del área del triángulo. TEMA 5: (15 PUNTOS) El agua de mar contiene 5% de sal. Cuántos litros de agua dulce se han de añadir a 0 litros de agua de mar para que sólo tenga un % de sal?

3 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA JORNADA MATUTINA FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMÁTICA BÁSICA 1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA TEMARIO B GUATEMALA, 19 DE FEBRERO DE 015 RESOLUCIÓN PRIMER EXAMEN PARCIAL TEMA 1: (30 PUNTOS) A) RESUELVA LA ECUACIÓN 3x + 5x 8 3x + 5x + 1 = 1 PASO 1: REALIZAR UNA SUSTITUCIÓN U = 3x + 5x U 8 U + 1 = 1 PASO : ELEVAR AL CUADRADO AMBOS LADOS DE LA ECUACIÓN Y DESARROLLAR. ( U 8 U + 1) = 1 (U 8) (U 8)(U + 1) + (U + 1) = 1 U 8 + U = (U 8)(U + 1) U 8 = (U 8)(U + 1) PASO 3: MULTIPLICAR POR ½ U = (U 8)(U + 1) PASO : ELEVAR NUEVAMENTE AL CUADRADO, PARA FACILITAR LA RESOLUCIÓN. (U ) = ( (U 8)(U + 1)) U 8U + 16 = (U 8)(U + 1) U 8U + 16 = U + U 8U = U U =

4 PASO 5: REGRESAR A LAS VARIABLES ORIGINALES, SUSTITUYENDO U. 3x + 5x = 3x + 5x = 0 PASO 6: RESOLVER LA ECUACIÓN POR MEDIO DE LA FÓRMULA CUADRÁTICA. a = 3 b = 5 c = x = 5 ± 5 (3)( ) (3) x 1 =.11 x = 3.78 PASO 7: ES NECESARIO HACER UNA COMPROBACIÓN PARA SABER SI LAS RESPUESTAS ENCONTRADAS SON SOLUCIONES. 3(.11) + 5(.11) 8 3(.11) + 5(.11) + 1 = = COMO LA IGUALDAD NO SE CUMPLE, x 1 =.11 NO ES SOLUCIÓN. 3( 3.78) + 5( 3.78) 8 3( 3.78) + 5( 3.78) + 1 = = COMO LA IGUALDAD NO SE CUMPLE, x = 3.78 NO ES SOLUCIÓN. POR LO QUE SE CONCLUYE QUE LA ECUACIÓN NO TIENE SOLUCIÓN.

5 A) RESUELVA LA DESIGUALDAD 3x 1 x + 1 3x 1 x (x + 1) (3x ) (3x )(x + 1) 0 x + 3x + (3x )(x + 1) 0 x + 6 (3x )(x + 1) 0 x = 6 x = /3 x = 1 TABLA DE SIGNOS (, 6] [ 6, 1) ( 1,/3) (/3, ) Prueba de signo x + 6 = x = x + 1 = LAS POSIBLES RESPUESTAS SON, POR LA TABLA SE PUEDE VER QUE LAS RESPUESTAS SON: (, 6] [ 6, 1) ( 1, 3 ) ( 3, ) LA RESPUESTA SE EXPRESA COMO: (, 6]U( 1, 3 )

6 C) RESUELVA LA ECUACIÓN 0x 3 55x = 8x PASO 1: COLOCAR TODOS LOS TÉRMINOS DE UN SOLO LADO. 0x 3 + 8x 55x = 0 PASO : SACAR FACTOR COMÚN Y AGRUPAR TÉRMINOS. PASO 3: ENCONTRANDO LAS RAICES x (5x + ) 11(5x + ) = 0 (x 11)(5x + ) = 0 5x + = 0 x 11 = 0 5x = x = 11 x = /5 x = ± 11 PASO : COMPROBANDO LAS 3 SOLUCIONES 0( /5) 3 55( /5) = 8( /5) 0.7 = 0.7 0( 11 )3 55( 11 ) = 8( 11 0 = 0 ) 0( 11 )3 55( ) = 8( 0 = 0 PASO 5: TODAS SON SOLUCIONES. ) x = /5 Y x = ± 11

7 TEMA : (0 PUNTOS) Calcular usando geometría, el área de la región sombreada. ABCD es un cuadrado cuo lado mide 10 centímetros. EL ÁREA PUEDE VERSE COMO UN CUADRADO Y DOS SEMI CÍRCULOS. A Semi Círculo = 1 πr A cuadrado = a A Total = ( 1 πr ) + (5) A Total = 1 π(5) + 5 A Total = 5 π + 5 cm 6.6 cm

8 TEMA3: (0 PUNTOS) Se quiere disponer de un terreno rectangular con un área de 300 metros cuadrados, que quede inscrito dentro de un terreno que tiene la forma de un triángulo rectángulo con base 0 metros altura 30 metros. Encuentre las dimensiones del terreno. PASO 1: REALIZAR UN DIAGRAMA PASO : PLANTAER EL ÁREA DEL RECTÁNGULO A rectángulo = 300m x = 300 x = 300 PASO 3: PLANTEAR UNA ECUACIÓN EN BASE A LA RELACIÓN DE ALTURA Y BASE Y = 0 x PASO : RESOLVER LA ECUACIÓN, SUSTITUYENDO CON LA ECUACIÓN ANTERIOR. PASO 5: MULTIPLICANDO AMBOS LADOS POR 30x = 0(30 ) 30x = ( 300 ) = = = PASO 6: REDUCIENDO, MULTIPLICAR AMBOS LADOS POR 1/0 [9000 = ]1/0 5 = = 0

9 PASO 7: RESOLVIENDO LA ECUACIÓN, POR MEDIO DE LA FÓRMULA CUATRÁTICA a = 1 b = 30 c = 5 = ( 30) ± ( 30) (1)(5) (1) = 15 PASO 8: ENCONTRANDO EL VALOR DE x, POR MEDIO DE LA ECUACIÓN DE ÁREA TOTAL PASO 9: COMPROBACIÓN POR LO TANTO SUS DIMENSIONES SON: 30x = x = 100 0(15) x = 0 x = 300 (15)(0) = = 300 x = 0 Y = 15

10 TEMA : (15 PUNTOS) Un rectángulo se inscribe en un triángulo isósceles de 8 centímetros de base por 10 centímetros de altura, de tal forma que la base del rectángulo está sobre la base del triángulo. Determine las dimensiones del rectángulo si su área es la cuarta parte del área del triángulo. PASO 1: HACER UN DIAGRAMA PASO : ENCONTRAR EL ÁREA DEL TRIÁNGULO A triángulo = (8)(10) = 0 cm PASO : ENCONTRAR EL ÁREA DEL RECTÁNGULO, QUE ES ¼ DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO A rectángulo = 1 (0) = 10 cm PASO 3: PLANTEAR UNA ECUACIÓN PARA EL ÁREA DEL RECTÁNGULO 10 = x = 10 x PASO : PLANTEAR UNA RELACIÓN DE TRIÁNGULOS.

11 PASO 5: RELACIÓN DE TRIÁNGULOS. PASO 6: RESOLVER LA ECUACIÓN. 10 = 8 x 10 = 8 x 8 8 = 80 10x 8 ( 10 ) = 80 10x x 80 x PASO 7: MULTIPLICANDO POR x luego por 1/10 = 80 10x [80 = 80x 10x ] ( 1 10 ) 8 = 8x x x 8x + 8 = 0 PASO 8: RESOLVIENDO POR MEDIO DE LA FÓRMULA CUADRÁTICA a = 1 b = 8 c = 8 x = ( 8) ± ( 8) (1)(8) (1) x 1 = x = PASO 9: EN BASE A LAS DOS RESPUESTAS OBTENIDAS, POR MEDIO DE LA ECUACIÓN PLANTEADA SE OBTIENE 1 = = 8 = 80 10x 80 10(6.83) (1.17) 8 = 1.6 = 8.5

12 PASO 10: COMPROBANDO LAS SOLUCIONES OBTENIDAS. x 1 = = (1.6) 10 = x = = x 8 (6.83) 0.16 = = (8.5) 10 = = x 8 (1.17) 0.85 = 0.85 LAS RESPUESTAS HALLADAS SON CORRECTAS Y CUMPLEN, POR LO TANTO SUS DIMENSIONES PUEDEN SER: x 1 = x = = 1. 6 = 8. 5

13 TEMA 5: (15 PUNTOS) El agua de mar contiene 5% de sal. Cuántos litros de agua dulce se han de añadir a 0 litros de agua de mar para que sólo tenga un % de sal? + = 5% de sal x litros % de sal 0 litros PASO 1: PLANTEAR LA ECUACIÓN. AGUA DE MAR * SU CANTIDAD DE SAL + AGUA PURA * SU CANTIDAD DE SAL (0) = CANTIDAD DE MEZCLA * % DE SAL. PASO : RESOLVER LA ECUACIÓN 0(0.05) + x(0) = (0 + x)(0.0) = x 1. = 0.0x x = 60 Lt de agua