Desigualdades o inecuaciones lineales en una variable. Prof. Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas UPR - Arecibo
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- Juan Carlos San Segundo Duarte
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1 Desigualdades o inecuaciones lineales en una variable Prof. Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas UPR - Arecibo
2 Desigualdades Una desigualdad o inecuación usa símbolos como <, >,, para representar la idea de que dos cantidades NO son iguales. Estos se leen de izquierda a derecha: a < b : a es menor que b, a > b : a es mayor que b a b : a es menor o igual a b a b : a es mayor o igual a b Algunos ejemplos son: Note que las primeras 3 son ciertas y las últimas dos son falsas.
3 Desigualdades algebraicas Desigualdades algebraicas contienen una o más variables. Algunos ejemplos son: Cuando se sustituye un valor por la(s) variable(s) la desigualdad algebraica se convierte en un enunciado numérico que es cierto o falso.
4 Desigualdades o Inecuaciones 2x + 3 > 11 Si se sustituye x con el valor 5, la inecuación lee 2(5) + 3 > > 11 Este es un enunciado cierto. Por lo que 5 es una solución de la desigualdad.
5 Desigualdades (continuación) 2x + 3 > 11 Si se sustituye x con el valor 3, la inecuación lee 2(3) + 3 > 11 que simplifica a 9 > 11 Este es un enunciado falso. Por lo que 3 NO es una solución de la desigualdad.
6 Ejemplo: Es solución? Pertenece 5 al conjunto solución de? 2x 5 < 3x + 6??
7 Resolver una desigualdad Resolver una desigualdad implica encontrar TODAS sus soluciones, o sea determinar el conjunto solución de la desigualdad. El conjunto solución de una desigualdad se puede representar usando notación generadora de conjuntos una gráfica notación de intervalo
8 Conjunto solución de desigualdades simples
9 Desigualdades lineales Al igual que con las ecuaciones, hay diferentes tipos de desigualdades. Las desigualdades lineales son las que son de grado 1. Desigualdad lineal x > -1 2x + 3 < 11 7(x + 3) 5x + 5 Desigualdad No lineal x 2 > -1 x 2 3x (x 3 4x) 0 2x 3 x+1 > 3
10 Propiedades de desigualdades Sumar o restar una expresión o un número real en ambos lados de una desigualdad NO cambia el conjunto de solución de la desigualdad.
11 Ejemplo Resuelve la desigualdad: x + 5 > 10 Solución:
12 Propiedades de desigualdades Multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por un número real positivo NO cambia el conjunto de solución de la desigualdad.
13 Ejemplo Resuelve la desigualdad: 3x
14 Ejemplo Resuelve la desigualdad: Solución: 4 x x 1
15 Propiedades de desigualdades Al multiplicar o dividir ambos lados de la desigualdad por un número real negativo se invierte la desigualdad.
16 Ejemplo Resuelva la desigualdad: 3 x < 2 Solución:
17 Ejemplo Resuelve la desigualdad: Solución:
18 Ejemplo Resuelve la desigualdad: Solución: 2x
19 Ejemplo Resuelve la desigualdad: Solución: 4 + 7x 2x 1
20 Ejemplo Determinar el conjunto solución: Solución:
21 Ejemplo Resuelve la desigualdad: Solución: 2(x + 3) 4(x 2)
22 Ejemplo Hallar el conjunto solución de Solución:
23 Ejercicios: Resuelva las siguientes desigualdades lineales. Represente el conjunto solución en notación de intervalo y gráficamente.
24 Desigualdades compuestas En ocasiones tenemos desigualdades compuestas como la siguiente: 2 < x + 1 < 5 Con esta notación se representan dos desigualdades: x + 1 > 2 y x + 1 < 5 Podemos resolver cada desigualdad por separado y luego unir las soluciones. x + 1 > 2 x > 2 1 x + 1 < 5 x < 5 1 x > 1 x < 4 Usamos la recta numérica para halla la intersección de los conjuntos solución de cada desigualdad. continua
25 Desigualdades compuestas continuación: x > 1 y x < 4 Usamos la recta numérica para halla la intersección de los conjuntos solución de cada desigualdad. El conjunto solución es: (1, 4).
26 Desigualdades compuestas Podemos resolver la desigualdades compuestas de forma simultánea, usando operaciones inversas para dejar la variable sola en el centro y las constantes en las partes de la derecha e izquierda. Para esto debemos realizar las mismas operaciones, tanto en el medio como en los dos extremos. Ejemplo: Determina el conjunto solución de 2 < x + 1 < < x < < x < 4 El conjunto solución es: (1, 4).
27 Ejemplos: Ejemplo 1: 2 x + 1 5
28 Ejemplos: Ejemplo 2: Determinar el conjunto solución 4 < 2x Solución:
29 Ejemplos: Hallar el conjunto solución de: x 3 7 Solución:
30 Ejemplos: Describir el conjunto solución en notación de intervalo 2x < 3 < 5 + 2x Solución:
31 Ejemplos: Describir el conjunto solución de x 3 < 5 3x 7 + x Solución:
32 Desigualdades de primer grado o lineales
33 Práctica: Diga si los valores a la derecha pertenecen al conjunto solución de la desigualdad. 1) 7(x + 3) > 5x + 5 ; 4 2) -2(4x + 3) 5x < 3x 6 ; 2
34 Práctica: notación de intervalo 1. Escribe el intervalo que contiene todos los números menores que Escribe el intervalo que contiene todos los números mayores o iguales a Indicar si el enunciado es cierto o falso: a) 2 3 [0.75, ) b) 5, 4 c) 9 4 (2, )
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