Programación Lineal Entera. Programación Entera

Transcripción

1 Programación Lineal Entera PE Programación Entera Modelo matemático, es el problema de programación lineal Restricción adicional de variables con valores enteros. Programación entera mita Algunas variables con valores enteros Programación entera binaria Solo variables binarias

2 Método de Ramificación y Acotamiento Un problema acotado de PEB, tiene un número finito de soluciones. Necesario eaminar sólo una fracción de las soluciones factibles. Divide y vencerás. Acotamiento de la solución y eliminación (sondeo) de los subconuntos de problema cuya cota no sea meor que la cota original. Eemplo: Ramificación y Acotamiento Modelo de programación entera binaria Maimizar Z = 9 es entero, para =,,,.

3 Eemplo: Ramificación y Acotamiento Se relaa el problema original como un problema de PL. Se obtiene la cota inicial. 9 Z Maimizar = Se aplica SIMPLEX y se obtiene la solución óptima: (,,, ) = (/,,, ) con Z = ½. Para el problema original de PEB Z ½. Como los coeficientes de la función obetivo son enteros Z debe de dar un valor entero. Cota inicial es: Z. Eemplo: Ramificación y Acotamiento Primera iteración del algoritmo. PEB. Se fia el valor de una variables =, para un subconunto =, para el otro subconunto Se obtiene las cotas para los sub-problemas generados relaando estos como PL. Z Maimizar = 9 Z Maimizar = Sub-problema : ( = ). Sub-problema : ( = ). Se aplica SIMPLEX y se obtiene la solución óptima de cada sub-problema. Sub: (,,, ) = (,,, ) con Z = 9. Sub: (,,, ) = (, /,, /) con Z = /.

4 Eemplo: Ramificación y Acotamiento Primera iteración del algoritmo Las cotas obtenidas para cada sub-problema son: Sub: Z 9 Sub: Z 9 (,,,) (/,,,) (,/,,/) Eemplo: Ramificación y Acotamiento Pasos para cada iteración: Ramificación: Entre los sub-problemas restantes (no sondeados), se elige el de creación más reciente. (Los empates se rompen con el que tenga la meor cota) Se ramifica el nodo en ese sub-problema, fiando la siguiente variable. Acotamiento: Cada sub-problema se relaa a PL y acota con simple redondeando hacia abao el valor de Z. Sondeo: En cada nuevo sub-problema, se aplican las tres pruebas de sondeo y se descarta el que cumpla cualquier prueba de sondeo.

5 Eemplo: Ramificación y Acotamiento Pruebas de sondeo (eliminación) de un subproblema: Prueba : cota Z* (solución de apoyo actual) Prueba : El sub-problema relaado como PL no tiene soluciones factibles. Prueba : La solución óptima del sub-problema relaado como PL es entera. Si es meor que Z* se convierte en la nueva Z* y se aplica de nuevo la prueba, a todos los sub-problemas no sondeados con la nueva z*. Eemplo: Ramificación y Acotamiento Primera iteración del algoritmo Al aplicar las tres pruebas de sondeo a los dos subproblemas y. El Sub se sondeo por la prueba, S(): S() Z* = 9 (,,,) (/,,,) (,/,,/)

6 Eemplo: Ramificación y Acotamiento Segunda iteración del algoritmo con =. PEB. Se fia el valor de otra variables =, para un subconunto =, para el otro subconunto Se obtiene las cotas para los sub-problemas generados del sub, relaando estos como PL. Sub-problema : ( =, = ). Sub-problema : ( =, = ). Maimizar Z = 9 Maimizar Z = Se aplica SIMPLEX y se obtiene la solución óptima de cada sub-problema. Sub: (,,, ) = (,, /, ) con Z =, /. Sub: (,,, ) = (,,, /) con Z = /. Eemplo: Ramificación y Acotamiento Segunda iteración del algoritmo Las cotas obtenidas para cada sub-problema son: Sub: Z Sub: Z Ambos problemas quedan sin sondear. El sub tiene una cota más grande que el sub S() (/,,,) Z*= 9 (,,,) (,/,,/) (,,/,) (,,,/)

7 Eemplo: Ramificación y Acotamiento Tercera iteración del algoritmo con =, =. PEB. Se fia el valor de otra variables =, para un subconunto =, para el otro subconunto Se obtiene las cotas para los sub-problemas generados del sub, relaando estos como PL. Sub-problema : ( =, =, = ). Sub-problema : ( =, =, = ). Maimizar Z = Maimizar Z = Se aplica SIMPLEX y se obtiene la solución óptima de cada sub-problema. Sub: (,,, ) = (,,, /) con Z =. Sub: No hay solución factible. Eemplo: Ramificación y Acotamiento Tercera iteración del algoritmo Las cotas obtenidas para cada sub-problema son: Sub: Z Sub: No hay solución factible Los sub-problemas de los nodos (,) y (,,) permanecen bao consideración, pero el último es de creación más reciente, por lo que se selecciona para ramificar. Z*= 9 S() (,,,) (/,,,) (,/,,/) (,,/,) (,,,/) S() (,,,/) 7

8 Eemplo: Ramificación y Acotamiento Cuarta iteración del algoritmo con =, =, =. PEB. Se fia el valor de otra variables =, para un subconunto =, para el otro subconunto Se obtiene las cotas para los sub-problemas generados del sub, relaando estos como PL. Sub-problema 7: ( =, =, =, =). Sub-problema 8: ( =, =, =, =). Se aplica SIMPLEX y se obtiene la solución óptima de cada sub-problema. Sub7: (,,, ) = (,,, ) con Z =. Sub8: No hay solución factible. Eemplo: Ramificación y Acotamiento Cuarta iteración del algoritmo Las cotas obtenidas para cada sub-problema son: Sub7: Z Sub8: No hay solución factible Aplicando las pruebas de sondeo, la Sub7 pasa la prueba y la sub8 pasa la prueba. La solución factible en sub7 es meor que la de apoyo Z* = 9, por lo que la nueva Z* =. Se aplica la prueba de sondeo con Z* a los sub-problemas sin sondear. Sub cota = Z* =, este sub queda sondeado por la prueba. (/,,,) S() S() Z*= 9 S() (,,,) Z* = (,,,) S() (,,/,) (,,,/) (,/,,/) S() (,,,/) 8