Universidad Diego Portales Segundo Semestre 2007 Facultad de Ingeniería

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1 Universidad Diego Portales Segundo Semestre 007 Facultad de Ingeniería Instituto de Ciencias Básicas Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Laboratorio Nº Ecuaciones Diferenciales Eactas, Lineales de Primer Orden Ecuación de Bernoulli Objetivo general Resolver, analizar cuando sea necesario aplicar los conocimientos del uso de la calculadora para determinar las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden requeridas Objetivos específicos 1 Resolver ecuaciones diferenciales eactas Verificar factores de integración Analizar resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 4 Analizar resolver ecuaciones diferenciales del tipo de Bernoulli Actividades Nº de actividad Contenido 1 Ecuaciones Diferenciales Eactas Factor de Integración Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden 4 Ecuación de Bernoulli 5 El alumno desarrollará actividades propuestas Metodología En este laboratorio usaremos las técnicas habituales para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden cuando sea necesario nos audaremos con la calculadora para comprobar resultados Usaremos el programa EcDifE1 para calcular ecuaciones diferenciales eactas e incentivaremos la creación de programas para los otros métodos de integración de ecuaciones diferenciales

2 Programa EcDifE1 Actividad 1: d 1 Muestre que la ecuación diferencial ln( ) d + = 0es eacta determine (a) la solución general (b) la solución particular para = 1 = e Verifique sus resultados con auda de la calculadora, dibuje el campo de pendientes, dibuje la curva solución obtenida compárela con la curva aproimada, dada por el programa ListEul1 Sean P = ln() Q = P 1 = Q 1 Como =, son iguales, la ecuación diferencial dada es eacta Entonces eiste una función φ (, ) = C, tal que su diferencial es: φ φ d dφ = d + d = ln( ) d + = 0 Comparando, tenemos que: φ a) ) = ln( b) φ = De a) tenemos que φ = ln( ) + C( ) de b) φ = ln( ) + C( )

3 De aquí, se deduce que φ = ln( ) = C Luego la solución general, es: ln( ) = C Cálculo de C Cuando = 1, = e Entonces: ( 1)ln( e ) = 1 = C La solución de la ecuación diferencial dada, es: ln( ) = 1 La solución, usando la calculadora, es: (a) La solución general, es: (b) La solución particular, es: Usando el programa EcDifE1, se obtiene la solución general: De aquí se deduce que: ln( ) = C Campo de pendientes Use ventana de visualización 05 5, 05 5 n= m= 10 Cuál, cree usted, es el dominio de definición de la ecuación diferencial dada?

4 Comparando con la calculadora, se obtiene: Curva solución Despejamos de ln( ) = 1, se obtiene 1/ = e El programa ListEul1, entrega la gráfica que se muestra en la figura adjunta

5 Actividad : Muestre, usando el programa EcDifE1, que ecuación diferencial ( ) es un factor integrante de la ( ) d + ( + ) d = 0 Halle su solución Usando el programa anterior se determina si ( ) es un factor de integración de la ecuación diferencial dada permite obtener su solución De aquí se obtiene: φ (, ) = + + C = Solución de la ecuación diferencial Verifique, sin calculadora, que esta es la solución correcta Actividad : Resuelva la ecuación diferencial ( ² + 4) ' + = ; ( 0) = 1 verifique la solución usando calculadora Escribimos + =, que corresponde a una ecuación lineal de primer orden El factor de integración, es: d ) / + 4 ln( + 4 = e / F = e = ( + 4) Multiplicamos por el factor de integración: / ( + 4) ( + 4) ( + 4) / + = Escribimos en la forma: d {( + 4) / } = + 4 d Integramos: / / ( + 4) ( + 4) = + C Despejamos : 1 C = + / ( + 4) /

6 La solución general, usando la calculadora, es: Verifique que corresponde a la solución dada anteriormente Actividad 4: Resuelva la ecuación diferencial ' + = ² ln verifique la solución usando calculadora Determine la curva solución que pase por el punto ( e,1) 1 ln Escribimos la ecuación dada, como ' + ² =, la cual es de Bernoulli Multiplicamos la ecuación por, se obtiene: Sea v = ln ' + = dv d dv = d d = d Entonces: dv v ln =, es una ecuación diferencial lineal d d Pd 1 ln ln 1 El factor de integración es: e = e = e = e =, > 0 Multiplicamos por el factor de integración 1 dv v ln = d Esta ecuación se simplifica al escribirla como: d 1 1 dv v ln v = = d d

7 Integramos: 1 v lnd = = ln 1 C + + ln d ln d ln 1 Donde = uv vdu = + C = + d d 1 u = ln du = dv v = = Entonces, la solución general es: v = ln + C + 1 Reemplazando v = 1, obtenemos: 1 = ln + C + 1 La calculadora resuelve esta ecuación diferencial, sólo si se usa la configuración formato - básico complejo La curva solución de ' + = ² ln, que pase por el punto (,1) e, es: ACTIVIDADES A DESARROLLAR POR EL ALUMNO 1 Resuelva la ecuación diferencial ( e + ln( ) + ) d + ( + ln( ) + sen( )) d = 0, usando el programa EcDifE1

8 Usando el programa EcDifE1, podemos determinar la solución de una ecuación diferencial eacta De aquí se obtiene: φ (, ) = ln( ) + ln( ) + e cos( ) = C Solución de la ecuación diferencial d Resuelva la ecuación diferencial lineal cos ( ) + = tg( ) d Esta ecuación diferencial, es lineal Su forma general, es: d 1 tg( ) + = d cos ( ) cos ( )

9 d 1 sen( ) + = d cos ( ) cos ( ) Factor de integración: sec ( ) d e tg() = e Multiplicamos por el factor de integración: d d tg ( ) tg ( ) e + = d tg ( ) Simplificamos: { e } d e sen( ) e cos ( ) cos ( ) tg ( ) sen( ) e = cos ( ) tg ( ) tg ( ) tg ( ) sen( ) e d Integramos: e = + C cos ( ) Hacemos u = tg() du = sec ( ) d e tg ( ) u = ue du + C = e u ( u 1) + C e tg ( ) = ( tg( ) 1) + C Despejamos, para obtener la solución general: tg ( ) = tg( ) 1+ Ce La solución, usando la calculadora, es: Obtenemos: 1 tan ( ) tan( ) cos ( ) = Ce tan( )