T7. PROGRAMACIÓN LINEAL

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1 T7. PROGRAMACIÓN LINEAL MATEMÁTICAS PARA 4º ESO MATH GRADE 10 (=1º BACHILLERATO EN ATLANTIC CANADA) CURRÍCULUM MATEMÁTICAS NOVA SCOTIA ATLANTIC CANADA TRADUCCIÓN: MAURICIO CONTRERAS

2 PROGRAMACIÓN LINEAL Modelizar fenómenos del mundo real con ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y potenciales e inecuaciones lineales Aplicar programación lineal para hallar soluciones óptimas de problemas del mundo real. Construir y analizar gráficos y tablas que relacionan dos variables Analizar gráficos de puntos de situaciones dadas para identificar información específica Expresar e interpretar restricciones, usando inecuaciones MESAS Y SILLAS Supongamos que una factoría fabrica solo mesas y sillas, y que el beneficio que obtiene de cada silla es 15 y en cada mesa 20. Cada silla requiere una pieza larga del almacén y dos piezas pequeñas (que se pueden modelar con Lego u otra construcción de bloques). Cada mesa requiere dos piezas largas y dos piezas pequeñas del almacén. Si tienen solamente seis piezas largas y ocho pequeñas, cuántas sillas y cuántas mesas deben construir para maximizar el beneficio? JUGUETES Una pequeña factoría produce dos tipos de juguetes redondos y cuadrados -. Tres tipos de materiales son usados para hacer los juguetes. Hay disponibles 480 unidades de plástico, 00 unidades de metal, y 60 unidades de madera. Los juguetes redondos requieren 4 unidades de plástico y 2 unidades de metal. Los juguetes cuadrados requieren unidades de plástico, unidades de metal, y 1 unidad de madera. Cada juguete redondo produce 8 euros de beneficio y cada juguete cuadrado produce 15 euros de beneficio. Suponemos que todos los juguetes fabricados se venden. a) Organiza toda la información en una tabla. b) Escribe frases para expresar las restricciones del problema c) Determina cuántas restricciones hay d) Identifica cinco combinaciones diferentes para producir juguetes redondos y cuadrados que satisfagan todas las restricciones y adjunta el beneficio de cada una de las cinco combinaciones. e) Estima cuál es el máximo beneficio. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 2

3 DOS TABLAS Escribe frases para expresar las restricciones en cada una de las siguientes situaciones: a) Contenedores de plástico Beneficio Disponible 60 Monopatín Muñeca euro 0,50 euros b) Tela (m) Beneficio Disponible 50 m Camisa Chaleco m 2 m 5 euros euros Halla cinco combinaciones de productos que cumplan las restricciones. Qué beneficio se habrá hecho en cada combinación? Modelar fenómenos del mundo real con ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y potenciales y con inecuaciones lineales. Expresar e interpretar restricciones, usando inecuaciones Representar gráficamente ecuaciones e inecuaciones y analizar gráficas, con y sin tecnología gráfica. Representar gráficamente mediante una tabla de valores, usando tecnología gráfica y, cuando sea apropiado, por el método pendiente-ordenada en el origen. Investigar, hacer y contrastar conjeturas sobre la solución de ecuaciones e inecuaciones usando tecnología gráfica. Analizar gráficos o diagramas de situaciones dadas para identificar información específica. Resolver problemas utilizando tecnología gráfica. Escribir una inecuación para describir su gráfico. JUGUETES REDONDOS Y CUADRADOS Observa la siguiente tabla: Materiales Plástico Metal Madera Beneficio (por juguete) Unidades necesarias para un juguete redondo Unidades necesarias para un juguete cuadrado Existencias disponibles a) Identifica las dos variables de decisión. b) Escribe frases para expresar las restricciones. c) Traduce las frases que expresan restricciones a inecuaciones. d) Dividir la clase en seis grupos de estudiantes y asignar dos grupos a cada una de las restricciones. Cada grupo debe hallar 20 valores para las variables que satisfagan la restricción e indicar éstos con puntos coloreados de verde en un gráfico. También deberá hallar 20 valores que no satisfacen la restricción e indicar éstos con puntos coloreados de rojo en un gráfico. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág.

4 e) Los grupos deben exponer sus gráficos en el retroproyector y discutir méritos y aspectos de cada uno. Cómo habéis etiquetado el límite entre las dos regiones coloreadas? Cómo habéis etiquetado la región roja? Cómo la región verde? f) Superponer acetatos o transparencias de cada una de las restricciones en un proyector y describir la región factible. g) Representa gráficamente cada una de las restricciones anteriores usando tecnología gráfica. REGIÓN FACTIBLE Describe las inecuaciones para las que el gráfico siguiente representa la región factible. Aplicar programación lineal para hallar soluciones óptimas a problemas del mundo real. Resolver ecuaciones lineales, radicales simples y exponenciales e inecuaciones lineales. Interpretar soluciones de ecuaciones, basándose en el contexto. Representar gráficamente ecuaciones e inecuaciones y analizar gráficas, con y sin tecnología gráfica. Investigar, hacer y contrastar conjeturas sobre las soluciones de ecuaciones e inecuaciones usando tecnología gráfica. Relacionar conjuntos de números en soluciones de inecuaciones. Demostrar una comprensión de los sistemas numéricos discretos y continuos y hacer un uso apropiado de ellos. Analizar gráficos o diagramas de situaciones dadas para identificar información específica. MÁS JUGUETES Una pequeña factoría produce dos tipos de juguetes cuadrados y redondos. El gráfico incluye los bordes de las restricciones impuestas en la producción de los juguetes. Las ecuaciones de las restricciones se pueden determinar de la siguiente tabla: Juguete cuadrado Juguete redondo Contenedores de plástico (máximo 480) 4 Litros de pintura (máximo 00) 2 Beneficio 15 8 NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 4

5 Se sabe también que el equipamiento de la factoría limita la producción de juguetes cuadrados a un máximo de 60. a) Sombrea la región factible y haz una descripción sobre lo que representa. b) Etiqueta algunos puntos en el borde de la región factible y haz una descripción de lo que estos puntos indican. c) Etiqueta algunos puntos en la región factible y describe lo que representan. d) Halla un punto en el gráfico que consideres que representa un valor para cada variable que resulta ser una solución óptima en esta situación. e) Hay puntos en la región factible que no describen valores de las variables que cumplen las restricciones? Explica. Aplicar programación lineal para hallar soluciones óptimas a problemas del mundo real. Identificar y calcular el máximo y/o el mínimo valor en un modelo de programación lineal. Analizar gráficos o diagramas de situaciones dadas para identificar información específica. Resolver sistemas de ecuaciones lineales usando los métodos de sustitución y gráfico. FACTORÍA DE JUGUETES Una pequeña factoría produce dos tipos de juguetes, redondos y cuadrados. El siguiente gráfico representa las restricciones impuestas en la producción de juguetes. Suponiendo que todos los juguetes que se fabrican se venden, cuántos de cada tipo se deben producir para que el beneficio total sea lo mayor posible? a) Explica con tus propias palabras qué se debe hacer para resolver el problema. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 5

6 b) Determina cuánto beneficio se puede obtener por los juguetes representados por los siguientes puntos, si un juguete redondo da 8 euros de beneficio y un juguete cuadrado 15 euros de beneficio. i) (50, 0) ii) (80, 40) c) Escribe una ecuación para la función objetivo. Para cada uno de los siguientes puntos, escribe y esboza la función objetivo asociada. i) (10, 20) ii) (50, 0) iii) (60, 10) Para cada uno, determina si hay otras soluciones factibles que den el mismo valor de la función objetivo. d) Describe cómo se relacionan las líneas dibujadas en c(ii) y c(iii) con la línea dibujada en c(i). e) Halla un punto en la región factible que represente valores que resulten con más beneficio que los de los puntos discutidos en los apartados a) a d) y representa gráficamente la función objetivo asociada con ellos. f) Completa la frase: la línea paralela a la función objetivo más alejada del origen.. g) Qué punto en la región factible está sobre la línea de la función objetivo más lejos del origen? h) Determina qué valor de la función objetivo está en este punto. Qué conclusión puedes extraer? i) Describe qué ocurre a la línea de la función objetivo si el beneficio hecho por cada juguete se invierte (por ejemplo, el beneficio para cada juguete redondo es 15 euros y para cada juguete cuadrado es 8 euros). j) Esboza esta nueva línea de la función objetivo, y determina qué número de juguetes redondos y cuadrados merecerán el máximo beneficio. Resolver sistemas de ecuaciones lineales usando los métodos de sustitución y gráfico. Reordenar y transformar ecuaciones. Representar ecuaciones e inecuaciones y analizar gráficos, con y sin tecnología gráfica. Resolver ecuaciones lineales, radicales simples y exponenciales e inecuaciones lineales. MÁXIMO BENEFICIO El beneficio máximo se puede determinar hallando los puntos de intersección de las líneas dadas en el problema por las restricciones. Determina el máximo beneficio para cada uno de los siguientes conjuntos de restricciones: a) Beneficio = 8x+15y 2x y 00 y 60 b) Beneficio = 15x+8y 4x y 480 2x y 00 c) Beneficio = 10a+8,5g,5 a 2,5 g a 8 g 4000 NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 6

7 d) Beneficio = 8,5a+10g a 2 g ,5 a 8,2 g 4000 e) Beneficio = 1 x + 0,55y (euros) 5 2 x y x18y 60 f) Beneficio = 5,15x+6,10y x 8 y x y 0-5 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN a) Describe con detalle el proceso algebraico de resolución de un sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 2y- y 12 b) Explica cómo usar el proceso algebraico para resolver el sistema x 5y 10 Construcción de modelos con ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y potenciales e inecuaciones lineales Soluciones óptimas de problemas de programación lineal Construcción y análisis de tablas y gráficos Uso de inecuaciones para expresar e interpretar restricciones Representación gráfica de inecuaciones con y sin tecnología gráfica Representación gráfica de tablas de valores usando tecnología gráfica y el método pendiente-ordenada en el origen Resolución de ecuaciones e inecuaciones lineales e interpretación de las soluciones Relaciones entre conjuntos numéricos Resolución de sistemas de ecuaciones lineales usando distintos métodos Transformación de ecuaciones Resolución de ecuaciones lineales, radicales simples, exponenciales e inecuaciones lineales con y sin tecnología gráfica. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 7