RELACIÓN DE PROBLEMAS DE CLASE DE PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA

Transcripción

1 RELACIÓN DE PROBLEMAS DE CLASE DE PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA SIMPLEX Y LINEAL ENTERA a Resuelve el siguiente problema con variables continuas positivas utilizando el método simple a partir del vértice inicial (, y = ( 0,0 ma + y sa..: + y 8 + y y, 0 b Partiendo de la solución óptima del problema anterior aplicar el método de ramificación y corte para obtener la solución siendo ambas variables enteras. Dibuja el árbol de ramificación obtenido. c Dibuja sobre la región factible los cortes realizados por el método en el apartado anterior asta llegar al óptimo entero. Dibuja igualmente el el árbol de ramificación y corte completo del problema. PROBLEMA Dado el siguiente árbol incompleto de soluciones obtenido en un paso intermedio al resolver, mediante ramificación y acotamiento, un problema de programación lineal entera de minimización en que todas las variables son binarias, decir qué ramas se descarta seguir eplorando y por qué, además de decir cuál es el mínimo valor que se puede obtener en el problema llegados a este punto y por qué. (0,,0.,0. z= X=0 (0., 0.,, z= (,0,,0 z=8 X= X=0 (,0.,0.,0. z= X= X=0 (,,0,0. z=9 (,,0.,0 z= X= No factible Relación de problemas de optimización lineal entera /

2 RELACIÓN DE PROBLEMAS ADICIONALES DE PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA PROBLEMA APARTADO Resolver el siguiente problema mediante el método de ramificación y acotamiento: ma sujeto a : j { 0,} j =,..., PROBLEMA APARTADO Resolver gráficamente aplicando el método de ramificación y corte el siguiente problema: ma + sujeto a : + +, Z + Relación de problemas de optimización lineal entera /

3 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CLASE DE PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA SOLUCIÓN. SIMPLEX Y LINEAL ENTERA a Resuelve el siguiente problema con variables continuas positivas utilizando el método simple a partir del vértice inicial (, y = ( 0,0 La formulación estándar de este problema sigue a continuación: ma + y sa..: + y + = 8 + y + = y, 0 La tabla simple asociada a la formulación estándar iniciando en el punto (0, 0 resulta: y Cotas z Se escoje la variable como variable entrante (podría aberse escogido la variable y y se saca la variable resultando la siguiente tabla: y Cotas Relación z Se escoje la variable y como variable entrante y se saca la variable resultando la siguiente tabla: y Cotas z 0 0 y Relación de problemas de optimización lineal entera /

4 Esta tabla resulta óptima ya que todos los costes reducidos son negativos. La solución óptima es ( y, = (, 8 y la función objetivo evidentemente adquiere el valor de la suma de las dos variables. b Partiendo de la solución óptima del problema anterior aplicar el método de ramificación y corte para obtener la solución siendo ambas variables enteras. Ambas variables toman valor no entero en la solución óptima por lo tanto el valor que toma la función objetivo en el apartado anterior resulta una cota superior de la función objetivo para la solución entera óptima. Escogiendo la variable para ramificar se añade al problema anterior bien la restricción o bien. Añadiendo la restricción, dica restricción se epresa como + = e introduciendo dica restricción sobre la tabla final del apartado anterior resulta la tabla siguiente: y Cotas z y Epresando en forma estándar la tabla resulta: z y Cotas y Relación Se aplica el método simple dual saliendo la variable y entra la variable, la tabla resultante es la siguiente: Relación de problemas de optimización lineal entera /

5 z y Cotas y La solución obtenida sigue sin ser entera en la variable y. Añadiendo la restricción, dica restricción se epresa como e = e introduciendo dica restricción sobre la tabla final del apartado anterior resulta la tabla siguiente: y e Cotas z y e Epresando la tabla anterior en forma estándar se tiene la tabla siguiente: z y e Cotas y e 0 0 Relación Se aplica el método simple dual saliendo la variable e y entra la variable, la tabla resultante es la siguiente: Relación de problemas de optimización lineal entera /

6 z y e Cotas y La solución alcanzada ( y, = (, es entera y la función objetivo vale por tanto 8. Esta solución es óptima debido a que la función objetivo al tomar valores enteros ( ma + y, la otra rama no se sigue ramificando porque no alcanza un valor superior a 9 y por lo tanto lo más que puede alcanzarse al ramificar es otra solución óptima que alcance el valor 8 en la función objetivo tal y como ocurre con la solución ( y, = (, y como se ve en el apartado siguiente. c Dibuja sobre la región factible los cortes realizados por el método en el apartado anterior asta llegar al óptimo entero. Dibuja igualmente el el árbol de ramificación y corte completo del problema. y (, 0 Óptimo IP Óptimo LP (, 8 Óptimo IP (, Relación de problemas de optimización lineal entera /

7 Z = (, 8 Z = 8 0 (, 0 Z = 8 (, y y Z = 8 (, Infactible Relación de problemas de optimización lineal entera /

8 SOLUCIÓN. PROBLEMA Nodos sin eplorar o ramificar: No factible: se poda ya que no ay solución factible z=8: solución entera, luego z*=8 z=9: se poda ya que aunque no es entera, es peor que la mejor encontrada asta el momento (minimización z=: no es entera, la cota es mejor que la de la solución entera mejor encontrada asta el momento, es factible: no se puede podar, ay que seguir ramificando. Resto de nodos ya están eplorados. La mejor solución por el momento es z=8, pero podría llegar a ser eplorando el nodo que aún queda activo. Relación de problemas de optimización lineal entera 8/

9 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS ADICIONALES DE PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA SOLUCIÓN. PROBLEMA APARTADO Se resuelve el problema relajado considerando que las variables binarias son positivas y tienen asociada una restricción de menor o igual a la unidad. La tabla inicial simple corresponde al siguiente problema: ma sujeto a : = + = + = + = + = + = Cotas Relación -Z / / Esta tabla está en formato estándar y por lo tanto se escoge como variable entrante en la base la variable debido a que su coste reducido es el mayor de todos. La variable que sale es. A continuación se muestra la tabla con la base actualizada. Cotas Relación -Z / / Relación de problemas de optimización lineal entera 9/

10 Entra la variable y sale resultando la siguiente tabla con la base actualizada. Cotas Relación -Z / / Entra la variable y sale resultando la siguiente tabla con la base actualizada. Cotas Relación -Z / / Entra la variable y sale resultando la siguiente tabla con la base actualizada. Cotas Relación -Z / / - -/ 0 0 / / / -/ / / 0 / La solución óptima relajada resulta ser (,,,, =,,,, 0 cota superior de la función objetivo de. con una Relación de problemas de optimización lineal entera 0/

11 Al presentar una de las variables binarias ( un valor no entero, se ramifica el problema añadiendo las restricciones correspondientes. Z=,,,,0 0 Si se añade la restricción 0, ésta se convierte en + = 0, obteniéndose una solución básica no factible tal y como se indica en la tabla siguiente al epresar dica tabla en su forma estándar. Cotas -Z / / -/ - -/ / / -/ / / 0 0 / / -/ / / / Relación Aplicando el procedimiento del simple dual, la variable sale de la base y la variable entra en la base (podría aberse escogido la variable. Se obtiene la tabla siguiente: Relación de problemas de optimización lineal entera /

12 Cotas -Z Relación 0 La variable sale de la base y la variable entra en la base resultando la tabla siguiente: Cotas -Z La solución obtenida es factible ya que todas las variables toman valores enteros y el valor de la función objetivo es 0, que pasa a ser una cota inferior para el valor óptimo. (,,,, = (,,, 0, La otra rama que parte del problema relajado consiste en añadir la restricción, ésta se convierte en 8 =, obteniéndose una solución básica no factible tal y como se indica en la tabla siguiente al epresarse en su forma estándar. Relación de problemas de optimización lineal entera /

13 8 Cotas -Z / / -/ - -/ / / -/ / / 0 0 / / / -/ - -/ 0 0 -/ Relación / / / Sale de la base la variable 8 y entra la variable ya que es la que menor relación adquiere. 8 Cotas -Z / -8/ -/ -/ / -00/ / / -/ -/ / / / -/ / / 0 0 -/ / La solución óptima con la restricción incorporada es (,,,, =,,,, 0 con z =.8. La solución no se puede descartar, pues el valor objetivo no es inferior a la cota actual (0. Como no presenta un valor entero es necesario ramificar nuevamente. Relación de problemas de optimización lineal entera /

14 Z=,,,,0 0 Z= 0 (,,,0, ẑ = 0 0 Z=.8,,,,0 Añadiendo la restricción 0 se obtiene la solución (,,,, = (,, 0,, 0 con un valor de la función objetivo de y se descarta esta solución por ser inferior a 0. Si se añade se obtiene la solución (,,,, =,,,,0 con un valor de la función objetivo de.8 y por lo tanto se puede seguir ramificando el árbol tal y como se indica a continuación: Z=,,,,0 0 Z= 0 (,,,0, ẑ = 0 0 Z= (,,0,,0 Z=.8,,,,0 Z =.8,,,,0 0 Añadiendo la restricción 0 se obtiene la solución (,,,, = (, 0,,, 0 con un valor de la función objetivo de 0 y se descarta esta solución por ser inferior a la cota inferior. Relación de problemas de optimización lineal entera /

15 Si se añade se obtiene la solución (,,,, =,,,,0 con un valor de la función objetivo de.8 (no se descarta y por lo tanto se puede seguir ramificando el árbol tal y como se indica a continuación: Z=,,,,0 0 Z= 0 (,,,0, ẑ = 0 0 Z= (,,0,,0 Z=.8,,,,0 Z=.8,,,,0 0 Z=0 Z=.8 (,0,,,0,,,,0 0 Z= ( 0,,,,0 Infactible Añadiendo la restricción 0 se obtiene la solución (,,,, = ( 0,,,, 0 con un valor de la función objetivo de y se descarta esta solución por ser inferior a la cota inferior. Si se añade se obtiene una solución infactible. Por lo tanto la solución óptima consiste en la solución entera inicialmente encontrada: (,,,, = (,,, 0, con valor de la función objetivo 0. Este problema tiene otra solución igualmente óptima (,,,, = (,,, 0, 0. Relación de problemas de optimización lineal entera /

16 SOLUCIÓN. PROBLEMA APARTADO El árbol de ramificación y corte es el siguiente: OPTIMO LP (.,. Z=.8 (, Z= (,. (,.8 Z=. Z=.8 Z ˆ = (0, Z= (, Z= (., Z=. INFACTIBLE (, 0. Z=. 0 (, 0 Z= INFACTIBLE Se resuelven los nodos del árbol según el orden establecido por el número enmarcado en el círculo. Siguiendo dica ordenación el primer nodo que obtiene una solución entera factible es el nudo. Por lo tanto, la cota inferior ẑ del problema de maimización resulta ser. Al ser el valor de la función objetivo en el nodo un valor entero inferior a ẑ dico nodo es una solución factible pero no óptima. La función objetivo al tener sólo variables enteras y también al ser sus coeficientes valores enteros la solución óptima del problema resultará ser un valor entero. Teniento en cuenta este eco el nodo obtiene una función objetivo superior a la cota inferior pero la parte entera de dica solución es igual a. Por lo tanto las ramas que salgan del nodo pueden ser podadas ya que como máimo pueden alcanzar el valor. No obstante el árbol está desarrollado completamente para comprobar que eisten tres soluciones óptimas que obtienen el mismo valor de la función Relación de problemas de optimización lineal entera /

17 objetivo, es decir,. Las soluciones son por orden de aparición: (,, (, y (,0. A continuación se muestra la resolución gráfica de cada uno de los nodos del árbol : 8 + Región factible relajada Solución factible entera Solución óptima relajada LP (.,. Z= Isobeneficio 8 + Región factible relajada Solución entera factible Solución óptima relajada (,. Z=. 8 + Relación de problemas de optimización lineal entera /

18 8 + Región factible relajada Solución entera factible Solución óptima relajada (, Z= Región factible relajada Solución entera factible Solución óptima relajada (0, Z= 8 + Relación de problemas de optimización lineal entera 8/

19 8 + Región factible relajada Solución entera factible Solución óptima relajada (,.8 Z= Región factible relajada Solución entera factible Solución óptima relajada (., Z=. 8 + Relación de problemas de optimización lineal entera 9/

20 8 + Región factible relajada Solución entera factible Solución óptima relajada INFACTIBLE Región factible relajada Solución entera factible Solución óptima relajada 8 (, Z= 8 + Relación de problemas de optimización lineal entera 0/

21 8 + Región factible relajada Solución entera factible Solución óptima relajada 9 (, 0. Z= Región factible relajada Solución entera factible Solución óptima relajada 0 (, 0 Z= Relación de problemas de optimización lineal entera /

22 8 + Región factible relajada Solución entera factible Solución óptima relajada INFACTIBLE 8 + Relación de problemas de optimización lineal entera /