UNIDAD III. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

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1 UNIDAD III. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Objetivo de la unidad: El alumno resolverá problemas utilizando la programación lineal y de proyectos para sugerir cursos de acción de mejora en las empresas turísticas Tema 2. Programación lineal Objetivo de aprendizaje: SABER: Describir el procedimiento de solución gráfica en problemas de minimización y maximización. Identificar los casos especiales de solución: soluciones óptimas alternativas, solución no factible e ilimitada. Describir el uso del software especializado WinQSB o The Management Scientist en problemas de programación lineal. SABER HACER: Resolver problemas de programación lineal mediante el método gráfico y el uso de software especializado WinQSB o The Management Scientist. Interpretar los puntos extremos y la solución óptima de problemas de programación lineal. Es una técnica matemática que se ha usado con éxito en la solución de problemas referentes a la asignación personal, la mezcla de materiales, la distribución y el transporte y las carteras de inversión. Formular el problema La primera actividad que se debe realizar es el estudio del sistema relevante y el desarrollo de un resumen bien definido del problema que se va a analizar. Esto incluye: Determinar los objetivos apropiados Las restricciones Las interrelaciones Los diferentes cursos de acción Límites de tiempo para tomar una decisión. Los modelos matemáticos también son representaciones idealizadas, pero están expresadas en términos de símbolos y expresiones matemáticas. El modelo matemático de un problema industrial es el sistema de ecuaciones y expresiones matemáticas relacionadas que describen la esencia del problema Programación lineal La programación lineal es una técnica matemática ampliamente utilizada, diseñada para ayudar a los administradores, en la planeación y toma de decisiones relativas a la negociación necesaria para asignar recursos. Requisitos para formular un problema de programación lineal Todos los modelos de programación lineal deben tener: Variables Función objetivo Restricciones No negatividad A continuación veremos un problema, el cual se coloca en un taller de EXCEL con su respectivo video explicativo. Adicionalmente veremos videos del método gráfico y del simplex. Construcción de un modelo matemático Elaboró: Ing. Marcel Ruiz Martínez. 1

2 Ejemplo 1: Un negocio se dedica a la fabricación de sillas y mesas ; fabricar cada uno consume una determinada cantidad de tiempo (en horas) de los departamentos corte y ensamble. Los departamentos tienen disponibles una limitada cantidad de horas de trabajo: 120 horas para corte y 90 horas para ensamble. Cada uno de los productos ofrecen a la empresa la siguiente contribución: $50 USD para las mesas y $80 USD para las sillas. La información anterior, mas los consumos de tiempo de cada producto se resumen en la siguiente tabla: Proceso Consumo de tiempo por cada unidad de producto, horas Mesas Sillas Tiempo disponible en cada departamento, horas Corte Ensamble Contribución del producto $50 $80 Se pide lo siguiente: Programar la combinación óptima de productos (cuantas sillas y mesas producir) para obtener la ganancia máxima (o la contribución máxima) Solución: Primero debemos definir el objetivo del problema: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS. A continuación debemos darnos cuenta que hay dos variables de decisión (cuantas mesas y sillas producir), que podemos manipular para lograr el objetivo de MAXIMIZAR LAS GANANCIAS. Entonces las variables de decisión son: x 1 = mesas a producir x 2 = sillas a producir Ahora debemos encontrar la función objetivo, si el objetivo es MAXIMIZAR LAS GANANCIAS, la función objetivo debe representar las ganancias. Ganancia total (z) = ganancia mesas + ganancia sillas Ganancia total (z) = $50x + $80x 1 2 Entonces queda la siguiente FUNCIÓN OBJETIVO: z = $50x 1 +80x 2 Si el dueño del negocio pudiera aumentaría las ganancias al infinito y más allá; pero no puede Por qué? Lo detendrá algo que se conoce como RESTRICCIONES. En este problema cuáles son las restricciones? Hay recursos limitados y es la cantidad de tiempo disponible para cada departamento. Es decir: Recursos consumidos Recursos TOTALES disponibles Tiempo consumido en corte Tiempo consumido en ensamble Tiempo disponible en corte Tiempo disponible en ensamble Dado que tenemos los consumos unitarios de cada unidad de producto fabricada x 1 = mesas, x 2 = sillas. Si se producen por ejemplo 2 mesas y 1 silla, el departamento de corte habría consumido: Proceso Consumo de tiempo Tiempo Mesas Sillas consumido Corte 1(2) + 2(1) = 4 horas Elaboró: Ing. Marcel Ruiz Martínez. 2

3 Por lo tanto las restricciones son: Departamento Consumido Es menor Disponible o igual Corte x 1 +2x 2 <= 120 Ensamble x 1 + x 2 <= 90 Entonces las RESTRICCIONES son: x 1 +2x 2 <= 120 x 1 + x 2 <= 90 El modelo completo queda: VARIABLES DE DECISIÓN: x 1 = mesas x 2 = sillas FUNCIÓN OBJETIVO: z = $50x 1 +80x 2 RESTRICCIONES: x 1 +2x 2 <= 120 x 1 + x 2 <= 90 PLANTEAR ECUACIONES: Como complemento al problema anterior puedes repasar este video, indica como plantear ecuaciones en un modelo de programación lineal: Método gráfico. Una forma de solución que se sigue enseñando solo con fines académicos ya que tiene pocas aplicaciones industriales pero es un excelente auxiliar para comprender conceptos difíciles de entender solo con números, es el método gráfico; dado que a muchas personas les gustan mas las gráficas que solo ver números. Típicamente se puede usar el WINQSB como herramienta indiscutible para aplicar dicho método, pero dado que el sistema operativo WINDOWS 7 de 64 bits no lo acepta tendremos que usar un sistema que acepte cualquier computadora, para lo cual usaremos la página PHP Simplex George Bernard Dantzig. Consultado: 7/jul/2010 creado: 7/jul/2010. Ve los siguientes videos para el método simplex: 1. A mano. Ve el video explicativo de cómo hacer el método gráfico a mano Complemento. Video complementario del método gráfico. Uso del SOLVER en EXCEL A continuación descarga el archivo de EXCEL que contiene el problema que acabamos de ver y otro de manufactura. Ve el video explicativo del tema y de cómo se resuelve el taller usando la función SOLVER en EXCEL. Elaboró: Ing. Marcel Ruiz Martínez. 3

4 Método simplex (este método quedará como aprendizaje opcional) Es un procedimiento matemático que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera (definidos en el método gráfico), se busca sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor óptimo en un vértice, entonces toma el siguiente para probarlo. Método simplex Revisa los siguientes ejemplos del método simplex NOTAS TÉCNICAS: Para capturar una imagen de pantalla: FN + IMP PNT Ejercicio adicional: La Shader Electronic Company produce dos "artículos" o dos "equipos": (1) el walkman Shader, un toca 2 cassettes con AM/FM portátil, y (2) la watch TV Shader, un televisor blanco y negro del tamaño de un reloj de pulsera. El proceso de producción es similar para cada uno, ambos necesitan un cierto número de horas de trabajo electrónico y un número de horas en el departamento de ensamble. Cada walkman lleva 4 horas de trabajo electrónico y dos horas en el taller de ensamble. Cada Watch TV requiere de 3 horas de electrónica y una hora de ensamble. Durante el presente periodo de producción, están disponibles 240 horas de tiempo de electrónica y 100 horas del departamento de ensamble. Cada walkman aporta una utilidad de 7 dólares; cada; Watch TV puede ser vendida para obtener una utilidad de 5 dólares. El problema de Shader es determinar la mejor combinación posible (mezcla de productos) de walkmans y watch TV, para fabricarlos de manera que se obtenga la máxima utilidad. Esta situación de mezcla de producción puede ser formulada como un problema de programación lineal. QUIERES MÁS??? Si te has enamorado del tema te recomiendo más ejercicios: Problema de dieta. Árboles frutales. Después se le coloca CTRL + V para pegarla en WORD o EXCEL Elaboró: Ing. Marcel Ruiz Martínez. 4

5 Actividad 3.2. Programación lineal En una empresa que fabrica ensambles mecánicos (tipo A y tipo B) desea aprovechar las unidades sobrantes de materia prima (conectores y tubos) para hacer dichos ensambles. En la tabla siguiente se proporcionan los datos necesarios. Materia prima Ensamble tipo Unidades A B Disponibles Conector Tubo La empresa gana por el ensamble tipo A $10 USD y por el tipo B $12 USD. a) Determine cuales son las variables de decisión (x 1 y x 2 ) b) Escriba la ecuación que representa la función objetivo (z =?) c) Escriba las restricciones del problema. d) Determine la solución óptima usando SOLVER de EXCEL (deberá enviar el archivo de EXCEL como evidencia adjunta). e) Resuélvalo usando el método gráfico (puede ser por PHP o WINQSB), deberá reportar en el archivo en WORD la impresión de pantalla (CTRL + imp pnt) para lograr contestar este inciso. Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS, siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección: Enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelusoacademico@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz2002@yahoo.com.mx con copia a usted mismo. En asunto colocar: ACTIVIDAD 3.2 PROGRAMACION LINEAL Elaboró: Ing. Marcel Ruiz Martínez. 5