Dualidad 1. 1 Formas simétricas. 2 Relación primal-dual. 3 Dualidad: el caso general. 4 Teoremas de dualidad. 5 Condiciones de holgura complementaria.
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- Concepción Paz Casado
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1 Dualidad 1 1 Formas simétricas. 2 Relación primal-dual. 3 Dualidad: el caso general. 4 Teoremas de dualidad. Condiciones de holgura complementaria. 6 Solución dual óptima en la tabla. 7 Interpretación económica. 8 Coste económico e interpretación del método simplex. 9 El método simplex dual. 1 El algoritmo simplex dual. 2 El algoritmo simplex dual con restricción artificial. 10 Solución de modelos.
2 Algunas aplicaciones de la dualidad 2 1 Definición de problema dual. Solución de uno de los modelos para obtener la solución de ambos. 2 Interpretación económica. Interpretación del método simplex. 3 El algoritmo simplex dual, más eficaz para resolver algunos modelos lineales. 4 Aplicación del algoritmo simplex dual en el análisis de sensibilidad y la programación entera.
3 Forma simétrica de maximización 3 max z = x 1 3x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3 2 x 1 + 2x 2 x 3 3 x 1 x 2 + 2x 3 1 x 1, x 2, x 3 0 Objetivo max, restricciones, variables no negativas. max z = x 1 3x 2 + x 3 x 1 x 2 x 3 2 x 1 + 2x 2 x 3 3 x 1 + x 2 2x 3 1 x 1, x 2, x 3 0
4 Forma simétrica de minimización 4 max z = x 1 x 2 3x 1 + 2x 2 1 x 1 2x 2 3 x 1, x 2 0 Objetivo min, restricciones, variables no negativas. min ( z) = x 1 + x 2 3x 1 2x 2 1 x 1 2x 2 3 x 1, x 2 0
5 Relación primal-dual simétrica Primal Dual max z = c T x min G = b T y Ax b A T y c x 0 y 0 Matriz del primal: A m restricciones y n variables. Matriz del dual: A T n restricciones y m variables. b vector de recursos del problema primal y vector de costes del problema dual. c vector de costes del problema primal y vector de recursos del problema dual. N de restricciones del primal= N de variables del dual. N de variables del primal= N de restricciones del dual. OpenCourseWare, UPV/EHU. Dualidad
6 Cálculo del modelo dual 6 Relación primal-dual max z = 2x 1 x 2 + 3x 3 x 1 x 2 + x 3 2 3x 1 x 2 + 2x 3 1 x 1, x 2, x 3 0 El dual asociado. min G = 2y 1 + y 2 y 1 + 3y 2 2 y 1 y 2 1 y 1 + 2y 2 3 y 1, y 2 0
7 Dualidad: caso general 7 Objetivo: max Objetivo: min restricción i b i variable i 0 restricción i = b i variable i no restringida restricción i b i variable i 0 variable i 0 restricción i c i variable i no restringida restricción i = c i variable i 0 restricción i c i Tabla: Relación primal-dual: caso general Primal Dual max z = x 1 4x 2 x 3 x 1 + x 2 x 3 4 2x 1 + 3x 2 x 3 2 2x 1 x 2 + 2x 3 = 6 x 1 0, x 2 0, x 3 : no rest. min G = 4y 1 + 2y 2 + 6y 3 y 1 + 2y 2 + 2y 3 1 y 1 + 3y 2 y 3 4 y 1 y 2 + 2y 3 = 1 y 1 0, y 2 0, y 3 : no rest. OpenCourseWare, UPV/EHU. Dualidad
8 Teoremas de dualidad 8 Resultados considerando la forma primal-dual simétrica. Primal Dual max z = c T x min G = b T y Ax b A T y c x 0 y 0 Teorema El dual del problema dual es el problema primal. Objetivo primal minimizar Objetivo dual maximizar las relaciones de la tabla se leen de derecha a izquierda.
9 Teoremas de dualidad 9 Teorema (Dualidad débil) Si x e y son soluciones factibles del primal y dual, respectivamente, entonces, z = c T x b T y = G. Corolario Si las soluciones factibles x e y verifican c T x = b T y, entonces x e y son óptimas para el primal y el dual, respectivamente. Corolario Si el problema primal es factible y no acotado, el dual no tiene solución. Corolario Si el problema dual es factible y no acotado, el primal no tiene solución.
10 Ejemplo 10 Cálculo del dual y solución gráfica max z = 3x 1 + 2x 2 min G = 2y 1 + 4y 2 2x 1 + x 2 2 2y 1 + 2y 2 3 2x 1 + x 2 4 y 1 + y 2 2 x 1, x 2 0 y 1 0, y 2 0 x 2 2x 1 + x 2 = 2 y 2 max y 1 2x 1 + x 2 = 4 x 1 2y 1 + 2y 2 = 3 y 1 + y 2 = 2 El primal es no acotado y el dual es infactible.
11 Principio fundamental de la dualidad 11 Teorema Si existe una solución óptima x del problema primal, entonces existe una solución óptima y del problema dual. De la misma forma, si existe una solución óptima y del problema dual, entonces existe una solución óptima x del problema primal. En ambos casos z = c T x = b T y = G. Ejemplo. max z = 2x 1 + 3x 2 min G = 2y 1 + 3y 2 + y 3 x 1 + x 2 2 y 1 + 2y 2 + y 3 2 2x 1 x 2 3 y 1 y 2 + 3y 3 3 x 1 + 3x 2 y 1, y 2, y 3 0 x 1, x 2 0 Soluciones: x T = (1, 1), y T = (1, 1, 1) z = 10 = G. Soluciones óptimas: x T = 1 2, 3, y T = 3 2 2, 0, 1 z = = G.
12 Condiciones de holgura complementaria 12 Teorema Dadas dos soluciones factibles x e y para el primal y dual respectivamente, son óptimas si y sólo si se verifica x T (A T y c) + y T (b Ax ) = 0 x solución factible del primal b Ax 0 y solución factible del dual A T y c 0 x 0 x T (A T y c) 0 y 0 y T (b Ax ) 0
13 Interpretación de las condiciones 13 x T (A T y c) = 0, y T (b Ax ) = 0 1 Si una variable primal es estrictamente positiva, la correspondiente restricción dual se verifica con igualdad. x > 0 A T y c = 0. 2 Si una restricción primal no se verifica con igualdad, la correspondiente variable dual toma el valor cero. Ax < b y = 0. 3 Si una variable dual es estrictamente positiva, la correspondiente restricción primal se verifica con igualdad. y > 0 Ax b = 0. 4 Si una restricción dual no se verifica con igualdad, la correspondiente variable primal toma el valor cero. A T y > c x = 0.
14 Aplicación del teorema de holgura complementaria 14 max z = 3x 1 + x 2 2x 3 x 1 + 2x 2 + x 3 2x 1 x 2 + 3x 3 4 x 1, x 2, x 3 0 min G = y 1 + 4y 2 y 1 + 2y 2 3 2y 1 y 2 1 y 1 + 3y 2 2 y 1, y 2 0 x T = ( 13, 6, 0) min G = y 1 + 4y 2 + 0y 3 + 0y 4 + 0y y 1 + 2y 2 y 3 = 3 2y 1 y 2 y 4 = 1 y 1 + 3y 2 y = 2 y 1, y 2, y 3, y 4, y 0 Variables del primal Restricciones del dual x1 = 13 > 0 y 1 + 2y 2 = 3 y 3 = 0 x2 = 6 > 0 2y 1 y 2 = 1 y 4 = 0 x3 = 0 y 1 + 3y 2 y = 2 Restricciones del primal Variables del dual y = = calcular el valor de y 1 y1 = = 4 calcular el valor de y 2 y2 = 1
15 Solución dual óptima 1 Teorema Considerar dos modelos primal-dual simétricos. Si B es base óptima para el problema primal, entonces y T = c T B B 1 es solución óptima del problema dual. Indicadores z j c j asociados a los vectores de la matriz I: Vector de indicadores: a j I z j c j = c T B B 1 a j c j. c T B B 1 I c T I = c T B B 1 c T. I Indicadores +c T I = c T B B 1 = y T.
16 Solución dual óptima en la tabla 16 Base inicial formada por variables de holgura max z = 3x 1 + x 2 2x 3 x 1 + 2x 2 + x 3 2x 1 x 2 + 3x 3 4 x 1, x 2, x 3 0 Tablas primera y óptima x 1 x 2 x 3 x 4 x a a x 1 x 2 x 3 x 4 x a a (z 4 c 4, z c ) = c T B B 1 I c T I = (1, 1) c T I. c T I = (c 4, c ) = (0, 0) Solución dual óptima: y T = c T B B 1 = (1, 1).
17 Solución dual óptima 17 Con variables artificiales min z = x 1 + 2x 2 4x 1 + 3x 2 12 x 1 + 3x 2 6 2x 1 + x 2 4 x 1, x 2 0 min max Variables de holgura: x 4, x. Variables artificiales: w 1, w 2. max ( z) = x 1 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x Mw 1 Mw 2 4x 1 + 3x 2 +x 3 = 12 x 1 + 3x 2 x 4 +w 1 = 6 2x 1 + x 2 x +w 2 = 4 x 1, x 2, x 3, x 4, x, w 1, w 2 0
18 Solución dual óptima en la tabla 18 Con variables artificiales x 1 x 2 x 3 x 4 x w 1 w 2 3M + 1 4M M M M a a w a w M M + 2 M M 2 0 2M 4 3 a a a w M 3 M 1 22 a a a (z 3 c 3, z w1 c w1, z w2 c w2 ) = c T B B 1 I c T I = (0, M 3, M 1 ) y T = c T B B 1 c T I + c T I = (0, M 3, M 1 ) + (0, M, M) Solución óptima: (0, 3, 1 ). Los signos aparecen cambiados en la tabla por el cambio min max.
19 Precios sombra 19 B base óptima primal x solución óptima primal y z valor óptimo. y solución óptima dual y G valor óptimo. Si b cambia a b + b x B = B 1 (b + b) = x B + B 1 b. G = y T (b + b) = y T b + y T b = G + y T b = z + y T b z j c j = c T B B 1 a j c j 0 Si xb = B 1 (b + b) 0, x B es óptima. Incremento del objetivo: y T b Si b i = 1 y el resto es cero y T b = (y1,..., y i,..., ym ) 1 = y i C. A 0 y i es el precio sombra del recurso i.
20 Cálculo de los precios sombra 20 max z = 3x 1 + x 2 2x 3 x 1 + 2x 2 + x 3 2x 1 x 2 + 3x 3 4 x 1, x 2, x 3 0 Tabla óptima x 1 x 2 x 3 x 4 x a a Si b 1 = b 1 + b 1 = 6. xb = B 1 (b + b) = ! 6 4 «= 8 14! y 1 es el precio sombra del recurso b 1 z = z + y 1 = = 10 Si b 2 = 4 b 2 + b 2 = 3. xb = B 1 (b + b) = ! 3 «= 7 11! y 2 es el precio sombra del recurso b 2 z = z y 2 = 9 1 = 8
21 Coste económico de las variables primales 21 En una empresa se fabrican 4 productos: 1, 2, 3 y 4. En la producción se utilizan 3 recursos: A, B y C. En la Tabla se da la cantidad de recurso necesario por unidad de producto, la disponibilidad de cada recurso y el beneficio unitario. Productos Disponibilidad Recurso Recurso A B C Beneficio x j : unidades del producto j que se producen. max z = 4x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 2x 4 2x 1 + 3x x 3 + 4x x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 00 x 1 + x 2 + 2x 3 + 2x 4 20 x 1, x 2, x 3, x 4 0
22 El problema dual 22 Coste económico de las variables primales Supongamos ahora que una empresa competidora quiere comprar los recursos b 1 = 300, b 2 = 00 y b 3 = 20 a precios unitarios y 1, y 2 e y 3. El objetivo de la segunda empresa es obtener los recursos a mínimo coste. min G = 300y y y 3. Coste económico del producto 1 2y 1 + 2y 2 + y 3. Beneficio del producto 1 4. Primera restricción dual: 2y 1 + 2y 2 + y 3 4. Modelo dual min G = 300y y y 3 2y 1 + 2y 2 + y 3 4 3y 1 + 4y 2 + y y 1 + 3y 2 + 2y 3 6 4y 1 + y 2 + 2y 3 2 y 1, y 2, y 3 0 OpenCourseWare, UPV/EHU. Dualidad
23 Interpretación del método simplex 23 En el algoritmo simplex, si x j no es básica puede pasar a ser básica en una iteración posterior si z j c j < 0. Interpretación de la condición: z j c j = c T B B 1 a j c j = y T a j c j = m a ij y i c j. i=1 Si z j c j < 0, entonces m a ij y i < c j. i=1 El coste económico de la actividad j es menor que el beneficio, la actividad es rentable.
24 El método simplex dual 24 El algoritmo simplex primal. Comenzar eligiendo como primera base la canónica, calcular una solución primal factible y terminar cuando se obtiene la factibilidad dual tabla óptima. El algoritmo simplex dual. Partir de la forma simétrica de maximización, sumar variables de holgura para elegir como primera base la canónica. Comenzar por una tabla con factibilidad dual, hacer iteraciones hasta conseguir factibilidad primal tabla óptima. Si en la primera tabla no hay factibilidad dual añadir una restricción artificial.
25 Algoritmo simplex dual 2 El objetivo es maximizar. Elegir B = I formada por variables de holgura. Paso 1. Construir la primera tabla con z j c j 0 a j A. Paso 2. Factibilidad primal. Si x Bi 0, i = 1,..., m, la solución es óptima. Parar. Si existe x Bi < 0, se puede mejorar. Ir al Paso 3. Paso 3. Cambio de base. Sale de la base a r tal que x Br = min{x Bi /x Bi < 0} r es la fila pivote. i Entra en la base a k tal que z k c k y rk y rk es el pivote. = max j ( zj c j y rj /y rj < 0 ) k es la columna pivote. Si no existe y rj, j = 1,..., n, negativo, el problema es infactible. Parar. Paso 4. Calcular una nueva tabla con las mismas operaciones elementales definidas en el algoritmo simplex. Ir al Paso 2.
26 Aplicación del algoritmo simplex dual 26 min z = 3x 1 + 2x 2 x 1 + 2x 2 3 2x 1 + x 2 2 x 1 + 4x 2 7 x 1, x 2 0 max ( z) = 3x 1 2x 2 x 1 2x 2 3 2x 1 x 2 2 x 1 4x 2 7 x 1, x 2 0 max ( z) = 3x 1 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x x 1 2x 2 + x 3 = 3 2x 1 x 2 + x 4 = 2 x 1 4x 2 + x = 7 x 1, x 2, x 3, x 4, x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x a a a En la primera tabla hay factibilidad dual.
27 Tablas del simplex dual 27 x 1 x 2 x 3 x 4 x a a a a a a a a a Solución óptima: x 1 = 0, x 2 = 2, z = 4.
28 El método de la restricción artificial 28 1 No hay factibilidad dual en la tabla inicial, añadir una restricción artificial. 2 No modificar la región de factibilidad del problema. 3 Se añade para obtener factibilidad dual en la tabla. 4 Restricción artificial: x j < M. j N N conjunto de variables con z j c j < 0. M valor positivo muy grande.
29 Ejemplo 29 max z = x 1 + 6x 2 x 1 + 2x 2 20 x x x 1, x 2 0 max z = x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 x 1 + 2x 2 + x 3 = 20 x x 2 + x 4 = 1 2 x 1, x 2, x 3, x 4 0 B = I = (a 3 a 4 ) x 1 x 2 x 3 x a a No hay factibilidad dual restricción artificial: x 1 + x 2 M.
30 Ejemplo 30 Restricción artificial variable de holgura x. max z = x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x x 1 + 2x 2 + x 3 = 20 x x 2 + x 4 = 1 2 x 1 + x 2 + x = M x 1, x 2, x 3, x 4, x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x a a a M
31 Algoritmo simplex dual con restricción artificial 31 Objetivo: maximizar. B = I formada por variables de holgura Paso 1. Construir la tabla inicial. Paso 2. Necesidad de restricción artificial. Si a j A z j c j 0, ir al Paso 3. Si a j A tal que z j c j < 0, añadir una restricción artificial y hacer un cambio de base. Entra el vector a k tal que z k c k = min j {z j c j /z j c j < 0}. Sale el vector de holgura de la restricción artificial. Hacer operaciones elementales. Ir al Paso 3. Paso 3. Factibilidad primal. No hay restricción artificial. Si x Bi 0, i = 1,..., m, solución óptima. Parar. Si para algún i = 1,..., m, x Bi < 0, ir al Paso 4. Si hay restricción artificial. Si x Bi 0, i = 1,..., m y la variable de holgura de la restricción artificial está en la base con valor positivo, solución óptima. Parar. Si x Bi 0, i = 1,..., m y la variable de holgura de la restricción artificial no está en la base o siendo básica vale cero, solución no acotada. Parar. Si existe x Bi < 0 para algún i = 1,..., m, la solución se puede mejorar. Ir al Paso 4. OpenCourseWare, UPV/EHU. Dualidad
32 Algoritmo simplex dual con restricción artificial 32 Paso 4. Cambio de base. Sale de la base el vector a r tal que La fila r es la fila pivote. Entra en la base el vector a k tal que z k c k y rk x Br = min i {x Bi /x Bi < 0} = max j La columna k es la columna pivote. y rk es el pivote. ( ) zj c j /y rj < 0 y rj Si en la fila r no hay y rj negativo, problema infactible. Parar Paso. Nueva tabla haciendo operaciones elementales. Ir al Paso 3.
33 Aplicación del algoritmo simplex dual 33 Restricción artificial problema factible max z = x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 x 1 + 2x 2 + x 3 = 20 max z = x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x x 1 + 2x 2 + x 3 = 20 x x 2 + x 4 = 1 2 x 1, x 2, x 3, x 4 0 x x 2 + x 4 = 1 2 x 1 + x 2 + x = M x 1, x 2, x 3, x 4, x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x a a a M M 0 a M a M 1 6 a M a M 10 0 a a OpenCourseWare, UPV/EHU. Dualidad
34 Aplicación del algoritmo simplex dual 34 Restricción artificial solución no acotada max z = 4x 1 + x 2 max z = 4x 1 + x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 2x 1 + 2x 2 4 2x 1 2x 2 + x 3 = 4 x 1 x 2 3 x 1 + x 2 + x 4 = 3 x 1, x 2 0 x 2 + x = M x 1 x 2 x 3 x 4 x x 1, x 2, x 3, x 4, x a a a M M 0 a M a M 3 a M M 12 0 a M a M + 3 a M V. holgura de la restricción artificial no básica primal no acotado y dual infactible.
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