Parte 2 / 3 Programación lineal, método Simplex:

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1 Parte 2 / 3 Programación lineal, método Simplex: Programación lineal, método Simplex: Típico ejemplo de maximizar los beneficios o producción de una empresa: la inyectora de plástico Zonda, que produce mesas y sillas, en 3 talleres -carpintería, tapizado y empaque- con las siguientes restricciones: X 1 <= 3 (... con X 1 ; X 2 >=0 ) X 2 <= 6 F.O.: Maximizar B j = 8X 1 + 3X 2 6X 1 + 4X 2 <= 36 (donde $8 y $3 son los beneficios en ambos productos) (Precaución: si los coeficientes técnicos -del cuadro resumen- no fueran uno razone por regla de tres como pasa esos coeficientes hacia los de este sistema de restricciones) 1) Transformar a ecuaciones, agregando las variables de holgura (capacidad ociosa en cada sección) 1X 1 + 0X 2 + 1X 3 + 0X 4 + 0X 5 = 3 0X 1 + 1X 2 + 0X 3 + 1X 4 + 0X 5 = 6 6X 1 + 4X 2 + 0X 3 + 0X 4 + 1X 5 = 36 2) Tabla 0: la primer línea de encabezamiento es común para todas las tablas, con estas 9 columnas: Funcional (F); Variable (X); Recursos (R); X ;Variable.Saliente (VS); y puede omitirse en las siguientes tablas o pasos del cálculo si se ponen a continuación. 3) Convien anotar los coeficientes de la funcion objetivo (F.O)., o funcional, arriba de cada X j de la primera línea encabezamiento, como una ayuda para calcular el punto 9. 4) En la columna X anotar las variable básicas que intervienen en cada cálculo o tabla. La primera solución (en el origen) solo incluye las variables de holgura (con nada producido todo son excedentes) Se suponen variables contínuas; fraccionables. 5) En la columna Funcional van los coefic. de las variables básicas en la F.O.. El valor que tiene en el funcional. 6) En la columna Recursos se anotan los recursos iniciales. Es el valor de cada variable X en este paso (tabla) del cálculo Simplex. En las próximas tablas irán los recursos utilizados para esa etapa (o solución de la frontera acodada). 7) En X se anotan inicialmente los coeficientes del sistema de ecuaciones; i filas, j columnas. Cada Xij indica cuánto disminuye el valor de la variables Xi por cada unidad de Xj que decida fabricar (o que sobre, si j fuera un insumo). O sea, cuánto disminuye el valor de Xi por cada unidad con que j entre valiendo a la base. 8) Conviene trazar rayas: tras la columna Recursos; tras la colum. X 5; y otra inferior. 9) Agregar una última fila: calculando cada X como: ( F i X i ) B j 10) Variable que entra: el mayor negativo en la fila inferior (señalarlo). Se toma el mayor negativo por que mejora el funcional(...mayor en valor absoluto). 11) Calcular la última columna VS como R / cada coefic. en la columna de la variable que entra. 12) Variable que sale: el menor positivo en VS (señalarlo), ya que indica el valor con que la variable entra a la base y sale el menor (las variables no pueden ser nulas o negativas). 13) Pivote: intersección entre ambas señales. Señalar el pivote: TABLA 0: F X R X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 VA 0 X X X TABLA 1 8 X X X , TABLA 2 8 X X 4 1, ,5 1-1/4 3 X 2 4, ,5 0 1/4 37, ,5 0 0,75 TABLA 1: 14) En la columna X cambiar la var. que sale por la variable que entra. 15) Anotar en la colum. F el valor que tiene cada variable en el funcional. 16) Calcular la nueva línea del pivote como = linea pivote anterior / pivote 17) En la columna del pivote completar con ceros (salvo el 1 del pivote) 18) Para calcular cada elemento restante observar los extremos del cuadrado con diagonal en el pivote: al número en la tabla anterior restarle la otra diagonal dividida por el pivote.

2 19) Calcula la última fila según (9) 20) Calcular la columna VS según (11) 21) Marcar la var. que entra (según 10) y la var. que sale (según 12); circular su intersección como nuevo pivote: TABLA 2: 22) Repetir el cáculo para la Tabla 1. Se llega al óptimo cuando una tabla tiene todo positivo en la última fila. 23) Los coeficientes R indicarán ahí las producciones; puede quedar algún recurso ocioso. El valor máximo B se puede anotar al final bajo R ( B = 8(3) + 3(4,5) = $37,50 ) y sobra 1,5 del recurso 2: Contribución marginal (precios sombra o máximo a pagar por otra unidad ): 3,5 y 0,75 para estos dos insumos. Costo de oportunidad: si hubiera quedado alguna cifra abajo en las columnas de los productos X 1 ó X 2 (indicando que no se produce ese bien) sería el costo o perdida si se decidiera producir lo que no conviene. Minimizar el costo de producción: En los casos de minimización, el origen de coordenadas no puede ser el paso inicial por lo que suponemos costos muy altos para los insumos ($M). Además de las variables reales y las slag (aquí con signo -) se agregará una nueva variable, artificial en el funcional (+M i ), asi como una columna en las tablas para considerar esos altos costos +$M. En la columna F de la tabla 0 inicial se anotan esos altos costos $M, continuando el proceso hasta obtener el precio de cada insumo que minimiza lo requerido para la produccion dada de bienes cuando todos los valores de la última fila sean negativos!. Sin embargo, es más fácil calcular el primal, o sea, el dual del mínimo. DUAL: Todo caso normal de maximización implica uno de minimización y viceversa. Como los cálculos para minimizar son mayores que para maximizar, debido a esos agregados comentados, es posible calcular el dual de un mínimo convirtiéndolo en un caso de máximo, al considerar los recursos disponibles como los coeficientes de las variables de un nuevo funcional y tomando los coeficientes de las filas del sistema de restricciones del mínimo como columnas para el sistema del máximo. Es decir, el dual tiene una variable por cada restricción del primal (y el dual tiene tantas restricciones como variables hay en el primal). Solo se trata de que el funcional pase a ser terminos independientes y poner las filas como columnas (las desigualdades tendran sentido inverso). Esto vale igualmente cuando en el primal hay mezcladas desigualdades contrarias: si alguna es negativa se le agregara una variable artificial tal como se dijo) Ej.: Min Z = 5X1 + 9X2 sujeto a -3X1-2X2 >= -6 5X1 + X2 >= 10 X1 + 10X2 >= 9 (...y X1; X2 >=0) Su dual es: Max. B = -6Y1 + 10Y2 + 9Y3-3Y1 + 5Y2 + Y3 <= 5 Sujeto a : -2Y1 + Y2 + 10Y3 <= 9 (...con Y1; Y2 >=0) (2variables y 3 restricciones pasan a ser 3 variables y 2 restricciones...) Análisis de sensibilidad: es el porcentaje que pueden variar los precios del funcional o los recursos (términos independientes) sin que cambie la solución óptima. Véanse cualquier texto pero no los mezcle; son equivalentes pero cambian los pasos y su consideración de los signos: 310 ejercicios con resolución en -Investigación Operaciones-, de R. Bronson. Ed. McGraw-Hill Ricardo F. Solana Producción- Ed. Interamericana, 1994; Dieguez y Porto -Problemas de Microeconomía-, Amorrortu; Taha Investigación de Operaciones-; etc. S. Eiras Roel

3 5) Programación lineal: Método Simplex. En una economía lineal para producir 3 unidades de trigo se requieren 6 unidades de tierra, $12 de semillas y 3 trabajadores. Para producir 4 unidades de centeno se requieren 5 unidades de tierra, 15 de semillas y 6 trabajadores. El precio por unidad de trigo y de centeno es de $15 y $20 respectivamente. Las cantidades disponibles de tierra y de trabajo son 100 unidades y 300 unidades. Plantee el problema y resuélvalo si el empresario desea optimizar el resultado de esta explotación. Opine sobre el problema dual, precios sombra y contribuciones marginales. SOLUCIÒN: Para producir una unidad de trigo necesitamos: 2 u. Tierra $4 de semillas 1 trabajador Para producir una unidad de centeno necesitamos: 1,25 u. Tierra $3,75 de semillas 1,5 trabajadores Como las semillas tienen precio y no están restringidas, se las puede deducir de los ingresos monetarios, así nos quedaría: Ingreso proveniente del trigo: $11 Ingreso proveniente del centeno: $16,25 Entonces la función objetivo será: Z = 11x1+16,25x2 Donde: x1: Trigo x2: Centeno 2x1+1,25x2(100 x1+1,50x2(300 x1(0 x2(0 Establecemos las ecuaciones de balance introduciendo las variables de holgura: 2x1+1,25x2+s1=100 x1+1,50x2+s2=300 x1=0 x2=0 Siendo s1: ociosidad de la tierra y s2: ociosidad de trabajadores Utilizamos el método simplex para resolver el problema: X1 X2 S1 S2 B S1 2 1, S2 1 1, C 11 16,25 0 0

4 Elegimos x2 para entrar a la base, debido a que 16,25>11, y la variable s1 para salir de la misma, ya que 100/1,25=80<300/1,5=200 Operando, nos queda la siguiente tabla: X1 X2 S1 S2 B S1 1,60 1 0, S2-1,40 0-1, C La solución óptima es: X1 = 0 X2 = 80 Z = 1300 => Z = , = 1300 Problema Dual: Cuando el problema primal es de maximizaciòn, el dual es de minimización y viceversa. El número de variables originales del problema dual es igual al número de restricciones del primal, y el número de restricciones del dual es igual al número de variables del problema primal. En este caso el problema dual sería el siguiente: 2x1+x2(11 1,25x1+1,5x2(16,25 x1(0 x2(0 Z = 100x1+300x2 En este caso el problema dual consiste en minimizar la función objetivo. Precios Sombra: La contribución marginal de un recurso es cuánto se incrementa la función objetivo si se incrementa en una unidad un recurso saturado. El precio sombra es el máximo precio que conviene pagar por agregar una unidad de un recurso saturado. Ese precio es igual a la contribución marginal del recurso ya que no conviene pagar por esa unidad adicional más de lo que se incrementa la función objetivo. Es decir, que el costo de incrementar en una unidad un recurso saturado deberá ser inferior a la contribución marginal para que se justifique hacerlo. Si un recurso no se utiliza totalmente (no está saturado) su precio sombra es cero, porque no tiene sentido pagar por un recurso que sobra. En este problema los precios sombra son: Precio sombra del recurso 1 (tierra): $13 Precio sombra del recurso 2 (trabajo): $0 Es decir, que si se incrementa en una unidad el recurso tierra, la función objetivo se incrementa en 13 unidades monetarias.

5 EJERCICIO 1: Método Simplex Establezca las restricciones, funciones y explique como calcula el máximo beneficio de una empresa que produce dos bienes x e y sujeto a los siguientes datos: X Y Capacidad Mano de Obra Materias Primas Materiales Beneficio Solución: Función Objetivo: 20x + 24y Restricciones 3x + 6y 60 4x + 2y 32 1x + 2y 16 x, y 0 Método Simplex TABLA 0: Co X0 B A1 A2 A3 A4 A5 0 X X X TABLA 1: Co X0 B A1 A2 A3 A4 A5 0 X X X TABLA 2: Co X0 B A1 A2 A3 A4 A5 0 X X X Beneficio Máximo: 20 * * 5.33 = $234.52

6 Microeconomía, Dr. Fernando Tow, Página 67, Ejercicio Ejercicio 1: En una economía lineal, se requiere por hectárea 2 hombres, 6 bolsas de semillas y 3 de fertilizantes; para obtener un rendimiento por hectárea de 3 toneladas de trigo candeal. Por otra parte, para obtener un rendimiento por hectárea de 2 toneladas de cebada se necesita, en cambio, por hectárea; 4 bolsas de semillas, 2 de fertilizantes y 3 hombres. Cantidad de hombres: 320. Cantidad de hectáreas: 120. Precio cebada: $ Precio trigo: $ Maximizar el beneficio y plantearlo en sistema simplex. SOLUCION TABLA 0: C0 X0 B0 A1 A2 A3 A4 0 X ,33 0, X ,66 1, TABLA 1: C1 X1 B1 A1 A2 A3 A4 130 X X Beneficio Máximo: 130 X1

7 1. Un empresario tiene a su disposición dos actividades de producción lineales, mediante la contribución de tres insumos, fundición, ensamble y distribución, con una disponibilidad de $18, $8 y $14 respectivamente. La distribución de los insumos a los productos se reproduce en la siguiente tabla: Producto 1 Producto 2 Disponibilidades Fundición Ensamble Distribución Beneficio 1 2 Determinar la combinación a producir que maximiza los beneficios. Solución: 1. Se plantea el sistema de inecuaciones: X 1 + 3X 2 <= 18 X 1 + X 2 <= 8 2X 1 + X 2 <= 14 X 1 ;X 2 => 0 B = X 1 +2X 2 2. Al sistema de inecuaciones se le agregan las correspondientes variables de holgura. X 1 + 3X 2 + S 1 = 18 X 1 + X 2 + S 2 = 8 2X 1 + X 2 + S 3 = Se resuelve este sistema de ecuaciones mediante el método Simplex, aplicando Gauss-Jordan. B X1 X2 S1 S2 S3 Cte. Variable B S S S3 B X1 X2 S1 S2 S3 Cte. Variable 1-1/3 0 2/ B 0 1/3 1 1/ X2 0 2/3 0-1/ S2 0 2/3 0 1/ S3 B X1 X2 S1 S2 S3 Cte. Variable /2 1/ B /2-1/2 0 5 X /2 1 1/2 0 3 X /6-2 1/2 1 3 S3 El beneficio máximo es de $13, con una producción de tres unidades del producto 1 y cinco unidades del producto 2. En los procesos de fundición y ensamble se utilizan todos los recursos, en tanto que la distribución presentará $3 de recursos ociosos. 2. Un granjero tiene posee 100 hectáreas para cultivar trigo y alpiste. El costo de la semilla de trigo es de $4 por hectárea y la semilla de alpiste tiene un costo de $6 por hectárea. El costo total de la mano de obra es de $20 y $10 por hectárea respectivamente. El ingreso esperado es de $110 por hectárea de trigo y $150 por hectárea de alpiste. Si no se desea gastar más de $480 en semillas ni más de $1500 en mano de obra, cuántas hectáreas de cada uno de los cultivos debe plantarse para obtener la máxima ganancia? Solución.

8 1. Se arma el cuadro de los insumos. Maíz Alpiste Disponibilidades Semillas Mano de Obra Beneficio Se plantea el correspondiente sistema de inecuaciones. 4X 1 + 6X 2 <= X X 2 <= 1500 X 1 ;X 2 => 0 B = 110X X 2 3. Se transforma el sistema de inecuaciones a un sistema de ecuaciones con las correspondientes variables de holgura. 4X 1 + 6X 2 + S 1 = X X 2 + S 2 = Se resuelve mediante el método Simplex. B X1 X2 S1 S2 Kte. Var B S S2 B X1 X2 S1 S2 Kte. Var , , B X1 X2 S1 S2 Kte. Var B 0 0, , X2 0 13, , S2 B X1 X2 S1 S2 Kte. Var , , ,125 0, B X1 X2 S1 S2 Kte. Var ,7497 0, B , ,05 50 X ,125 0, X1 El máximo beneficio de $12450, se obtiene de cultivar 45 hectáreas de trigo y 50 hectáreas de alpiste. Quedan cinco hectáreas en desuso. Bibliografía: 1. Henderson y Quandt. "Teoría Microeconómica". Capítulo 5, pp Editorial Ariel S.A. Barcelona. 2. Venturin García, Alejandro. "Algebra con aplicaciones económicas". Unidad 6, p.185. C.E.C.E. Buenos Aires (1993).

9 Microeconomía I, Dr. Fernando Tow Ejercicio 1: En una economía lineal, se requiere por hectárea 2 hombres, 6 bolsas de semillas y 3 de fertilizantes; para obtener un rendimiento por hectárea de 3 toneladas de trigo candeal. Por otra parte, para obtener un rendimiento por hectárea de 2 toneladas de cebada se necesita, en cambio, por hectárea; 4 bolsas de semillas, 2 de fertilizantes y 3 hombres. Cantidad de hombres: 320. Cantidad de hectáreas: 120. Precio cebada: $ Precio trigo: $ Maximizar el beneficio y plantearlo en sistema simplex. SOLUCION TABLA 0: C0 X0 B0 A1 A2 A3 A4 0 X ,33 0, X ,66 1, TABLA 1: C1 X1 B1 A1 A2 A3 A4 130 X X Beneficio Máximo: 130 X1 Ejercicio 2: Para producir 2 toneladas de trigo se requieren 4 hectáreas, 2 bolsas de semillas de trigo por hectárea y 5 meses/hombre. Para producir 3 toneladas de centeno se requieren 2 hectáreas, 1.5 bolsas de semillas de centeno por hectárea y 9 meses/hombre. El precio del trigo y del centeno por tonelada asciende a 300 y 230 pesos respectivamente. El empresario maximizador de beneficios dispone de 120 hectáreas y de 270 meses/hombre.. La ley laboral le brinda el beneficio de contratar mano de obra adicional a un costo de $ 50 por meses/hombre, sin limitación. a) Formule el problema en términos de programación lineal maximizando el beneficio SOLUCION

10 TRABAJO PRACTICO DE MICROECONOMIA PROGRAMACION LINEAL - METODO SIMPLEX Ejercicio Tabla X Y DISPONIBILIDAD Mano de obra Materia Prima Fondos Beneficio Formulación de restricciones X + Y <= 200 2X + Y <= X + 20Y <= 3500 X ; Y >= 0 Sumando las variables de olgura a las restricciones X + Y + Z1 + 0Z2 + 0Z3 = 200 2X + Y + 0Z1 + Z2 + 0Z3 = X + 20Y + 0Z1 + 0Z2 + Z3 = Con estos datos comenzamos a formar las tablas Tabla 0 C0 X0 B0 A 100 A 400 A 0 A 0 A 0 θ 0 Z Z Z Tabla 1 C0 X0 B0 A 100 A 400 A 0 A 0 A 0 θ

11 0 Z1 25 0, ,05 0 Z2 85 1, , Y 175 0, , Como en la ultima fila no hay ningún numero negativo el simplex esta completo Función beneficio original B = 100 (X) (Y) De la resolución del simplex surge que se produce 175 de Y y 0 de X Por ende el máximo beneficio esta dado por: MB = 100X + 400Y MB = 100 (0) (175) MB =

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