Problemas de Maximizar

Transcripción

1 Problemas de Maximizar La Maine Snowmobile Company fabrica dos clases de máquinas, cada una requiere una técnica diferente de fabricación. La máquina de lujo requiere de 18 horas de mano de obra, 9 horas de prueba y produce una utilidad de $400. La máquina estándar requiere de 3 horas de mano de obra, 4 horas de prueba y produce una utilidad de $200. Se dispone de 800 horas para mano de obra y 600 horas para prueba cada mes. Se ha pronosticado que la demanda mensual para el modelo de lujo no es más de 80 y de la máquina estándar no es más de 150. La gerencia desea saber el número de máquinas de cada modelo, que deberá producirse para maximizar la utilidad total. Formule este problema como un modelo de programación lineal. Solución: fabricar 150 máquinas estándar y 0 maquinas de lujo La New York Auditing Inc. (NYAI) es una firma de contadores públicos especializados en preparar liquidaciones y pagos de impuestos, y también auditan empresas pequeñas del área metropolitana. El interés de NYAI ahora es saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente, de tal manera que obtengan los máximos ingresos. Se dispone de 800 horas para trabajo directo y dirección y 160 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y dirección y de 10 horas de revisión, además, aporta un ingreso de $300. Una liquidación de impuestos requiere 8 horas de trabajo directo y de dos horas de revisión, y produce un ingreso de $100. Utilizando el método que usted quiera y sobre el conjunto de soluciones posibles, encuentre la solución óptima explicando todos los pasos para encontrarla. Cuál es el valor de la función objetivo para esta solución? Solución: 80 liquidaciones y 0 auditorias. La North Carolina Weaving Industries (NCWI) tiene una planta de producción de fibras sintéticas, en la misma línea de producción procesa dos clases de fibras, la F1 y la F2 La producción en el departamento de hilandería requiere de 20 y 40 horas por cada mil libras de fibra F1 y F2 respectivamente, este departamento cuenta con una disponibilidad de horas por mes. En el departamento de estiramiento se requieren 60 y 80 horas para sacar mil libras de fibras F1 y F2 respectivamente, este departamento tiene una disponibilidad en tiempo de máquina de horas por mes. En el departamento de corte se requieren 100 horas y 60 horas para sacar mil libras de fibras F1 y F2 respectivamente, este departamento tiene una disponibilidad de horas mensuales. Las ventas limitan la producción de F1 a un máximo de libras por mes. Cuánto deberá producirse de cada fibra con el fin de maximizar las utilidades, sabiendo que las contribuciones de las fibras F1 y F2 son de $100 y $150 por cada mil libras respectivamente? Solución: F y F Utilidad de $8125 La Florida Oranges Inc. (FOI) tiene que determinar la cantidad óptima de furgones para recoger, empacar y transportar sus naranjas "super" y "comunes" cada semana. La mano de obra disponible para la recogida y empaque es de horas semanales. Para recoger, empacar y dejar un furgón cargado con naranjas super, se necesitan 30 horas y para naranjas comunes se necesitan 15 horas. La FOI tiene una cantidad máxima de dinero en caja de $ El costo de alquiler por cada proceso de carga del furgón y transporte es de $200 y $300 para naranjas comunes y super respectivamente. La utilidad por furgón es de $2.000

2 para naranjas comunes y de $2.500 para naranjas super. La FOI desea determinar la combinación óptima de furgones por tipo de naranjas que maximice la utilidad semanal. Formule el modelo de programación lineal para el problema de la FOI. Determine la mejor decisión graficando las restricciones del modelo, identificando el área de soluciones factibles y los vértices. Solución: 267 furgones naranjas comunes y 0 furgones naranjas super. La Arizona Air Conditioning Inc. (AAI) desea comenzar la producción de dos nuevos tipos de aire acondicionado, utilizando el exceso de tiempo disponible en tres líneas de producción. Esas líneas ejecutan su proceso por pasos secuenciales. Cada uno de los dos aires acondicionados tiene que pasar por las tres líneas para que el producto sea completo. El primer aire acondicionado requiere 4, 8 y 6 horas para ser procesado en las líneas 1, 2 y 3 respectivamente. El segundo aire acondicionado requiere 4, 10 y 12 horas para ser procesado en las líneas 1, 2 y 3 respectivamente. El exceso de tiempo disponible para cada mes es de 120, 240 y 360 horas en las líneas 1, 2 y 3 respectivamente. La utilidad esperada del primer aire acondicionado es de $100 y para el segundo es de $150 por unidad. El objetivo de la AAI es maximizar las utilidades. Formule el modelo de programación lineal para la AAI. Represente gráficamente las restricciones, identifique el área de soluciones factibles y determine todos los vértices. Cuál es el número máximo de aires acondicionados que se podría producir del tipo primero? y del tipo segundo? Cuál es el plan de producción óptimo para la AAI? Solución: 24 aires acondicionados de la segunda clase y 0 de la primera clase. La Texas Leather Inc. (TLI) recibe m 2 de cuero no curtido cada mes. La TLI produce cueros para sillas de montar y cubre asientos. Cada silla de montar requiere 10 m 2 de cuero, y cada cubre asiento requiere 15 m 2. Antes de que el cuero pueda ser usado para cada uno de sus productos, tiene que ser curtido completamente. El cuero que va a ser usado en sillas de montar requiere 1 hora por m 2 para ser curtido, y el de cubre asientos requiere 2 horas por m 2 para ser curtido. Se dispone de 200 horas de tiempo para curtir en la planta de la TLI en Houston. El precio de venta de cada cuero suficiente para una silla de montar es de $1.000 y el de cada cubre asiento es de $275. (a) Construya un modelo de programación lineal para la TLI. (b) Encuentre la combinación óptima de curtido de cueros para sillas de montar y cubre asientos usando el método simplex. Solución: 200 sillas de montar y 0 cubre asientos. Utilidad $ La planta de la Inhouse Electric Corporation en Dallas tiene cuatro máquinas, M1, M2, M3 y M4, las cuales son usadas para fabricar dos clases de calculadoras electrónicas, llamadas la Texas y la Oklahoma. Los requerimientos de cada calculadora de horas máquina son dados en la tabla siguiente: MÁQUINA TIEMPO POR MAQUINA Calculadora M1 M2 M3 M4 La Texas 0,5 0,5 1,0 1,0 La Oklahoma 1,0 0,5 1,0 1,5 El número de horas-máquina disponibles para cada máquina para cualquier mes en la planta de Dallas, se da en la siguiente tabla de capacidad de planta: Máquina Disponibilidad por mes (horas)

3 M1 150 M2 200 M3 250 M4 300 La contribución unitaria para la utilidad se da en la siguiente tabla: Calculadora Utilidad Unitaria La Texas $20 La Oklahoma $25 Determinar un plan de producción óptimo para la Inhouse Electric usando el método simplex. Solución: Se debe fabricar 200 calculadoras Texas y 50 Oklahoma. Utilidad $5 250 Ed Goldman, un vendedor de la Tuck Tape tiene que decidir cómo asignar sus esfuerzos entre los diferentes tipos de clientes de su territorio. El puede visitar comerciantes y clientes que compran al menudeo. Una visita a un comerciante usualmente le produce $20 en ventas, pero la visita en promedio dura 2 horas y debe manejar también en promedio, 10 millas. En una visita a un comprador al menudeo le vende $50 y requiere de unas 3 horas y 20 millas manejando el carro aproximadamente. Ed viaja trabajando como máximo 600 millas por semana en su carro y prefiere trabajar no más de 36 horas en la semana. (a) Construya un modelo de programación lineal para Ed Goldman. (b) Encuentre la combinación óptima de visitas a comerciantes y clientes al menudeo usando el método simplex. Solución: visitar 0 comerciantes y 12 compradores al menudeo. Utilidad $600 La Atomic Electric (AE) produce dos clases de generadores nucleares, el S (para submarinos nucleares) y el P (para plantas eléctricas). El generador S requiere un tiempo de 500 horas en el proceso A y horas en el proceso B. El generador P requiere horas en el proceso A y 400 horas en el proceso B. Hay una disponibilidad de horas de tiempo en el proceso A y en el proceso B por cada mes. La utilidad aportada por cada unidad producida de los generadores P y S es de $ y $ respectivamente. La AE desea tener la combinación de producción de generadores de tal manera que la utilidad por mes sea máxima. (a) Prepare un modelo de programación lineal para la AE. (b) Encontrar la combinación óptima de producción de generadores usando el método simplex. Solución: 2 generadores tipo S y 5 generadores tipo P. Utilidad $ Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7, respectivamente. Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio? Solución: 150 del primer paquete y 100 del segundo paquete. Utilidad $1675 El granjero López tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su Maiz: Utilidad: $40 por hrs. Trabajo: 2hs por hrs. Trigo: Utilidad: $30 por hrs.

4 utilidad? Cuál es ésta utilidad máxima? Trabajo: 1hs por hrs. Solución: deberá sembrar 320 hectáreas de maíz y 160 hectáreas de trigo. Utilidad $17600 Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina de 30 minutos para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. Solución: Se debe fabricar 120 Lamparas L1 y 120 Lamparas de L2. Utilidad 3000 Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este? Disponemos de euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de euros en las del tipo A y como mínimo en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros. El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas La compañía Ricas Ensaladas, fabrica dos tipos de ensaladas de frutas enlatadas. La ensalada tipo A contiene 200 gramos de papaya, 100 de piña y 700 gramos de banano. La utilidad por venta de cada lata de ensalada tipo A es de $2,80. La ensalada tipo B contiene 400 gramos de piña, 300 de papaya y 300 de banano. La utilidad por la venta de cada lata de esta ensalada es de $3,10. Ambos tipos de ensalada llevan 250 gramos de azúcar. Si se dispone de 200 kilogramos de papaya, 240 de piña, 200 de banano y 500 de azúcar. Cuánto se debe fabricar de cada tipo de ensalada para maximizar la utilidad? Para la fabricación de un juego de comedor, en una ebanistería se necesitan 25 tablillas de

5 cenízaro, mientras que para fabricar una banquilla de desayunador se necesitan 3 tablillas. Un ebanista fino demora 50 horas trabajando el juego de comedor y 2 horas en una banquilla. Actualmente es difícil encontrar ebanistas finos, solo se ha podido contratar 2000 horas por mes. Por otro lado, la madera está escaseando y solo se pueden comprar 1500 tablillas al mes. Si se conoce que cada banquilla deja una utilidad de 2000 colones y cada juego de comedor deja colones, Qué mezcla de productos recomienda usted a esta ebanistería? Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 y el de la chaqueta en 40. Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima? Solución: fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? Solución: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 y la pequeña de 1. Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo? Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 ; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? Problemas de Minimizar Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular

6 cuántos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina cuantos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo? La Lilac Vitamin Co. planea producir una cápsula de vitamina barata usando dos ingredientes básicos, X y Y. Cada unidad de X contiene 0,5 miligramos (mg) de vitamina A, 1,0 mg de vitamina B1, 0,2 mg de vitamina B2 y 0,5 mg de vitamina D. Cada unidad de Y contiene 0,5 mg de vitamina A, 0,3 mg de vitamina B1, 0,6 mg de vitamina B2 y 0,20 mg de vitamina D. El costo unitario de X es $0,30 y el de Y es $0,50. Cada cápsula tiene que contener como mínimo 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B1, 1,2 mg de vitamina B2 y 2 mg de vitamina D. (a) Construir un modelo de programación lineal para la Lilac Vitamin Company. (b) Encontrar la combinación óptima de X y Y que minimice el costo usando el método simplex. Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de Hierro, 2100 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y 15 mg de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos. Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo? Solución: el paciente debe adquirir 30 píldoras de la marca A y 120 de la marca B, con un costo mínimo de $11,40 En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30. Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?