Dualidad y postoptimización

Transcripción

1 Dualidad y postoptimización José María Ferrer Caja Universidad Pontificia Comillas

2 Definición A cada problema de optimización lineal le corresponde otro que se denomina problema dual En forma canónica Primal maxcx T x ( P) Ax b x 0 Dual minby T y T ( D) Ay c y 0 x R, y R, c R, A R, b R n m n m n m La correspondencia es biunívoca El dual del dual es el primal Dualidad y postoptimización - 1

3 Problema dual en forma canónica. Ejemplo maxz= 3x + 5x x 1 Primal 2 4 2x 12 3x + 2x 18 x, x 0 Dual minw= 4y + 12y + 18y y y 3 2y + 2y 5 y, y, y 0 Dualidad y postoptimización - 2

4 Interpretación económica El valor de la variable dual y j representa el incremento en la función objetivo z del problema primal al aumentar marginalmente el recurso b j Expresiones equivalentes: Variable dual Precio en la sombra Multiplicador simplex Dualidad y postoptimización - 3

5 Tabla de transformaciones minimización maximización VARIABLES RESTRICCIONES 0 0 No restringida = RESTRICCIONES VARIABLES 0 0 = No restringida Las transformaciones y las relaciones entre ambos problemas son simétricas Dualidad y postoptimización - 4

6 Problema dual. Ejemplo Primal Dual minz= 2x x + 4x x + 3x 2x x + x + 5x 3 2x x + 3x = 1 x, x 0, x 0 maxw= 3y + y y y 2 3y 4y y 0 y + 3y y + 5y = 4 y 0, y 0 Dualidad y postoptimización - 5

7 Teorema débil de dualidad El valor de la función objetivo para cualquier solución factible del problema de maximización es menor o igual que el valor de la función objetivo para cualquier solución factible del problema de minimización T T cx by Dualidad y postoptimización - 6

8 Teorema fuerte de dualidad Si uno de los problemas tiene solución óptima, entonces el otro también, y los valores objetivos óptimos coinciden T T cx* = by* Dualidad y postoptimización - 7

9 Soluciones básicas complementarias (1) En cada iteración del método simplex, se encuentra una solución básica factible del primal y una solución básica óptima (con costes reducidos positivos) del dual. Los valores objetivos coinciden xˆ = B b yˆ = cb B 1 T 1 B T T cx ˆ = by ˆ Si la solución básica del primal no es óptima, la solución básica del dual no es factible Si la solución básica del primal es óptima, la solución básica del dual también es óptima Dualidad y postoptimización - 8

10 Soluciones básicas complementarias (2) Cuando los problemas primal y dual originales corresponden a la forma canónica, en cada iteración del método simplex: Los valores de las variables duales originales son los costes reducidos de las variables primales de holgura (y exceso) Los valores de las variables duales de holgura (y exceso) son los costes reducidos de las variables primales originales Los costes reducidos de las variables duales no básicas son los valores de las variables primales básicas Dualidad y postoptimización - 9

11 Soluciones complementarias. Ejemplo (1) ( P) maxx + 3x x + x 3 x + x 1 x, x 0 ( D) min3y + y y y 1 y + y y, y 0 3 En forma estándar min x 3x x + x + x = 3 x + x + x = 4 x, x, x, x ( D) min3y + y y y y = 3 y + y y = 4 y, y, y, y Dualidad y postoptimización - 10

12 Soluciones complementarias. Ejemplo (2) 1 0 xˆ 3 yˆ B xˆ B b yˆ = = = = = = cb = ( ) 3 1 T 1 T 1 ; ; 0 0 B B xˆ yˆ 4 2 Tabularmente yˆ = 1, yˆ = 3 yˆ = 0, yˆ = z x 1 x 2 x 3 x 4 RHS -z x x Costes reducidos de y 1 e y 2 Solución no óptima para (P) y no factible para (D) Dualidad y postoptimización - 11

13 Soluciones complementarias. Ejemplo (3) yˆ = 4, yˆ = 0 yˆ = 0, yˆ = z x 1 x 2 x 3 x 4 RHS -z x x Costes reducidos de y 1 e y 4 Solución no óptima para (P) y no factible para (D) Algebraicamente yˆ 1 1 ( ) ( ) T 1 T 1 yˆ = = cb = 0 3 = 0 3 B yˆ Dualidad y postoptimización - 12

14 Soluciones complementarias. Ejemplo (4) yˆ = 0, yˆ = 0 yˆ = 2, yˆ = z x 1 x 2 x 3 x 4 RHS -z x /2-1/2 1 x /2 1/2 2 Costes reducidos de y 3 e y 4 Solución óptima para (P) y factible para (D) Algebraicamente y y* 1/2 1/2 = = cb = = ( ) ( ) T 1 T 1 (*) B y* 1/2 1/2 2 Dualidad y postoptimización - 13

15 Soluciones complementarias. Ejemplo (5) Geométricamente (0,3) (1,2) (0,1) (-1,0) (0,0) (3,0) (0,3) (2,1) (0,0) (0,-1) (1,0) (3,0) Dualidad y postoptimización - 14

16 Teorema fundamental de dualidad Dados dos problemas respectivamente duales, se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones: Ambos problemas tienen solución óptima Uno de ellos tiene solución no acotada y el otro es no factible Ambos problemas son no factibles Dualidad y postoptimización - 15

17 Teorema de holguras complementarias Dados dos problemas respectivamente duales, con soluciones óptimas x* e y*: Si una variable es básica su restricción dual se cumple con igualdad (la variable dual de holgura no es básica) Si una restricción se cumple estrictamente (variable de holgura básica) su variable dual no es básica (y por tanto, nula) Dada una solución Se llama restricción activa a la que se cumple con igualdad Se llama restricción inactiva a la que se cumple con desigualdad estricta Dualidad y postoptimización - 16

18 Holguras complementarias. Ejemplo (1) Queremos resolver el problema: ( P) minz= 8x + 4x + 2x x + x + x 5 4x + x 2x 2 x, x, x 0 Como tiene 2 restricciones, su problema dual tendrá dos variables, y podrá resolverse geométricamente: maxw= 5y + 2y y + 4y 8 ( D) y + y 4 y 2y 2 y, y 0 Dualidad y postoptimización - 17

19 Holguras complementarias. Ejemplo (2) y = 0 1 y + 4y = 8 Óptimo 10 2, 3 3 y 2y = 2 c 5 = 2 y + y = 4 y = 0 2 La solución óptima del problema dual es y 1 * = 10/3, y 2 * = 2/3 La función objetivo vale w* = 18 Dualidad y postoptimización - 18

20 Holguras complementarias. Ejemplo (3) y 1 * = 10/3 > 0 (la 1ª variable es básica) x 1 * + x 2 * + x 3 * = 5 (la 1ª restricción es activa) y 2 * = 2/3 > 0 (la 2ª variable es básica) 4x 1 * + x 2 * - 2x 3 * = 2 (la 2ª restricción es activa) y 1 * + 4y 2 * < 8 (la 1ª restricción es inactiva) x 1 * = 0 Se resuelve el sistema: x 2 * + x 3 * = 5 x 2 * - 2x 3 * = 2 x 2 * = 4, x 3 * = 1 con z* = 18 Se ha llegado a la solución óptima del problema primal sin necesidad de usar el teorema de dualidad fuerte, que asegura z* = w* = 18 Esta propiedad podrá aplicarse conjuntamente con el teorema de holguras complementarias, aportando una ecuación más Dualidad y postoptimización - 19

21 Método simplex dual Método alternativo al simplex para resolver un problema de optimización lineal Parte de una solución básica óptima (con costes reducidos positivos), pero quizá infactible Solución dual factible: solución básica con costes reducidos positivos En cada iteración se saca de la base una variable con valor negativo, y se mete una variable de forma que no se pierda la optimalidad Cuando se consiga una solución básica factible (primal factible) el método termina. Si no se puede, el problema es infactible Dualidad y postoptimización - 20

22 Algoritmo dual simplex 1. Inicialización Elegir una base B que proporcione una solución básica dual factible (con costes reducidos positivos) ˆ 1 xˆ = b= B b B T T T 1 T T cˆ = c c B N= c cy 0 N N B N B xˆ = 0 N 2. Criterio de factibilidad. Elección de la variable de salida 1 Si bˆ = B b 0 La solución actual es óptima Si no, elegir la variable básica tal quebˆ = min bˆ : bˆ < 0 3. Elección de la variable de entrada Si y 0 j I Problema infactible (el dual es no acotado) sj Si no, elegir no básica tal que 4. Pivoteo x t Con la nueva base B actualizar Volver al paso 2 N x s c z c z t t j j = min : y < 0 j I sj y N y st sj ˆ ˆˆ B 1, x, Y, z, c B N s { } i i Dualidad y postoptimización - 21

23 Inicialización del algoritmo dual simplex Si se conoce una base que proporcione una solución básica dual factible, se utiliza ésta como solución inicial del algoritmo Cuando el problema está en forma canónica de minimización con c 0, la base asociada a las variables de holgura/exceso proporciona siempre una solución básica dual factible Si no, se requiere un método para encontrar una solución básica dual factible Un método rápido es la técnica de la restricción artificial Dualidad y postoptimización - 22

24 Algoritmo dual simplex. Ejemplo (1) ( P) minz= 8x + 4x + 2x x + x + x 5 4x + x 2x 2 x, x, x 0 Añadimos variables de exceso y cambiamos de signo: minz= 8x + 4x + 2x 3 x x x + x = 5 4x x + 2x + x = 2 x j 0 j La base asociada a las variables x 4 y x 5 es la identidad ( ) T T T 1 T ˆ N N B N c = c c B N= c = Dual factible Dualidad y postoptimización - 23

25 Algoritmo dual simplex. Ejemplo (2) Se aplica el algoritmo dual simplex en forma tabular: z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS -z x x z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS -z x x /3 Dualidad y postoptimización - 24

26 Algoritmo dual simplex. Ejemplo (3) z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS -z /3 2/3-18 x /3 1/3 1 0 x /3-1/3 4 0 Como hemos alcanzado una solución factible (sin perder la optimalidad), la solución actual es óptima x* = 0, x* = 4, x* = 1, z* = 18 3 Dualidad y postoptimización - 25

27 Técnica de la restricción artificial (1) Expresar el problema en forma canónica de minimización T minc x ( P) Ax b x 0 Añadir variables de holgura (exceso) en todas las restricciones y cambiar de signo para obtener la identidad minc T x minc T x Ax Ix = b Ax+ Ix = b h h x 0, x 0 x 0, x 0 Construir la tabla asociada a la base B= I Si c z 0 j j j la solución básica actual es dual factible Aplicar el algoritmo dual simplex Si no, agregar la restricción grande Añadir una variable de holgura h j I N x M j j I N j h con M arbitrariamente x + x = M n+ 1 Dualidad y postoptimización - 26

28 Técnica de la restricción artificial (2) Introducir a la tabla la fila asociada a la restricción artificial, con variable básica x n + 1 Meter en la base la variable con cˆ = min cˆ : cˆ < 0 y sacar la variable pivotando sobre el elemento x n + 1 x t t { j j } j y n + 1t Se habrá alcanzado una solución dual factible algoritmo dual simplex Aplicar el Si este problema es infactible el problema P es infactible Si tiene solución óptima x * > 0 x * n + 1 x x n+ 1 n 1 n 1 ( x*, x *) n + 1 * = 0, c z = 0 x* * = 0, c z > 0 n+ 1 n 1 n 1 es la solución óptima de P es la solución óptima de P P es no acotado Dualidad y postoptimización - 27

29 Técnica de la restricción artificial. Ejemplo (1) min 2x + x 3x 3 x + 2x + x = x + 2x x + x x, x, x 0 La 1ª restricción es de igualdad. Habría que desglosarla en dos desigualdades. En este caso lo podemos evitar ya que x 1 aporta una columna a la identidad. Añadimos variables de holgura a las otras dos: min 2x + x 3x 3 x + 2x + x = 6 3 x + 2x x = x + x + x = x, x, x, x, x 0 Dualidad y postoptimización - 28

30 Técnica de la restricción artificial. Ejemplo (2) Cambiamos de signo la 2ª restricción para obtener la identidad: min 2x + x 3x 3 x + 2x + x = 6 3 x 2x + x = x + x + x = x, x, x, x, x 0 Tomamos la base B = I asociada a las variables x 1, x 4 y x 5 La tabla inicial es No es dual factible, ya que c 3 z 3 < z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS -z x x x Dualidad y postoptimización - 29

31 Técnica de la restricción artificial. Ejemplo (3) Añadimos al problema la restricción artificial, con su variable de holgura x + x M x + x + x = M, x Añadimos la columna de x 6 a la base anterior consiguiendo de nuevo la identidad (de orden 4 ahora) z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS -z x x x x M Entra en la base x 3 por ser la única variable con coste reducido negativo Sale de la base x 6 Se pivota sobre el elemento correspondiente Dualidad y postoptimización - 30

32 Técnica de la restricción artificial. Ejemplo (4) Tras el pivoteo, se obtiene una solución básica dual factible Se aplica normalmente el algoritmo dual simplex z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS -z M x M x M-2 x M x M 1 Sale de la base x 5 por ser la variable básica con valor más negativo Entra en la base x 6 por ser la única variable con y 5j < 0 Se pivota sobre el elemento correspondiente Dualidad y postoptimización - 31

33 Técnica de la restricción artificial. Ejemplo (5) z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS -z x x x M-4 0 x Hemos alcanzado una solución factible (sin perder la optimalidad) La solución actual es óptima para el problema modificado Como x 6 * > 0 también es óptima para el problema original: x* = 2, x* = 0, x* = 4 3 x* = 6, x* = z* = 16 Dualidad y postoptimización - 32

34 Análisis de sensibilidad Estudia los efectos sobre la solución óptima de un cambio en alguno de los elementos del problema Se trata de aprovechar la información dada en la tabla óptima, no de comenzar a resolver de nuevo el problema Se introducirán los cambios de forma oportuna en la tabla óptima Si se pierde la optimalidad Si se pierde la factibilidad Aplicar simplex Aplicar dual simplex Dualidad y postoptimización - 33

35 Análisis de sensibilidad. Ejemplo Sea el siguiente problema Su tabla óptima es min 2x + x 4x 3 3 x x + x 1 x + 4x 3x 5 3 x, x, x 0 3 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS -z x x x* = 0, x* = 8, x* = 9, z* = 28 3 Se quiere resolver el problema tras algunas modificaciones Dualidad y postoptimización - 34

36 Cambio en el vector de costes Sustitución de c k por c k Si x k es no básica Recalcular su coste reducido cˆ ' = cˆ + c ' c Si cˆ' 0 la solución actual sigue siendo óptima k Si c ˆ' < 0 solución no óptima. Aplicar simplex Si x k es básica k k k k k Recalcular los costes reducidos cˆ j' = cˆ j+ ( ck ck') ykj j IN Recalcular el valor de la función objetivo zˆ' = zˆ+ ( c ˆ k ck') bk Si cˆ' j 0 j la solución actual sigue siendo óptima Si algún c ˆ' < 0 solución no óptima. Aplicar simplex j Dualidad y postoptimización - 35

37 Cambio en el vector de costes. Ejemplo (1) Se reemplaza c 3 = -4 por c 3 = -1 Como x 3 es una variable básica hay que recalcular toda la fila x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS -z x /5 1 x /4 La tabla ya no es óptima. Se aplica el algoritmo simplex: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS -z 0 0 1/5 9/5 1/5 14/5 x /5 4/5 1/5 9/5 x /5-1/5 1/5 4/5 Solución óptima: 9 4 x* =, x* =, x* = z* = 5 Dualidad y postoptimización - 36

38 Cambio en el vector de costes. Ejemplo (2) Para qué valores de c 1 la solución actual sigue siendo óptima? Como x 1 no es básica basta con recalcular su coste reducido: cˆ ' = cˆ + c' c = 14 + c' ( 2) = c' La solución seguirá siendo óptima si este coste reducido es positivo: cˆ' 0 c' c' Por lo tanto, la solución es óptima si y sólo si c 1-16 Dualidad y postoptimización - 37

39 Cambio en el vector del lado derecho Sustitución de b por b ˆ 1 T b' = B b', zˆ' = cbˆ B ' Si b ˆ' 0 la tabla actual sigue siendo óptima Si no solución no factible. Aplicar dual simplex Recalcular Dualidad y postoptimización - 38

40 Cambio en el vector del lado derecho. Ejemplo Se reemplaza b 1 = 1 por b 1 = -2 Hay que recalcular el vector de cotas ( ) 3 ˆ 1 T ' ', ˆ' ˆ b = B b = = z = cb' = B = La solución ya no es factible. Se aplica el algoritmo dual simplex x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS -z x x Debe salir de la base la variable x 3. Como su fila es completamente positiva el problema es infactible Dualidad y postoptimización - 39

41 Cambio en una columna no básica Sustitución de a j por a j siendo x j no básica Recalcular 1 T yj' = B aj', cˆ j' = cj cy B j' Si cˆ' 0 j la solución actual sigue siendo óptima Si c ˆ' < 0 solución no óptima. Aplicar simplex j Dualidad y postoptimización - 40

42 Cambio en una columna no básica. Ejemplo Se reemplaza a 1 = (1 1) T por a 1 = (-2 1) T Hay que recalcular la columna y 1 y el nuevo coste reducido c 1 - z y' = B a' = 1 1 = T cˆ' = c cy' = 2 ( 4 1) B 1 = 5 5 La solución ya no es óptima. Se aplica el algoritmo simplex: Entra la variable x 1 en la base Como la columna y 1 es completamente negativa el problema tiene solución no acotada Dualidad y postoptimización - 41

43 Adición de una nueva variable Introducción de una variable x n+1 con columna a n+1 y coste c n+1 Calcular y = B a, cˆ = c cy 1 T n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 B n+ 1 Si c ˆ la solución actual sigue siendo óptima n Si c ˆ + < 0 solución no óptima. Aplicar simplex n 1 Dualidad y postoptimización - 42

44 Adición de una nueva restricción Agregación de la nueva restricción n j= 1 a x b m+ 1j j m+ 1 Si la solución óptima del problema original satisface la restricción sigue siendo óptima Si no, añadir una variable de holgura x n+1 n j= 1 a x + x = b m+ 1j j n+ 1 m+ 1 Añadir a la tabla la fila correspondiente a la nueva restricción con variable básica x n+1 Añadir a la tabla la columna correspondiente a x n+1 Modificar la nueva fila para hacer 0 en las posiciones correspondientes a las variables básicas originales Aplicar el algoritmo dual simplex Dualidad y postoptimización - 43

45 Adición de una nueva restricción. Ejemplo (1) Se añade al problema la restricción 4x 1 - x 2 + 2x 3 = 5 Se desglosa la igualdad en dos desigualdades que se deben verificar 4x x + 2x 5 3 4x x + 2x 5 3 La solución básica actual x* = (0 8 9) verifica la 2ª desigualdad, pero no la 1ª: se añade una variable de holgura 4x x + 2x + x = Se introducen en la tabla la fila correspondiente y la columna de x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS -z x x x Dualidad y postoptimización - 44

46 Adición de una nueva restricción. Ejemplo (2) Para adaptar la tabla se realiza la operación f f + f 2f Tras la operación, se aplica el algoritmo dual simplex x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS -z x x x /5 3 Dualidad y postoptimización - 45

47 Adición de una nueva restricción. Ejemplo (3) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS -z 44/ /5 13/5 15 x 3 17/ /5 4/5 5 x 2 14/ /5 3/5 5 x 4 2/ /5-1/5 1 Solución óptima: x* = 0, x* = 5, x* = 5, z* = 15 3 Dualidad y postoptimización - 46

48 Cambio en una columna básica Sustitución de a k por a k siendo x k básica Considerar x k como una nueva variable con el mismo 1 T coste que x k. Calcular yk' = B ak', cˆ k' = ck cy B k' Si ykk' 0 colocar los nuevos datos en la columna de la tabla correspondiente a x k. Pivotar sobre el elemento y kk. Si se ha perdido sólo optimalidad, aplicar simplex Si se ha perdido factibilidad aplicar dual simplex Si y ' = 0 la variable x k se considera artificial con coste M kk Añadir a la tabla la columna de x k con los coeficientes obtenidos En la columna x k poner M como nuevo coste reducido Pivotar sobre el elemento y kk para conseguir c k z k = 0 Aplicar el método de las penalizaciones Dualidad y postoptimización - 47

49 Cambio en una columna básica. Ejemplo (1) Se reemplaza a 2 = (-1 4) T por a 2 = (-1 5) T Sea la variable x 2 con columna a 2 = (-1 5) T y coste c 2 = c 2 = y ' = B a ' = 2 2 = T cˆ' = c cy ' = 1 ( 4 1) = B 2 2 Como y 22 = 2 0 sustituimos la columna y 2 por y 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS -z x x Se pivota sobre y 22 para recuperar la tabla del simplex Dualidad y postoptimización - 48

50 Cambio en una columna básica. Ejemplo (2) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS -z /2 3/2 16 x /2 1/2 5 x /2 1/2 4 No se ha perdido optimalidad ni factibilidad Tabla óptima Solución óptima: x* = 0, x* = 4, x* = 5, z* = 16 3 Dualidad y postoptimización - 49

51 Cambio en una columna básica. Ejemplo (3) Se reemplaza a 2 = (-1 4) T por a 2 = (1-3) T Sea la variable x 2 con columna a 2 = (1-3) T y coste c 2 = c 2 = y ' = B a ' = 2 2 = T cˆ' = c cy ' = 1 ( 4 1) = B 2 0 Como y 22 = 0 consideramos la variable x 2 como variable artificial para preservar la base. Le asignamos un coste arbitrariamente grande M x 1 x 2 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS -z 14 M x x Se pivota sobre y 22 para recuperar la tabla del simplex Dualidad y postoptimización - 50

52 Cambio en una columna básica. Ejemplo (4) Tras el pivoteo se aplica el método de las penalizaciones del simplex x 1 x 2 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS -z 14-4M M 3-M 28-8M x x En vez de meter en la base x 1 (menor coste reducido), metemos x 5 que garantiza que salga de la base la variable artificial x 1 x 2 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS -z 2 M x x Solución óptima: x* = 0, x* = 0, x* = 1, z* = 4 3 Dualidad y postoptimización - 51

53 Programación paramétrica Estudia los efectos sobre la solución óptima de un cambio continuo en alguno de los elementos del problema Perturbación en el vector de costes Perturbación en el vector de cotas (lado derecho) El parámetro θ 0 representa el grado de perturbación del vector en una dirección d Dualidad y postoptimización - 52

54 Perturbación en el vector de costes Se quiere resolver un problema de PL con vector de costes c + θd, siendo θ 0 1. Hacerθ 0 = 0 y k = 0 Obtener la solución óptima del problema con θ = θ 0 2. Mediante análisis de sensibilidad, determinar el intervalo [θ k,θ k+1 ] para el que la tabla sigue siendo óptima 3. Si θ k+1 = parar Si no, hacer θ = θ k+1 y aplicar simplex, metiendo en la base una variable no básica con coste reducido 0 Si su columna es negativa Solución no acotada para θ > θ k+1 Si no, Hacer k = k+1 y volver al paso 2 Dualidad y postoptimización - 53

55 Perturbación en el vector de costes. Ejemplo (1) Se quiere resolver el problema min( 1 + θ) x + ( 3 + θ) x x + x 3 x + x 1 x, x 0 El vector de costes es (-1-3) T + (1 1) T θ Paso 1. Obtener la solución óptima del problema con θ = 0 x 1 x 2 x 3 x 4 RHS -z x /2-1/2 1 x /2 1/2 2 Solución óptima: x* = 1, x* = 2, z* = 7 Dualidad y postoptimización - 54

56 Perturbación en el vector de costes. Ejemplo (2) Paso 2. Reemplazar el vector de costes c = (-1-3) T por c = (-1+θ -3+θ) T -1+θ -3+θ 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 RHS -z θ 1 7-3θ -1+θ x /2-1/2 1-3+θ x /2 1/2 2 La tabla sigue siendo óptima si 2 -θ 0 θ 2 Paraθϵ[0,2] la solución óptima es x* = 1, x* = 2, z* = 7+ 3θ Paso 3. Hacer θ = 2. Meter en la base x 3 por tener coste reducido 0 x 1 x 2 x 3 x 4 RHS -z x /2-1/2 x /2 1/2 2 4 Dualidad y postoptimización - 55

57 Perturbación en el vector de costes. Ejemplo (3) x 1 x 2 x 3 x 4 RHS -z x x Tabla óptima Paso 2. Reemplazar el vector de costes c = (1-1) T por c = (-1+θ -3+θ) T -1+θ -3+θ 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 RHS -z -4+2θ θ 3-θ 0 x θ x La tabla sigue siendo óptima si θ 0 y 3 -θ 0 2 θ 3 Paraθϵ[2,3] la solución óptima es x* = 0, x* = 1, z* = 3+ θ Dualidad y postoptimización - 56

58 Perturbación en el vector de costes. Ejemplo (4) Paso 3. Hacer θ = 3. Meter en la base x 4 por tener coste reducido 0 x 1 x 2 x 3 x 4 RHS -z x x x 1 x 2 x 3 x 4 RHS -z x x Tabla óptima Dualidad y postoptimización - 57

59 Perturbación en el vector de costes. Ejemplo (5) Paso 2. Reemplazar el vector de costes c = (2 0) T por c = (-1+θ -3+θ) T -1+θ -3+θ 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 RHS -z -1+θ -3+θ x x La tabla sigue siendo óptima si -1 + θ 0 y -3 + θ 0 θ 3 Paraθϵ[3, ) la solución óptima es x* = 0, x* = 0, z* = 0 Dualidad y postoptimización - 58

60 Perturbación en el vector de cotas Se quiere resolver un problema de PL con vector de cotas b + θd, siendo θ 0 1. Hacerθ 0 = 0 y k = 0 Obtener la solución óptima del problema con θ = θ 0 2. Mediante análisis de sensibilidad, determinar el intervalo [θ k,θ k+1 ] para el que la tabla sigue siendo factible 3. Si θ k+1 = parar Si no, hacer θ = θ k+1 y aplicar dual simplex, sacando de la base una variable básica con valor 0 Si su fila es positiva Problema infactible para θ > θ k+1 Si no, Hacer k = k+1 y volver al paso 2 Dualidad y postoptimización - 59

61 Perturbación en el vector de cotas. Ejemplo (1) Se quiere resolver el problema min x 3x x + x 3 θ x + x 1+ θ x, x 0 El vector del lado derecho es (3 1) T + (-1 1) T θ Paso 1. Obtener la solución óptima del problema con θ = 0 x 1 x 2 x 3 x 4 RHS -z x /2-1/2 1 x /2 1/2 2 Solución óptima: x* = 1, x* = 2, z* = 7 Dualidad y postoptimización - 60

62 Perturbación en el vector de cotas. Ejemplo (2) Paso 2. Reemplazar el vector de cotas b = (3 1) T por b = (3-θ 1+θ) T θ 1 θ 1 θ ˆ 1 ' ' 2 2 T b B b ; zˆ' c bˆ = = ' ( 1 3 ) 7 B 1 1 = = = = 1 θ θ La tabla sigue siendo factible si 1 -θ 0 θ 1 Paraθϵ[0,1] la solución óptima es x* = 1 θ, x* = 2, z* = 7+ θ Paso 3. Hacer θ = 1. Sacar de la base x 1 por tener valor 0 x 1 x 2 x 3 x 4 RHS -z x /2-1/2 0 x /2 1/2 2 Dualidad y postoptimización - 61

63 Perturbación en el vector de cotas. Ejemplo (3) x 1 x 2 x 3 x 4 RHS -z x x Paso 2. Reemplazar el vector de cotas b = (2 2) T por b = (3-θ 1+θ) T θ 2 2θ 1 + bˆ' = B b ' = = θ 3 θ θ T zˆ' c bˆ = ' = ( 0 3 ) 9 3θ B = 3 θ La tabla sigue siendo factible si θ 0 y 3 -θ 0 1 θ 3 Paraθϵ[1,3] la solución óptima es x* = 0, x* = 3 θ, z* = 9+ 3θ Dualidad y postoptimización - 62

64 Perturbación en el vector de cotas. Ejemplo (4) Paso 3. Hacer θ = 3. Sacar de la base x 2 por tener valor 0 x 1 x 2 x 3 x 4 RHS -z x x Como la fila 2 es completamente positiva no se puede pivotar Paraθϵ(3, ) el problema es infactible Dualidad y postoptimización - 63