Laboratorio N 2- Cálculo 1 Funciones lineales.

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1 Universidad Diego Portales Facultad De Ingeniería Instituto de Ciencias Básicas Contenidos: -Aplicaciones de la función lineal. -Gráfica de funciones lineales. -Rectas paralelas y tangentes. Laboratorio N 2- Cálculo 1 Funciones lineales. Introducción: En este laboratorio vamos a estudiar una de las funciones más importantes en las aplicaciones prácticas, la función lineal. Las funciones lineales o modelos lineales tienen una amplia gama de aplicaciones y su utilidad radica fundamentalmente en su simplicidad. Para poder realizar este laboratorio tendrá que conocer como graficar una función lineal. Por ejemplo. Construya la gráfica de la función: y = 5x+ 2 Empleando la calculadora ClassPad 300, en el menú principal elegimos el icono de Gráficos y tabla (figura 1) Figura 1 Figura 2 En el editor de ecuaciones, en y1 escribimos la función y = 5x+ 2 (figura 2). Elegimos ahora la ventana adecuada para graficar la función. Para ello debemos tocar el icono, después en el submenú memoria (figura 3) elegimos Estandar y Acep. Con la 1

2 ventana del editor de funciones activadas tocamos el símbolo ecuación está dada en la figura 4. La gráfica de la Figura 3 Figura 4 Actividad Nº1 En algunos países, como Estados Unidos, se usa la escala Fahrenheit para medir la temperatura, a diferencia de la escala Celsius que usamos en Chile. La tabla siguiente establece una equivalencia entre varias temperaturas en ambas escalas: Celsius Fahrenheit

3 Demuestre que la relación entre estas escalas de temperaturas es una función lineal, es decir una función de la forma: y = mx+ b. Considere la temperatura dada en grados Celsius como la variable independiente y la temperatura dada en grados Fahrenheit como la variable dependiente. a. Para demostrar esto, primeramente convénzase de que si los valores de la variable independiente están en progresión aritmética, es decir entre ellos hay una diferencia constante, los valores de la variable dependiente también están en progresión aritmética. Halle el valor de la diferencia en cada caso: Diferencia en valores de T C 10 Diferencia en valores de T F 18 b. Encuentre explícitamente la relación lineal entre las escalas de temperaturas, para ello puede seguir los siguientes pasos en la ClassPad 300: En el menú de aplicaciones toque el botón Estadística Toque bajo list1. Ingrese los datos y presione EXE después de cada ingreso. Abra el menú ConfGráf y elija Gráfico estadíst 1 Seleccione Opciones y toque Def. Toque Símbolo de gráfico estadístico (primer icono de la barra de herramientas ). Abra el menú Calc y seleccione Regresión lineal. En Copiar fórmula toque y1. Toque aceptar en ambos diálogos. En la ventana superior toque nuevamente el símbolo de gráfico estadístico. En la ventana de arriba marque el Símbolo del editor de funciones 3

4 Escriba la expresión que aparece en y1 en el siguiente cuadro 1,8x + 32 c. De la relación obtenida determine: a. La pendiente de la gráfica : b. La intersección con el eje vertical: 1,8 32 d. Sin la calculadora y empleando la tabla anterior obtenga la relación lineal y = mx+ b entre las escalas de temperatura.compare con el resultado obtenido en (2b). Aclare cuántos puntos o pares de valores de la gráfica tuvo que emplear y por qué. C F m = = = 1, y 32 = 1,8( x 0) y = 1,8 x + 32 Sólo es necesario emplear dos pares de puntos, dado que es un modelo lineal, y todos los puntos pertenecen a la misma recta. 1. La función obtenida en la pregunta anterior nos permite encontrar la temperatura en grados Fahrenheit si tenemos la temperatura dada en grados Celsius. Si consideramos T = f T, determine: la función en la forma ( ) F C f f ( 22, 4 C) = ( 105,10 C) = 72,32 grados F 221,18 grados F Para calcular estos valores podemos seguir los siguientes pasos en la calculadora ClassPad300: Definimos la función f ( x ): En el menú de aplicaciones toque el botón Principal. Toque el botón Keyboard. 4

5 Toque la pestaña cat, en Forma elija Todo y toque la letra D. Elija el comando Define y toque INTRO. (Otra manera es simplemente escribir Define con el teclado virtual) f x = Expresión Obtenida Marque la pestaña abc del Keyboard y escriba ( ) en la pregunta 1. Una vez definida la función solo tiene que evaluar f ( 22.4) y ( ) f. 2. Encuentre una expresión que permita pasar de grados Fahrenheit a grados Celsius. Esto implica hallar la función inversa a la obtenida en la pregunta 1. Para encontrar la expresión pedida podemos seguir la siguientes pasos: En el menú de aplicaciones toque el botón Principal. y f x f x es la función definida arriba. Escriba Solve( = ( ), x ), donde ( ) Intercambie la x por la y y viceversa en la solución obtenida y escríbalo en el siguiente cuadro: 5x 160 y = 9 9 5

6 Actividad Nº 2 Un auto se desplaza por una carretera con velocidad constante v = 90 [km/h] recorriendo un camino recto entre dos ciudades A y B distantes a 200[km] una de la otra. Al comenzar su viaje se encontraba estacionado a 20km de la ciudad A. La distancia recorrida por el auto con velocidad constante se puede describir mediante la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme: x= v t+ x 0 Esta ecuación nos indica que el auto recorre iguales distancias en iguales intervalos de tiempo, cuando la velocidad permanece constante. Esta relación es básicamente la ecuación de una recta que pasa por el punto (0,x 0 ) con pendiente v. (Hemos supuesto que el origen de coordenadas se encuentra en la ciudad A) a) Grafique en un diagrama distancia recorrida versus tiempo la trayectoria del auto. b) Determine cuánto tiempo demoró el auto en llegar a la ciudad B. Si su velocidad es v = 60[km/h] cuanto tiempo demoraría en llegar? A una velocidad de 90 [km/h] el auto demora 2 horas en llegar a la ciudad B A una velocidad de 60 [km/h] el auto demora 3 horas en llegar a la ciudad B 6

7 c) Grafique esta nueva trayectoria y compare con la gráfica del caso a). (Grafique ambas rectas simultáneamente). y1 d) De acuerdo a los gráficos obtenidos interprete el significado de la pendiente de la recta en este caso. Interpretación de la pendiente: Para y2, la pendiente es 60, lo que indica que por cada hora, el auto avanza 60 km., mientras que en y1, la pendiente es 90, esto indica que por cada hora que transcurre el auto avanza 90 km. Para graficar con la calculadora ClassPad 300 puede seguir los siguientes pasos: En el menú principal toque Gráficos y Tablas. Borre todo, si es necesario, en el editor de funciones. Toque y1 y escriba la función que quiere graficar. (Considerando la primera velocidad) Toque y2 y escriba la función que quiere grafica (Considerando la segunda velocidad) Toque el icono de gráfico en el menú de la ventana del editor de funciones (el icono más a la izquierda). 7

8 Actividad Nº 3 Dos rectas no verticales con pendientes m 1 y m 2 son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales m 1 = m 2 El criterio para la perpendicularidad esta dado por la siguiente relación entre las pendientes: m 1 m 2 = -1. y y = m x x la correspondiente Dada la ecuación punto-pendiente de la recta ( ) 0 0 ecuación de la recta perpendicular se obtiene reemplazando m 1 m 1 y y x x m = ( ), o de otra manera escrita: x x m( y y ) = Ejercicio: Escriba la ecuación de la recta que pasa por el punto de perpendicular a la recta y = 3x+ 2 1,1 3 y es 1 1 x y 1 = x + y = b. Grafique ambas rectas y compruebe con ayuda de la calculadora que el ángulo entre ellas es efectivamente 90 Para ello puede seguir estos pasos en la ClassPad300: Toque en la ventana de eactivity Abra el menú Arch y seleccione Nuevo y después Acep. Abra el menú Insert y seleccione Geometría (no Vínculo Geometría) Toque en la ventana de eactivity En la barra de herramientas cambie a (cambiando a modo de ingreso matemático) Ingrese y = 3x+ 2 y presione Seleccione el resultado ( y = 3x+ 2) oscureciéndolo Arrastre la selección a la ventana de Geometría Toque dos veces para agregar (prender) los ejes. Ingrese ahora la ecuación de la recta normal obtenida por usted en el punto anterior y presione Seleccione el resultado oscureciéndolo Arrastre la selección a la ventana de Geometría Toque en que se encuentra en el extremo derecho 8

9 Toque ambas rectas para seleccionarlas Toque en el cuadro de Medidas y vea el ángulo obtenido. Solución: El ángulo formado por ambas rectas es de 90grados 9