LABORATORIO 10 DE RECTAS TANGENTES SOBRE LA DEFINICION DE RECTA TANGENTE

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1 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD CIENCIAS DE INGENIERIA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL LABORATORIO 10 DE RECTAS TANGENTES SOBRE LA DEFINICION DE RECTA TANGENTE Qué es una recta tangente? Es frecuente asociar recta tangente como una recta que permanece fuera de una circunferencia, tocándola en exactamente un punto. Sin embargo, ésta idea de tangente es muy limitada y no sirve como definición de recta tangente como se verá a continuación. 1) Seleccione,, Preferencias, Configuración, Formato básico. Active Visualización en Normal 2, Ángulo en Radián. Desactive Formato complejo, Cálculo decimal y Asistente, Def. 2) Escriba sin(x) en y1 y presione EXE. Grafique sin(x) en ventana Trigonométrica( Seleccione, Memoria, Trigonométrico, Acep, ).

2 3) Dibuje la recta tangente a sin(x) en x = 1.4 radianes. ( Seleccione : Análisis, Esbozo, Tangente, 1.4, Acep, EXE ) 4) Escriba la ecuación de la recta resultante que aparece en la parte inferior de la ventana gráfica. La ecuación de la recta tangente a la función y sen ( x) y = x = en el punto x = 1.4 es: 5) Halle los puntos de intersección entre la recta tangente y sin(x) que aparecen en dicha ventana gráfica. Escríbalos redondeando a 3 cifras decimales. ( Seleccione Análisis, Resolución G, Intersección. Presione el botón central flecha derecha para hallar el resto de las intersecciones. )

3 Los puntos de intersección redondeados a tres decimales: P1 P2 P3 P 4 ( 8.624; 0.718) ( 6.682; 0.388) ( 3.325;0.182) ( 1.4;0.985) 6) En cuántos puntos la recta tangente corta a sin(x) en dicha ventana? En cuatro puntos. 7) En cuántos puntos la recta tangente toca a sin(x) en dicha ventana? En uno 8) Investigue en otra ventana gráfica la posibilidad que la recta tangente corte o toque en más puntos a sin(x). Justifique su respuesta indicando la ventana adecuada que visualice lo pedido. (Presione ESC para salir del modo de intersecciones de puntos y así puede definir una nueva ventana ). Tomamos la siguiente ventana:

4 Graficamos con esta nueva ventana: Claramente no hay más puntos de intersección Ya que la función seno está acotada entre -1 y 1. 10) Dado el modelo de ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto (a,f(a)), definido ' como: y = f ( a)( x a) + f ( a). Aplique dicho modelo y defina matemáticamente la ecuación de la recta tangente a sin(x) en el punto 1.4. ( a, f ( a )) = ( 1.4,sen( 1.4) ) f ( x) = cos( x) f ( 1.4) = cos( 1.4) Reemplazando en el modelo de ecuación: y = cos( 1.4)( x 1.4) + sen ( 1.4) Evaluando numéricamente y simplificando obtenemos: y = x ) Escriba la ecuación de la recta hallada en y2 y presione EXE.Teniendo seleccionados y1 e y2, grafique ambas funciones en la misma ventana Trigonométrica.( Seleccione a sin(x) en x = 1.4. para graficar ). Verifique que la recta es tangente

5 12) Halle los puntos de intersección entre la recta y sin(x) que aparecen en dicha ventana gráfica. Escríbalos redondeando a 3 cifras decimales ( Repita instrucciones de la pregunta 5 ). Los puntos de intersección son los mismos: P1 P2 P3 P 4 ( 8.624; 0.718) ( 6.682; 0.388) ( 3.325;0.182) ( 1.4;0.985) 13) En cuántos puntos la recta definida por usted corta a sin(x) en dicha ventana? En cuatro. 14) En cuántos puntos dicha recta toca a sin(x) en dicha ventana? En uno. No hay problemas con el punto de tangencia si uno conserva todos los dígitos en la ecuación del ejercicio 10. Si hacemos redondeo entonces la recta no es tangente a la función en el punto dado. 15) Tomando en cuenta los pasos realizados en las preguntas 5), 6), 7), 12), 13) y 14), podría afirmar que la ecuación de la recta tangente dibujada es equivalente a la ecuación de la recta tangente definida por usted? Justifique y argumente en forma numérica. Si es la misma, considerando todos los dígitos entregados por la calculadora. Si hacemos un redondeo, entonces aunque aparentemente la recta es tangente al punto dado si nos confiamos en la gráfica, esta realmente deja de tocar a la función y por tanto deja de ser tangente. En este ejemplo vemos la importancia de considerar los errores numéricos para interpretar correctamente los resultados que nos entrega la calculadora. 16) Repita los pasos de la pregunta 2) para f(x)= cos(x) y los pasos restantes hasta la pregunta 15), considerando la recta tangente en x = 6 radianes La gráfica:

6 : El punto de tangencia no se puede calcular gráficamente en esta ventana debido a los errores numéricos. Haciendo un Zoom, podemos encontrar el punto de tangencia: Observe que de todas formas el valor de la x no es exacto. Encontramos la ecuación de la recta tangente siguiendo el modelo de ecuación tangente: a, f a = 6,sen 6 ( ( )) ( ( )) f ( x) = sen ( x) f ( 6) = sen ( 6) Reemplazando en el modelo de ecuación: y = sen 6 x 6 + cos 6 ( )( ) ( ) Evaluando numéricamente y simplificando obtenemos: y = x