Problemas de programación lineal.

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1 Matemáticas 2º Bach CCSS. Problemas Tema 2. Programación Lineal. Pág 1/12 Problemas de programación lineal. 1. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 y el de la chaqueta en 40. Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima? 2. Una compañía fabrica y vende dos modelos de lámpara L 1 y L 2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L 1 y de 30 minutos para el L 2 ; y un trabajo de máquina de 20 minutos para L 1 y de 10 minutos para L 2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L 1 y L 2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. 3. Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m 3 y un espacio no refrigerado de 40 m 3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de m 3 de producto que necesita refrigeración y m 3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 y el B de 40. Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo? 4. En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30. Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? 5. Con el comienzo del curso se van a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7, respectivamente. Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio? 6. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 ; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? 7. Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 y la pequeña de 1. Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo? 8. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 y el de uno pequeño 600. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

2 Matemáticas 2º Bach CCSS. Problemas Tema 2. Programación Lineal. Pág 2/12 Soluciones 1. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 y el de la chaqueta en 40. Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima? 1.1. Elección de las incógnitas. x = número de pantalones y = número de chaquetas 1.2. Función objetivo f(x,y) = 50x + 40y 1.3. Restricciones Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: pantalones chaquetas disponible Algodón: algodón 1 1,5 750 poliéster x + 1.5y 750 2x+3y 1500 Poliéster: 2x + y 1000 Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x 0 y Hallar el conjunto de soluciones factibles Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x +3y 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0) Como entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.

3 Matemáticas 2º Bach CCSS. Problemas Tema 2. Programación Lineal. Pág 3/12 De modo análogo resolvemos 2x + y La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. éstos son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500) 2x + y = 1000; y = 0 (500, 0) 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250) 1.6. Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 50x + 40y f(500, 0) = = f(375, 250) = = Máximo La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de Una compañía fabrica y vende dos modelos de lámpara L 1 y L 2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L 1 y de 30 minutos para el L 2 ; y un trabajo de máquina de 20 minutos para L 1 y de 10 minutos para L 2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L 1 y L 2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

4 Matemáticas 2º Bach CCSS. Problemas Tema 2. Programación Lineal. Pág 4/ Elección de las incógnitas. x = nº de lámparas L 1 y = nº de lámparas L Función objetivo f(x, y) = 15x + 10y 2.3. Restricciones Necesitamos pasar todos los tiempos a la misma unidad: minutos. Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: L1 L2 Tiempo Manual Máquina Horas de trabajo manual: 20x + 30y x + 3y 600 Horas de trabajo de máquina: 20x + 10y x + y 480 Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x 0 y Hallar el conjunto de soluciones factibles Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante. La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. Éstas son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 600; x = 0 (0, 200) 2x + y = 480; y = 0 (240, 0) 2x + 3y = 600; 2x + y = 480 (210, 60)

5 Matemáticas 2º Bach CCSS. Problemas Tema 2. Programación Lineal. Pág 5/ Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos los vértices favorables. f(x, y) = 15x + 10y f(240, 0) = = 3600 f(210, 60) = = 3750 Máximo La solución óptima es fabricar 210 del modelo L 1 y 60 del modelo L 1 para obtener un beneficio de Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m 3 y un espacio no refrigerado de 40 m 3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3000 m 3 de producto que necesita refrigeración y m 3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 y el B de 40. Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo? 3.1. Elección de las incógnitas. x = camiones de tipo A y = camiones de tipo B 3.2. Función objetivo f(x,y) = 30x + 40y 3.3. Restricciones A B Total Refrigerado No refrigerado Metros cúbicos contratados refrigerados: 20x + 30y 3000 Metros cúbicos contratados no refrigerados: 40x + 30y 4000 x 0 y Hallar el conjunto de soluciones factibles

6 Matemáticas 2º Bach CCSS. Problemas Tema 2. Programación Lineal. Pág 6/ Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles Calcular el valor de la función objetivo f(50, 200/3) = /3= 4166,67 Mínimo Como x e y han de ser números naturales, esta no puede ser la solución. Hay que tomar soluciones enteras cercanas al punto mínimo. Serían (50, 67) ó (51, 66). Hay que asegurarse que las dos están dentro de la región factible sustituyendo en las inecuaciones. Sí lo están. f(50, 67) = = 4180 f(51, 66) = = 4170 Mínimo El coste mínimo son 4170 para A = 51 y B = En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30. Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? 4.1. Elección de las incógnitas. x = cantidad de compuesto X y = cantidad de compuesto Y 4.2. Función objetivo f(x,y) = 10x + 30y

7 Matemáticas 2º Bach CCSS. Problemas Tema 2. Programación Lineal. Pág 7/ Restricciones Sustancia A: x + 5y 15 Sustancia B: 5x + y 15 x 0 y 0 X Y Mínimo A B Hallar el conjunto de soluciones factibles 4.5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles Calcular el valor de la función objetivo f(15, 0) = = 150 f(5/2, 5/2) = 10 5/ /2 = 100 Mínimo El coste mínimo son 100 para X = 5/2 e Y = 5/2.

8 Matemáticas 2º Bach CCSS. Problemas Tema 2. Programación Lineal. Pág 8/12 5. Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolos de dos formas distintas; en el primer pack pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada pack serán 6.5 y 7, respectivamente. Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio? 5.1. Elección de las incógnitas. x = nº de paquetes del primer tipo y = nº de paquetes del segundo tipo 5.2. Función objetivo f(x, y) = 6.5x + 7y 5.3. Restricciones Cuadernos: 2x + 3y 600 Carpetas: x + y 500 Bolígrafos: 2x + y 400 x 0 y 0 P1 P2 Disponibles Cuadernos Carpetas Bolígrafos Hallar el conjunto de soluciones factibles Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

9 Matemáticas 2º Bach CCSS. Problemas Tema 2. Programación Lineal. Pág 9/ Calcular el valor de la función objetivo f(150, 100)= = 1675 Máximo 6. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 ; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? 6.1. Elección de las incógnitas. x = nº de lotes de A y = nº de lotes de B 6.2. Función objetivo f(x, y) = 30x + 50y 6.3. Restricciones A B Mínimo Camisas Pantalones Camisas: x + 3y 200 Pantalones: x + y 100 x 20 y Hallar el conjunto de soluciones factibles

10 Matemáticas 2º Bach CCSS. Problemas Tema 2. Programación Lineal. Pág 10/ Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles Calcular el valor de la función objetivo f(50, 50) = = 4000 Máximo Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 y la pequeña de 1. Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo? 7.1. Elección de las incógnitas. x = unidades de pastillas grandes y = unidades de pastillas pequeñas

11 Matemáticas 2º Bach CCSS. Problemas Tema 2. Programación Lineal. Pág 11/ Función objetivo f(x, y) = 2x + y 7.3. Restricciones Gramos: 40x + 30y 600; 4x + 3y 60 x 3 y 2x y Hallar el conjunto de soluciones factibles 7.5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

12 Matemáticas 2º Bach CCSS. Problemas Tema 2. Programación Lineal. Pág 12/ Calcular el valor de la función objetivo f(c)= = 12 f(e)= = 24 Máximo El máximo beneficio es de 24, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas. 8. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 y el de uno pequeño 600. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela Elección de las incógnitas. x = autobuses pequeños y = autobuses grandes 8.2. Función objetivo f(x, y) = 600x + 800y 8.3. Restricciones Plazas: 40x + 50y 400; 4x + 5y 40 Conductores: x + y 9 Pequeños: x 8 Grandes: y 10 x 0 ; y Hallar el conjunto de soluciones factibles y calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles Calcular el valor de la función objetivo f(0, 8) = = 6400 f(5, 4) = = 6200 Mínimo El coste mínimo es de 6200, y se consigue con 4 autobuses grandes y 5 pequeños.