PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL CONTINUA

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1 PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL CONTINUA 1. Sea el problema: Max. 3 x x x 3 + x 4 s.a. 4 x x x 3 + x x 1 + x x x 4 6 x 1 6, 0 x 2 3, x 3 libre, x 4 0 a) Ponerlo en forma estándar. b) Ponerlo en forma canónica. c) Resolverlo. 2. Considere los problemas: 2.1. Max. 3 x x 2 x 3 s.a. x x 3 = 50 2 x 1 3 x 2 12 x 1 0, x 2-5, x 3 libre 2.2. Min. x + y s.a. x + y 1 2 x y = 3 x, y libres a) Obtenga su forma estándar b) Realice la fase 1 para obtener una solución básica inicial

2 3. Resolver el siguiente problema: Max. 2 x 1 - x 2 s.a. - 2 x 2 - x 3 1 x 1 + x 2 + x x 2 - x 3 = 2 x 1 0, x 2 libre, x Max. 2 x 1 + x 2 s.a. 5 x 1 + 3x 2 = 6 2 x 1 + x 2 = 2 x 1, x 2 0 Resolver el problema propuesto usando el método de las dos fases. Hacer los comentarios oportunos acerca de la solución del mismo. En caso de empate pivotee en un elemento de la segunda fila. 5. Dado el problema: Max. - x 1 - x 2 s.a. x 1 + 3x x 1 + x 2 10 x 1, x 2 0 1) Resolverlo aplicando Fase I y Fase II (por forma matricial del simplex). 2) Qué valor deberían tomar los coeficientes de la función objetivo de las variables no básicas para poder introducirlas en la base? Calcule dichos valores. Hay alguna relación entre estos nuevos valores y la última fila de la tabla final? 6. Sea un problema lineal en el que intervienen las cinco variables y tres restricciones. a) Escríbase una tabla genérica de manera que sea el único óptimo la solución x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 4, x 4 = 0 y x 5 = 0 y la función objetivo valga 9. b) Escríbase la tabla de manera que sea óptima la solución del apartado a) y que, además, deben existir soluciones alternativas con x 1, x 2 y x 4 básicas. c) Que en el óptimo x 1, x 2 y x 3 sean básicas con valores (2,1,4), la función objetivo valga 9 y que existan soluciones óptimas alternativas con coordenadas tan grandes como se quiera para las variables x 1, x 2, x 3 y x 4. d) Idem, en cuanto al número de variables y restricciones pero el problema sea no acotado en la función objetivo. e) En el apartado a) describa x 2 / x 4 y Z/ x 5. Explique sus significados

3 7. Sea un problema lineal de minimizar la función objetivo, en el que intervienen seis variables y tres restricciones. a) Construya una tabla del simplex que represente el vértice x * = (3,5,0,0,0,0) en la que haya un coste relativo negativo, pero a pesar de ello la solución admisible x * = (3,5,0,0,0,0) sea óptima. b) Construya una tabla del simplex en la que la solución admisible x = (4,6,7,1,0,0) sea solución óptima. c) Para la tabla que construya en b) discuta el significado de la expresión genérica x i / x k en el contexto de la programación lineal aplicándolo a dicha tabla. Escriba los valores numéricos que toma dicha expresión x i / x k en la tabla, para las variables x i y x k para las que tenga sentido la expresión, interpretándolos. 8. Sea el problema siguiente: Min. 3/2 x 1 + x 2 s.a. -x x 2 4 x x 2 = 2 x 1, x 2 0 a) Resuelva el problema. b) A partir de la forma matricial del simplex, identificar la matriz básica en el óptimo y calcular la inversa. Obténganse las nuevas soluciones óptimas para los vectores b = (-2,-1) y b = (-1,1). Aplique el método simplex-dual si es necesario. Discuta si las soluciones son únicas o no, degeneradas o no. 9. Considérese la tabla del simplex que corresponde a la solución óptima de un problema de minimización con restricciones originales de. Tabla x 1 x 2 x 3 x 4 h 1 h 2 h 3 b / / / / a) Describa la solución óptima del problema

4 b) Siendo Z la función objetivo, encontrar Z/ h 1. c) Calcular x 1 / h 3. Interpretar verbalmente el resultado. d) Existen soluciones óptimas alternativas? Describa todas ellas en caso de que existan. e) Suponiendo que la tabla escrita corresponda al problema original de minimizar cx, sujeto a Ax=b, con las variables no negativas (donde las variables h i ya no son holguras sino variables propias del problema), describa el rango de valores de b 1 (que en la tabla original es 2) para los que se mantiene la solución óptima actual. f) Para la misma interpretación de la tabla que en el apartado anterior, describa el rango de valores del coste marginal c 4 asociado a la variable x 4 (que inicialmente es 3), de forma que se mantenga la solución óptima actual. 10. Dado el problema Min. x 1 + x x x 4 + x 5 s.a. 2 x 1 x 3 + x 4 + x 5 = 2 x 1 + x 2 x x 4 + x 5 = 1 x 1 + x 3 x 5 = 3 x j 0 En la solución óptima las variables básicas son x 1, x 2 y x 3, es decir: 2 B = donde B -1 = Resolver el problema primal. Formular el dual y resolverlo. Resolver el problema original si b pasa a valer (5, 1, 3). Caso de ser necesaria alguna iteración aplicar el algoritmo símplex-dual. Resolver el problema original si c pasa a valer (1, 1, 2, 10, -3). Caso de ser necesaria alguna iteración aplicar el símplex a partir de la tabla de la solución óptima del apartado a). Idem con c = (1, 1, 2, 4, 1)

5 11. Considere el problema Min -5x 1-8x 2 s.a. 5x 1 + 2x 2 5 x 1 + 2x 2 4 4x 1 + 6x 2 12 x 1, x 2 0 cuya tabla óptima es, x 1 x 2 h 1 h 2 h 3 b a) Identifique x B, el vector de las variables básicas en el óptimo. Identifique B, la matriz de vectores de las variables básicas en los datos iniciales y c B, el vector de costes iniciales de las variables básicas. Identifique B -1 en la tabla final. Escriba el problema dual. Identifique una solución óptima del problema dual. Todo ello sin realizar operaciones. b) A partir del problema inicial, en el caso de que el coste de x 1 pase de ser -5 a ser -3, actualice la solución óptima del problema. Si requiere iteraciones utilice el algoritmo simplex. c) Se ha realizado una modificación en los costes del problema primal inicial que conduce a la nueva tabla óptima. Describa la modificación que se efectuó. x 1 x 2 h 1 h 2 h 3 b Considérese el problema: Max. x x 2 x 3 s.a. 2 x x /3 x x x 2 + x 3 = 18 x 1 5, x 2 0, x 3 0 a) Póngase en forma estándar. b) Aplíquese la fase 1 para obtener una solución básica admisible inicial

6 c) Resuelva el problema aplicando el método símplex. d) Formule el problema dual. e) Puede saberse la solución óptima del problema dual escrito en el apartado d) a partir de la última tabla del símplex, correspondiente a la solución óptima del primal? Puede saberse al menos el valor óptimo de alguna de las variables del problema dual? Por qué?. f) Obtenga el valor óptimo de la (o las) variables del dual que no se conozcan en el apartado e) sin necesidad de resolverlo. g) Cuál es la solución óptima del primal si la función objetivo es max. x x x 3?. Emplee la representación matricial del símplex para comprobar si la solución anterior sigue siendo óptima. Parta de la actualización de dicha tabla final para continuar con el símplex en las iteraciones que pueden ser necesarias en la obtención del nuevo óptimo. h) Lo mismo que en el apartado g) pero cambiando el vector de restricciones a (b 1, b 2 ) = (30, -9). Empléese el método símplex-dual si son necesarias más iteraciones. Recuérdese que x 1 5. Nota: en los apartados g) y h) parta del problema original. 13. La aplicación del método símplex a la resolución del problema Max. 4 x x x x 4 s.a. x 1 + x 2 + x 3 + x x x x x x x x x x i 0 da lugar a la siguiente tabla óptima: x 1 x 2 x 3 x 4 h 1 h 2 h 3 b 1 5/7 0-5/7 10/7 0-1/7 50/7 0-6/7 0 13/7-61/7 1 4/7 325/7 0 2/7 1 12/7-3/7 0 1/7 55/7 0 3/7 0 11/7 13/7 0 5/7 695/7 a) Identifique la solución óptima del problema dual, el valor de la función objetivo en el óptimo y que ecuaciones se cumplen con signo de igualdad en el primal y en el dual. b) Si c = (3, 5, 9, 11), calcular la solución óptima de ambos problemas. c) Cambiando b = (9, 120, 100) repetir el apartado anterior

7 d) Y si A 2 = 1 7 5? 14. Considere el problema Max. 5 x x 2 s.a. 5 x x 2 5 x x x x 2 12 x 1, x 2 0 cuya tabla óptima es x 1 x 2 h 1 h 2 h 3 b / Dado que el problema primal es degenerado, el problema dual tiene soluciones óptimas alternativas. Calcule la solución óptima del dual y todas las soluciones óptimas alternativas. Para ello no emplee el método símplex aplicado al problema dual ni el método símplexdual. Realícelo mediante las condiciones de complementariedad entre las soluciones óptimas primales y duales. Específicamente: Modele el problema dual. Escriba la relación entre costes relativos de las variables en el dual y holguras de las ecuaciones del primal. Escriba que variables del dual son básicas y cuales no. Observe que variable no básica del dual tiene coste relativo nulo. Escriba las relaciones del dual interviniendo solo las variables del dual con coste relativo nulo. Escriba la ecuación de la arista óptima del dual como combinación convexa de sus puntos extremos. Indique que variables del dual son óptimas en cada uno de los extremos de la arista óptima

8 15. Una empresa textil puede producir tres productos (x 1, x 2, x 3 ). Su plan de producción para el mes siguiente debe satisfacer las restricciones x x x x x 2 + x 3 f x j 0 La primera restricción está determinada por la disponibilidad del equipo y es fija. La segunda restricción está determinada por la disponibilidad de algodón. Los beneficios netos unitarios de los productos son 2, 3 y 3, respectivamente, sin tener en cuenta el coste del algodón y los costes fijos. a) Halle el precio indicativo λ 2 del algodón como una función de f. (Sugerencia: utilice el método símplex dual). Evalúe los valores de la variable del dual λ 2 (f). Evalúe el beneficio neto Z(f), sin tener en cuenta el coste del algodón. Represente gráficamente el beneficio neto Z(f) en función de f. En el mismo gráfico, represente el valor de λ 2 (f). b) La empresa puede comprar algodón en el mercado libre al precio de 1/6 u.m./unidad. Además, puede adquirir una cantidad limitada S a un precio de 1/12 u.m./unidad de un proveedor con el que mantiene una relación especial. Determine el beneficio neto óptimo de la empresa π(s), como una función de S, teniendo en cuenta el coste del algodón. Represente gráficamente el beneficio neto óptimo π(s) en función de S. 16. Considere el problema primal Min. -5x 1-8x 2 s.a. 5 x x 2 + h 1 = 10 x x 2 + h 2 = 4 4 x x 2 + h 3 = 14 x 1, x 2, h 1, h 2, h 3 0 cuya tabla con costes relativos positivos, pero que corresponde a una solución inadmisible es, x 1 x 2 h 1 h 2 h 3 b (1/2)

9 El dual puede escribirse como max λb, sujeto a λa c, λ libre. A la solución de la tabla le corresponde una solución admisible para el dual λ 0. En este caso, el método simplex-dual, donde λ N = λ 0 - Y 1, siendo Y 1 = (1, 11, -4) la primera fila de la matriz inversa de la formada por los vectores columna de las variables básicas (h 1, x 2, x 1 ) y > 0, es adecuado. Se le pide a usted que considere una modificación del método simplex-dual (nos referimos a él como MSD) a partir de otra fila de la inversa: la definición de la nueva solución admisible para el dual es λ N = λ 0 + Y 2, siendo Y 2 = (0, 2, -1/2) la segunda fila de la matriz inversa de la formada por los vectores columna de las variables básicas (h 1, x 2, x 1 ) y > 0. a) Describa λ 0. Justifique que la dirección elegida es adecuada, pues la función objetivo del dual mejora en 1. b) El algoritmo MSD selecciona el mayor valor positivo de, que mantiene la admisibilidad en el dual para λ N. Sea ese valor *. El algoritmo emplea como nueva solución admisible para el dual λ N = λ 0 + * Y 2. Para determinar * calcule las nuevas holguras del dual para λ N en función de las antiguas holguras del dual con λ 0 (las que aparecen en la tabla) y de. c) Aplique el método MSD en la tabla del símplex del enunciado mediante el método que ha desarrollado. Cuál es el valor de * que le resulta? Cuál es la nueva λ N? Cuál es la correspondiente solución admisible del primal para λ N? d) Generalice el resultado a la elección de dirección de modificación de la solución admisible para el dual λ N = λ 0 + * Y i, siendo Y i la fila i-ésima de la inversa. Discuta el resultado general en base a la elección de Y i. 17. Considere el problema primal Max 5x 1 + 8x 2 s.a. 5x 1 + 2x 2 5 x 1 + 2x 2 4 4x 1 + 6x 2 12 x 1, x 2 0 cuya tabla óptima, que corresponde a una solución degenerada es, x 1 x 2 h 1 h 2 h 3 b

10 El dual puede escribirse como min λb, sujeto a λa c, λ 0. Llamando h i a las holguras de las restricciones del primal e y j a las holguras de las restricciones del dual, conteste a las siguientes preguntas: 1. Escriba explícitamente el problema primal con sus holguras h i y las restricciones como igualdades. Haga lo mismo con el problema dual, incluyendo las holguras y j así como las restricciones escritas con igualdades. Exprese la solución óptima del problema dual correspondiente a la solución óptima del primal de la tabla indicando los valores de las variables λ i e y j. Indique cuales de las variables λ i e y j son variables básicas y cuales no, expresando sus costes relativos. 2. Identifique que variable no básica del dual tiene coste relativo nulo. Explique que conjunto de variables del dual pueden ser simultáneamente positivas sin que la solución deje de ser óptima para el dual. Escriba la ecuación de la arista del dual a partir del vértice óptimo del dual que corresponde a la solución óptima de la tabla del primal que se incluye. Escriba el otro vértice óptimo de la arista. Escriba el conjunto de soluciones óptimas alternativas del dual como combinación convexa de ambos vértices óptimos. Nota: El enfoque de la contestación a esta pregunta debe evitar el uso de los métodos simplex primal, simplex-dual y el simplex aplicado directamente al problema dual. 18. A. Considere un problema lineal cuya tabla inicial para la fase 1 tiene la estructura que se muestra, que proviene de que la tercera restricción tenga signo de igualdad. x 1 x 2 x 3 h 1 h 2 w 3 b 1. Construya una tabla del final de la fase 1 en la que se muestre que el problema original es compatible y tiene un vértice admisible x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 0, h 1 = 0, h 2 = 4. Argumente el coste relativo que deben tener todas las variables en dicha tabla. 2. Construya una tabla del final de la fase 1 en la que se muestre que el problema original es incompatible. B. Considere ahora un problema lineal cuya tabla inicial para la fase 1 tiene la estructura que se muestra, que proviene de que la tercera y cuarta restricción tengan signo de igualdad

11 x 1 x 2 x 3 h 1 h 2 w 3 w 4 b 1. Construya una tabla del final de la fase 1 en la que se muestre que el problema original es compatible y tiene un vértice admisible x 1 = 2, x 2 = 0, x 3 = 1, h 1 = 3, h 2 = 0. Además, se observa que una de las cuatro restricciones es redundante. Argumente los costes relativos de todas las variables. 19. Considere los problemas primal y dual a partir de la forma estándar del primal, min cx s a. Ax b x 0 min cx s a. Ax + Ih = b x, h 0 max λb s a. λa c λ 0 max λb s a. λa + I H = c λ 0, H 0 dual En este ejercicio el problema primal correspondiente a la estructura de la tabla que se muestra. x 1 x 2 x 3 h 1 h 2 h 3 b 1. Escriba una tabla que refleje la solución óptima del primal que corresponde al vértice x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, h 1 = 0, h 2 = 0, h 3 = 1. Y la solución óptima del dual compuesta por H 1 = 1, H 2 = 0, H 3 = 0, λ 1 = -1, λ 2 = -2, λ 3 = Escriba una tabla que refleje la solución de un vértice no óptimo del primal que corresponde a otro vértice del enunciado original con x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 0, h 1 = 1, h 2 = 0, h 3 = 0. Y la solución correspondiente del dual (λ = c B B -1 ) compuesta por H 1 = 0, H 2 = 0, H 3 = -1, λ 1 = 0, λ 2 = +2, λ 3 = -1. Realice una iteración de forma que alcance el óptimo. Se le pide ahora la construcción de una tabla canónica inicial siguiendo instrucciones y la realización de iteraciones mediante el algoritmo simplex-dual. La tabla canónica inicial debe tener todos los costes relativos no negativos, por lo que la solución básica que contiene es en ese sentido, óptima. Sin embargo, se le pedirá que sea inadmisible, con alguna variable negativa

12 3. Mostrando la solución básica inadmisible del primal x 1 = 6, x 2 = 0, x 3 = 1, h 1 = 0, h 2 = 0, h 3 = -2. Y la solución correspondiente del dual (λ = c B B -1 ) compuesta por H 1 = 0, H 2 = 2, H 3 = 0, λ 1 = -1, λ 2 = -4, λ 3 = Aplique una iteración del método simplex-dual a la tabla del apartado anterior, de forma que alcance la solución óptima del primal x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 3, h 1 = 2, h 2 = 0, h 3 = 0. Señale las variables básicas y las no básicas. Y que la solución correspondiente del dual (λ = c B B -1 ) esté compuesta por H 1 = 0, H 2 = 3, H 3 = 0, λ 1 = 0, λ 2 = -6, λ 3 = -1. Aplique una iteración del método simplex-dual a la tabla del apartado anterior, de forma que pueda calcular todas las soluciones óptimas alternativas del problema dual. Escriba el vértice óptimo nuevo y la expresión explícita de todas las soluciones óptimas del dual. 20. Considérese el problema modelado de la siguiente forma: Max. x 1-3 x 2 x 3 s.a. 2 x x /3 x x x 2 + x 3 = 18 x 2 0, x 3 0, x Plantee claramente el problema en las formas estándar y canónica. 2. Encuentre una solución admisible inicial del problema. A continuación encuentre la solución óptima del modelo aplicando Simplex Primal. 3. Compruebe si la solución anterior sigue siendo óptima para la nueva función objetivo Max x x Busque el nuevo óptimo si así fuera necesario. 4. A partir de la forma canónica en el óptimo obtenida en el apartado 2, Compruebe si la solución sigue siendo óptima en caso que x 2 fuera una variable libre. Actualice para ello la tabla óptima a esta nueva situación empleando para el menor esfuerzo posible. Intente proporcionar una nueva solución óptima si fuera necesario. 21. La fabricación de ciertos productos (x 1, x 2, x 3 ) tiene unos beneficios en el mercado de (100, 200, 300) respectivamente. En su fabricación se emplean: materia prima (MP), líquido refrigerante (LR) y lubricante (LU). Disponiéndose de un total de 1000 kgs de MP, 100 litros de LR y 50 litros de LU. Siendo la cantidades necesarias para la fabricación de cada tipo de producto las siguientes: Para x 1 : 25 kgs de MP, 1 litro de LR y ½ litro de LU. Para x 2 : 15 kgs de MP, 2 litros de LR y 1 litro de LU. Para x 3 : 100 kgs de MP, 5 litros de LR y 10 litros de LU. Teniendo en cuenta que una solución admisible no óptima del problema es: ( x, x, x,sobrante de MP,sobrante de LR,sobrante de LU) ( 0, 0, 5, 500, 75, 0) =

13 Se pide: max 1. Formule el problema indicado como un problema del tipo s. a. cx Ax = b x 0 2. Formule su correspondiente problema dual como un problema del tipo min λb s. a. λa c λ libre 3. Determine como valoraría los recursos asociados a la solución básica admisible señalada. 4. A partir del apartado anterior, si decidiera ahora fabricar producto 1 adicionalmente, cómo valora esa opción? Compárela con el beneficio que el producto le proporciona en el mercado. Qué decidiría en tal caso? 5. Teniendo en cuenta que la siguiente solución es óptima: * * * * * * x 1, x2, x3,sobrante de MP,sobrante de LR,sobrante de LU = 0, 50, 0, 250, 0, 0 determine todas las posibles valoraciones que se puedan hacer de los recursos. Cómo explica que haya varias? ( ) ( ) NOTA: Para este problema no haga uso de los algoritmos Simplex o Simplex-Dual