RAMIFICAR-ACOTAR Y PLANOS DE CORTE

Transcripción

1 RAMIFICAR-ACOTAR Y PLANOS DE CORTE ELISA SCHAEFFER Programa de Posgrado en Ingeniería de Sistemas (PISIS) elisa@yalma.fime.uanl.mx INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

2 EL MÉTODO RAMIFICAR-ACOTAR (RA) (ingl. Branch and Bound) el método más común de solucionar programas enteras se genera subtareas por limitar el rango de los valores de las variables enteras

3 SUBTAREAS DE RA Variables binarias: dos casos por cada variable x i. Se fija x i = 0 y soluciona el problema que queda. Después se fija x i = 1 y soluciona el problema que queda. Repetir esto con cada variable entera x 1,...,x k resulta en un árbol de ramos que corresponden a subtareas diferentes. Para limitar la búsqueda, necesitamos prestar atención a cómo deducir cotas para las soluciones de los varios ramos del árbol.

4 GENERALIZACIÓN A VARIABLES NO-BINARIAS Si se conoce cotas inferiores y superiores a las variables enteras I i x i S i, se elije un valor d donde dividir el PE en dos subproblemas: un problema donde I x i d, y otro problema donde d + 1 x i S.

5 UNA COTA POR RELAJACIÓN A UN PL Se obtiene una cota por relajar el PE, o sea, eliminar todas las restricciones de ser entero, como la solución del PL que resulta. Con suerte, la solución óptima del PL es entera, es la solución exacta de la subtarea. (No es muy frecuente...) Si se minimiza, la cota obtenida es una cota inferior; en maximización, superior. Se puede terminar la expansión de cada ramo del árbol que tiene una cota peor (o sea menos restrictivo).

6 PROCEDIMIENTO DE RA En un caso de cuatro variables binarias, el árbol completo de computación contiene 14 relajaciones a PLs con las cotas obtenidas, se puede típicamente evitar varios ramos. PE orig x 1 = 0 x 1 = 1 x 2 = 0 x 2 = 1 x 2 = 0 x 2 = 1 x 3 = 0 = 1 = 0 = 1 = 0 = 1 = 0 = 1 x El orden de las variables en la ramificación también puede tener un efecto significante en a qué extenso se explora el árbol.

7 EJEMPLO: RA EN UN CASO SIMPLE máx x (x 1 + x 2 ) sujeto a 2x 1 + 5x x 1 + 5x 2 30 x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z Relajación a un PL nos da un x con x 1 = 3,5, x 2 = 1,8. Simplificamos: ramificamos con x 1 {3, 4}. (También se podría empezar a ramificar con x 2 {1, 2}.)

8 CASO x 1 = 3 máx x 3 + x 2 s.a x x 2 30 x 2 0 x 2 Z Por LP o manualmente x 2 = 2; el valor óptimo de la relajación es entero. Ahora tenemos una solución entera con f(3, 2) = 5. No se sabe todavía si es óptima. Nos hace falta explorar el otro ramo del árbolito.

9 CASO x 1 = 4 máx x 4 + x 2 s.a x x 2 30 x 2 0 x 2 Z Por LP o manualmente x 2 = 1,2; el valor óptimo no es entero. Tenemos una relajación con cota superior 4 + 1,2 = 5,2. Continuamos la expansión del árbol...

10 RAMIFICAR CON RESPETO A x 2 La relajación de x 1 = 4 tiene cota superior 4 + 1,2 = 5,2. Nuestra solución entera de x 1 = 3 era con f(3, 2) = 5. Fijamos x 1 = 4 y continuamos a ramificar con x 2 = 1 (dará f(4, 1) = 5) y x 2 = 2 (no resultará factible). Como el ejemplo es tan simple, basta con verificar si ambos valores cumplen las restricciones y elegir el mejor valor de f() de las soluciones factibles. Hay otros métodos también...

11 PLANO DE CORTE (definición) = una restricción r j violada por la solución del PL relajado, pero no violada en ninguna solución entera óptima. Cómo identificar tal restricción? Por interpretación de la tabla de Simplex de la solución relajada.

12 EJEMPLO: PLANO DE CORTE Consideramos el problema siguiente: x 1 + 3x 2 6 máx (7x 7x 1 + x x 2 ) sujeto a x x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z

13 EJEMPLO: LA TABLA INICIAL Relajamos el PE a un PL y ejecutamos el algoritmo Simplex: /22 1/ /22 3/ /11 15/11 63

14 EJEMPLO: LA TABLA FINAL La solución de la relajación es la tabla siguiente: 0 1 7/22 1/ /22 3/ /11 15/11 63 De la primera fila, podemos leer la restricción x s s 2 =

15 EJEMPLO: UNA RESTRICCIÓN CANDIDATA x s s 2 = x 2 3 = s s 2 a la izquierda tenemos un entero a la derecha, tenemos 0,5 algo, y el resultado debe ser entero s 1, s 2 0 el lado derecha no puede ser positivo Llegamos a una restricción r : s s 2 0.

16 EJEMPLO: PLANO DE CORTE IDENTIFICADO La solución de la relajación x de la tabla final de Simplex tiene x 1 = 4,5, x 2 = 3,5, s 1 = s 2 = /22 1/ /22 3/ /11 15/11 63 Ninguna solución óptima del PE rompería a s s 2 0. Sin embargo, x del PL la rompe r, porque no es válido que 0,5 0. Entoncés, nuestra r es un plano de corte!

17 RAMIFICAR-CORTAR (RC) (ingl. Branch and Cut) 1. obtener una cota y una solución de PL por relajación 2. buscar un plano de corte r de la relajación 3. añadir r en el PL 4. resolver el PL modificado, que ya tiene región factible más limitada por la introducción de r Iterar los pasos (2) y (3) hasta que se encuentre una solución entera o resulta difícil (imposible o lento) encontrar otro plano de corte. Cuando ya no se puede iterar, se hace un paso de ramificación normal.

18 A CONTINUACIÓN... Teoría de colaboración.