PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN LINEAL

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1 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN LINEAL PROBLEMA DE LA PRODUCCIÓN 1.- Una fábrica elabora dos tipos de productos, A y B. El tipo A necesita 2 obreros trabajando un total de 20 horas, y se obtiene un beneficio de 1500 por unidad. El tipo B necesita 3 obreros con un total de 10 horas y el beneficio es de 1000 por unidad. Si disponemos de 60 obreros y 480 horas de trabajo, determina la cantidad de unidades de A y B que se deben fabricar para maximizar el beneficio. SOLUCIÓN En primer lugar organizamos los datos en una tabla: Obreros Horas Beneficio por unidad A B Total Ahora definimos la función objetivo ( que hay que optimizar) y el conjunto de las restricciones teniendo en cuenta que x = unidades fabricadas de A E y = unidades fabricadas de B Función objetivo F(x,y)=1500x+1000y ( hay que maximizarla) x 0 y 0 Restricciónes 2x + 3y 60 20x + 10y 480 El siguiente paso consiste en determinar la región factible y los vértices de la misma:

2 Como puedes ver la región factible es un triángulo con vértices en los puntos A =(0,20), B =(30,0) y C = (0,0) A continuación debemos evaluar la función objetivo en los vértices. Podemos utilizar el método algebraico o el método gráfico: Método algebraico Primero determinamos los vértices, resolviendo los sistemas: x = 0 Vértice A es la solución del sistema A = ( 0,20) 2x + 3y = 60 y = 0 Vértice B es la solución del sistema B= ( 30,0) 2x + 10y = 480 x = 0 Vértice C es la solución del sistema C = (0,0) y = 0 Calculamos F(0,20), F(30,0) y F(0,0): F(0,20)=20000 F(30,0)=45000 F(0,0)=0 Como queremos maximizar la función F(x,y) ( beneficio máximo) debemos elegir el vértice B. Por tanto la solución será la fabricación de 30 unidades del producto A y ninguna del producto B. Método gráfico Buscamos los valores de x e y que maximicen la función F(x,y), es decir que el valor k=f(x,y) sea máximo. Como puedes observar en el dibujo, la recta 1500x+1000y=k ( donde k R) alcanza su valor máximo en el vértice B, es decir, fabricando 30 unidades del producto A y ninguna del producto B.

3 2.- Una fábrica de conserva tiene 800 kg de guisantes para conservar en dos tipos de latas. La lata pequeña contiene 200 gr y aporta un beneficio de 10 céntimos por lata. La lata grande contiene 500 gr y el beneficio es de 30 céntimos por lata. Si en el almacén sólo disponen de 2000 latas de tamaño pequeño y 1000 latas del tamaño grande, determina la cantidad de latas de cada tamaño que tenemos que producir para maximizar el beneficio. SOLUCIÓN Primero planeamos la tabla con los datos del problema: Contenido Nº de latas Beneficio por lata Pequeña 200gr ,10 Grande 500gr ,30 800kg Función objetivo: F(x,y)= 0 1x + 0,3y Conjunto de restricciones: 0'2x + 0'5 y x y 1000 Dibujamos la región factible, con sus vértices:

4 Método algebraico Determinamos los vértices de la región factible como intersección de las respectivas rectas: A= (0,1000) B=(1500,10000) C=(2000,800) D=(2000,0) E=(0,0) Evaluamos el valor de la función objetivo en cada vértice: F(2000,0)=200 F(0,0)=0 F(0,1000)=300 F(1500,1000)=450 F(2000,800)=440 Por tanto el beneficio se hace máximo si fabricamos 1500 latas pequeñas y 1000 latas grandes. Método gráfico Como podeis ver en el gráfico, la función F(x,y) se hace máxima en el vértice B, es decir cuando se producen 1500 latas pequeñas y 1000 latas grandes.

5 PROBLEMA DE LA DIETA 3.- Un veterinario desea dar a sus animales una dieta que contenga un mínimo de 30 unidades de pienso tipo A y 20 unidades de pienso tipo B. En el mercado se encuentran dos productos P1 y P2, que se elaboran con dichos piensos. Cada bolsa de P1, que cuesta 2 50, contiene 4 unidades del tipo A y 2 unidades de b, mientras que cada bolsa de P2, cuyo coste es de 3 25, contiene 5 unidades de A y 5 unidades de B. Qué cantidad de P1 y P2 deberá comprar para que la dieta sea de coste mínimo? SOLUCIÓN Definimos las variables: x= unidades del producto P 1 y= unidades del producto P 2 Tabulamos los datos del problema: P 1 P 2 Totales Tipo A Tipo B Precio 2,5 3,25 Definimos la función objetivo F(x,y)=2,5x+3,25y 4x + 5y 30 2x + 5y 20 Definimos el conjunto de las restricciones: x 0 y 0 Determinamos la región factible y sus vértices:

6 A = ( 0,6 ) B = ( 5,2 ) C = ( 10,0) y la región factible es la zona azul oscuro. Como puede verse es no acotada. Método algebraico Evaluamos la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible: F(0,6)=0,27 F(5,2)=0,24 F(10,0)=0,3 A raíz de estos resultados, como buscamos minimizar el coste elegiremos la opción B, es decir 5 bolsas del producto P 1 y 2 bolsas del producto P 2 Método gráfico De la familia de funciones F(x,y)=k ( todas ellas son rectas ) elegimos aquella que minimice la función F(x,y) Como puede verse en la gráfica la solución está en el vértice B, es decir cuando el veterinario compre 5 bolsas de P 1 y 2 bolsas de P 2.

7 4.- Los animales de una granja deben tomar, al menos, 60 mg de vitamina A y, al menos, 90 mg de vitamina B. Existen dos compuestos con estas vitaminas. El compuesto X contiene 10 mg de vitamina A y 15 mg de B, y cada dosis cuesta El compuesto Y contiene 10 mg de cada vitamina, y cada dosis cuesta Además, se recomienda no tomar más de 8 dosis diarias. Calcula qué dosis tiene que tomar para que el coste sea mínimo. SOLUCIÓN Definimos las variables: x=dosis del compuesto X y=dosis del compuesto Y Construimos una tabla con los datos del problema: VitamA VitamB Precio/dosis X 1omg 15mg 0 50 Y 10mg 10mg Definimos la función objetivo F(x,y) = 0 5x+ 3y que deberemos minimizar 10x + 10y 60 15x + 10y 90 Ahora definimos el conjunto de las restricciones: x 0, y 0 x + y 8 y dibujamos la región factible:

8 Como puede verse en el dibujo, la región factible está acotada y los vértices son A= ( 6,0 ), B = ( 8,0 ) y C = ( 2,6 ) Método algebraico Evaluamos la función objetivo en cada vértice: F( 6,0 ) =3 F( 8,0) = 4 F( 2,6) = 2,8 Por tanto tomamos el valor que minimiza la función objetivo, el vértice C. Luego debe tomar 2 dosis del compuesto X y 6 dosis del compuesto Y Método gráfico Consideramos la familia de funciones F( x,y ) = k. Como puede verse en el dibujo el vértice que corresponde con la solución es el C: Por tanto hay que tomar 2 dosis de X y 6 dosis de Y

9 PROBLEMA DEL TRANSPORTE 5.- Dos yacimientos de plata, A y B, extraen al año 2000 toneladas y 3000 toneladas de mineral, respectivamente. Deben distribuirse a tres puntos de elaboración C, D y E, que admiten 500 T, 3500 T y 1000 T de mineral, al año, respectivamente. El coste del transporte, en miles de euros por tonelada es : COSTE C D E A B 15 17,50 20 Cómo ha de distribuirse el mineral para que el transporte sea lo más económico posible? SOLUCIÓN Definimos las variables: x = toneladas de mineral A que se elabora en C y = toneladas de mineral A que se elabora en D 2000-(x+y) = toneladas de mineral A que se elabora en E Entonces: CANTIDADES C(500T) D(3500T) E(1000T) A ( 2000 T ) x y 2000-(x+y) 2000 x + y B ( 3000 T ) 500-x 3500-y [ ( )] Definimos ahora las restricciones: x 0, 500 x 0 y 0, 3500 y ( x + y) 0 x + y Por tanto, la región factible es :

10 Definimos ahora los vértices A = ( 0,2000 ) D = ( 0,1000 ) C = ( 500,500 ) B= ( 500,1500 ) La función objetivo es : F(x,y)=suma de los 6 transportes = ,5(2x+y) Para que la función objetivo se minimice, 2x+y debe maximizarse. Por ello evaluamos el comportamiento de la familia de rectas 2x+y=k Como puede verse en la gráfica, el valor máximo de 2x+y se alcanza en el vértice B, por tanto la distribución de material es:

11 C D E A B Y el coste correspondiente será F(500,1500) = ,5( ) = 90 millones de