El Problema del Transporte

Transcripción

1 ASIGNATURA PROGRAMACIÓN LINEAL El Problema del Transporte Maestro Ing. Julio Rito Vargas Avilés Octubre

2 Problema de Transporte Es un caso especial de problema de programación lineal (PPL), para el cual se ha desarrollado una versión distinta del método Simplex. 2

3 Principales características Suponga que se dispone de n fábricas y de m centros de consumo, ambos localizados en distintos puntos. Cada fábrica i posee una capacidad de producción O i, y cada centro de consumo j posee una demanda D j. El costo de producir una unidad en la fábrica i es de CP i, y el costo de transportar cada unidad desde la fábrica i al centro de consumo j es de CT ij. El problema es determinar la cantidad a producir en cada fábrica y las cantidades a transportar, al mínimo costo. Luego x ij es la cantidad a producir en la fábrica i para ser llevado al centro de consumo j. 3

4 Red de distribución Fábrica RAAN Centro de consumo RAAS 4

5 RED DE TRANSPORTE 5

6 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 OF F F F F DEM

7 7

8 Modelo de Programación Lineal Se utilizará el siguiente modelo de programación lineal (PPL) MIN costo = s.a. n i1 m j1 x ij D j x ij O i n i1 m j1 (CPi x ij CTij x ij) Se satisface toda la Demanda No se puede producir más allá de la capacidad de la fábrica. x ij 0 con i:1.. n y j:1..m 8

9 Modelo de Programación Lineal Suponiendo que: m j1 D j y reemplazando C ij =CP i +CT ij queda el siguiente modelo: n i1 O i Cap. de Producción igual a la Demanda. MIN costo = s.a. x ij 0 n i1 m j1 n i1 x ij D j x ij O i m j1 C ij x ij con i:1.. n y j:1..m 9

10 Modelo de Programación Lineal Si m j1 D j n i1 O i Cap. de Prod. mayor a la demanda. entonces se genera un nuevo centro de consumo ficticio. Lo que consuma ese centro no es real, por tanto queda como capacidad de producción ociosa. D F n i1 O i m j1 D j 10

11 Modelo de Programación Lineal Si m j1 D j n i1 O i Cap. de Producción menor a la Demanda. entonces se genera una nueva fábrica ficticia. Lo que produzca esa fábrica no es real. Por tanto queda como demanda insatisfecha. O F m j1 D j n i1 O i 11

12 Modelo de Programación Lineal Ejemplo: Suponga que se dispone de 3 bodegas con capacidades de 15,000, 25,000 y 5,000 unidades. Por otra parte, se tienen 4 centros de consumo con demandas de 5000, 15,000, 15,000, y 10,000 unidades respectivamente. Encuentre las cantidades óptimas a producir y transportar, tal de minimizar los costos que se muestran a continuación: C1 C2 C3 C4 Bodega B B B Dem

13 C1 C2 C3 C4 Bodega B1 10 X11 0 X12 20 X13 11 X B2 12 X21 7 X22 9 X23 20 X B3 0 X31 4 X32 16 X33 18 X Demanda

14 Min z = 10X X X X X X X X X X X X 34 Sujeto a: Ecuaciones de Oferta: X 11 + X 12 + X 13 + X 14 =15,000 X 21 + X 22 + X 23 + X 24 = 25,000 Bodega 1 Bodega 2 Ecuaciones de Demanda: X 31 + X 32 + X 33 + X 34 = 5,000 Bodega 3 X 11 + X 21 + X 31 =5,000 X 12 + X 22 + X 32 =15,000 X 13 + X 23 + X 33 =15,000 X 14 + X 24 + X 34 =10,000 X ij 0 i=1..3; j=

15 Solución usando Módulo de PL de POM-QM Variable X11 X12 X13 X14 X21 X22 X23 X24 X31 X32 X33 X34 Optimal Value (Z) Value ,000 15

16 Usando Módulo de Transporte POM-QM 16

17 Solución factible inicial Al igual que en el método Simplex tradicional, el problema de transporte requiere partir de una solución inicial factible. Para ello se necesita asignar las cantidades x ij de manera de cumplir con las restricciones. Para ello existen al menos 4 posibilidades: Método de la esquina Noroeste. Método de Vogel. MODELO DE COSTO MÍNIMO Método Simplex Programación Lineal 17

18 Método de la esquina Noroeste Este método no considera los costos, por eso puede que su solución quede alejada del óptimo. Consiste en asignar la máxima cantidad factible al casillero superior izquierdo que no posea ninguna asignación o marca. La cantidad a asignar es el mínimo entre la oferta disponible y la demanda en dicho momento. Hecha la asignación, se descuenta la cantidad tanto a la oferta como a la demanda. Con esto, una de las dos quedará en cero (fila o columna). Por tanto se marcan todos los casilleros vacíos de ella. 18

19 Método de la esquina Noroeste Ejemplo: C1 C2 C3 C4 O B1 B B D C=410 19

20 Método de la esquina Noroeste En caso de que al realizar una asignación simultáneamente ambas se hagan cero (fila y columna), entonces se asigna una nueva variable con valor cero en el casillero de la fila o columna que tenga un menor costo. Se producen entonces 2 asignaciones: Una con el valor mínimo y la otra con cero. Esto se debe a que el sistema debe tener n+m-1 variables básicas definidas. Esto se muestra en el siguiente ejemplo: 20

21 Método de la esquina Noroeste Ejemplo 2: O D C=

22 Método de Aproximación a Vogel Este método si considera los costos, por tanto entrega una mejor solución factible inicial que la esquina noroeste. El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 3 pasos fundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la culminación del método. PASO 1 Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas. PASO 2 Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la resta realizada en el "Paso 1" se debe escoger el número mayor. En caso de haber empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal). 22

23 Método Aproximación a Vogel PASO 3 De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de empate solo se tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a cero (0). PASO 4: DE CICLO Y EXCEPCIONES - Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda, detenerse. - Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva, determine las variables básicas en la fila o columna con el método de costos mínimos, detenerse. - Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda, determine las variables básicas cero por el método del costo mínimo, detenerse. - Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que las 23 ofertas y las demandas se hayan agotado.

24 Ejemplo: Método de Aproximación a Vogel EL PROBLEMA Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente. 24

25 Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla. Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte. 25

26 SOLUCIÓN PASO A PASO Paso 1: determinar las medidas de penalización y consignarlas en la tabla de costos, tal como se muestra a continuación. 26

27 Paso 2: escoger la fila o columna con la mayor penalización: Paso 3: escoger de esta columna el menor valor, y se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos observar como el menor costo es "2" y que a esa celda se le pueden asignar como máximo 60 unidades "que es la capacidad de la planta 3". 27

28 Dado que la fila de la "Planta 3" ya ha asignado toda su capacidad (60 unidades) esta debe desaparecer. Se ha llegado al final del ciclo, por ende se repite el proceso 28

29 Iniciamos una nueva iteración: 29

30 30

31 Iniciamos una nueva iteración 31

32 Iniciamos una nueva iteración 32

33 Iniciamos una nueva iteración 6 33

34 Al finalizar esta iteración podemos observar como la tabla queda una fila sin tachar y con valores positivos, por ende asignamos las variables básicas y hemos concluido el método. 34

35 35

36 Los costos asociados a la distribución son: Costo = 5*25 + 2*40 + 7*10 + 3*5 + 1*30 + 2*60 + 4*45 = = $620 36