El Problema de Transporte

Transcripción

1 El Problema de Transporte INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I Maestro Ing. Julio Rito Vargas Avilés Octubre 2008

2 Problema de Transporte Es un caso especial de problema de programación lineal (PPL), para el cual se ha desarrollado una versión distinta del método Simplex. 2

3 Principales características Suponga que se dispone de n fábricas y de m centros de consumo, ambos localizados en distintos puntos. Cada fábrica i posee una capacidad de producción O i, y cada centro de consumo j posee una demanda D j. El costo de producir una unidad en la fábrica i es de CP i, y el costo de transportar cada unidad desde la fábrica i al centro de consumo j es de CT ij. El problema es determinar la cantidad a producir en cada fábrica y las cantidades a transportar, al mínimo costo. Luego x ij es la cantidad a producir en la fábrica i para ser llevado al centro de consumo j. 3

4 Red de distribución Fábrica RAAN Centro de consumo RAAS 4

5 RED DE TRANSPORTE 5

6 Modelo de Programación Lineal Se utilizará el siguiente modelo de programación lineal (PPL) MIN costo = s.a. n i m j x ij D j x ij O i n i m j (CPi xij CTij xij) Se satisface toda la Demanda No se puede producir más allá de la capacidad de la fábrica. x ij 0 con i:.. n y j:..m 6

7 Modelo de Programación Lineal Suponiendo que: m j D j n i O i Cap. de Prod. igual a la Dda. y reemplazando C ij =CP i +CT ij queda el siguiente modelo: MIN costo = s.a. n i m j x ij 0 n i x ij D j x ij O i m j C ij x ij con i:.. n y j:..m 7

8 8 Modelo de Programación Lineal Si n i m j j i F D O D entonces se genera un nuevo centro de consumo ficticio. Lo que consuma ese centro no es real, por tanto queda como capacidad de producción ociosa. n i i m j j O D Cap. de Prod. mayor a la Dda.

9 9 Modelo de Programación Lineal Si n i i m j j F O D O entonces se genera una nueva fábrica ficticia. Lo que produzca esa fábrica no es real. Por tanto queda como demanda insatisfecha. n i i m j j O D Cap. de Prod. menor a la Dda.

10 Modelo de Programación Lineal Ejemplo: Suponga que se dispone de 3 bodegas con capacidades de 5000, y 5000 unidades. Por otra parte, se tienen 4 centros de consumo con demandas de 5000, 5000, 5000, y 0000 unidades respectivamente. Encuentre las cantidades óptimas a producir y transportar, tal de minimizar los costos que se muestran a continuación:

11 Procedimiento Para trabajar se utiliza la siguiente tabla: 2... m O i u i h c h 2 c 2 h m c m... O u x x 2 x m h 2 c 2 h 22 c 22 h 2m c 2m 2... O 2 u 2 x 2 x 22 x 2m n h n c n h n2 c n2 h nm c nm... O n u n x n x n2 x nm D j D D 2... D m v j v v 2... v m

12 Solución factible inicial Al igual que en el método Simplex tradicional, el problema de transporte requiere partir de una solución inicial factible. Para ello se necesita asignar las cantidades x ij de manera de cumplir con las restricciones. Para ello existen al menos 3 posibilidades: Solución por tanteo. Método de la esquina Noroeste. Método de Vogel. 2

13 Método de la esquina Noroeste Este método no considera los costos, por eso puede que su solución quede alejada del óptimo. Consiste en asignar la máxima cantidad factible al casillero superior izquierdo que no posea ninguna asignación o marca. La cantidad a asignar es el mínimo entre la oferta disponible y la demanda en dicho momento. Hecha la asignación, se descuenta la cantidad tanto a la oferta como a la demanda. Con esto, una de las dos quedará en cero (fila o columna). Por tanto se marcan todos los casilleros vacíos de ella. 3

14 Método de la esquina Noroeste Ejemplo: O D C=40 4

15 Método de la esquina Noroeste En caso de que al realizar una asignación simultáneamente ambas se hagan cero (fila y columna), entonces se asigna una nueva variable con valor cero en el casillero de la fila o columna que tenga un menor costo. Se producen entonces 2 asignaciones: Una con el valor mínimo y la otra con cero. Esto se debe a que el sistema debe tener n+m- variables básicas definidas. Esto se muestra en el siguiente ejemplo: 5

16 Método de la esquina Noroeste Ejemplo 2: O D

17 Método de Vogel Este método si considera los costos, por tanto entrega una mejor solución factible inicial que la esquina noroeste. Consiste en: para cada fila y columna se calcula la diferencia entre el mayor y el menor costo de los casilleros sin marcar. Calculada la diferencia, se selecciona la fila o columna de mayor valor, en donde se le asigna la máxima cantidad factible a su casillero de menor costo que no posea ninguna asignación o marca. Luego, se actualizan las cantidades disponibles. Hecha la asignación, se descuenta la cantidad de forma similar al método de la esquina noroeste. En caso que la fila y columna se hagan cero, se hace lo mismo que en el método anterior. 7

18 Método de Vogel Ejemplo: O D C=335 8

19 Simplex de Transporte Paso Se encuentra una solución factible inicial O D C=40 9

20 Simplex de Transporte Paso 2 Se determinan los valores de los u i y de los v j. Se plantean n+m- ecuaciones con n+m incógnitas, por lo que a una de ellas se le hace valer cero arbitrariamente, y se resuelve el sistema O u i u u u 3 D v j v v 2 v 3 v 4 C=40 u +v =0 u +v 2 =0 u 2 +v 2 =7 u 2 +v 3 =9 u 2 +v 4 =20 u 3 +v 4 =8 20

21 Simplex de Transporte Paso 3 Se determinan los hij para ver la variable que entra. Para todos los x ij se tiene que h ij =c ij -(u i +v j ). Si x ij es variable básica, entonces h ij = 0 y c ij =u i +v j O u i D v j C=40 u +v =0 u +v 2 =0 u 2 +v 2 =7 u 2 +v 3 =9 u 2 +v 4 =20 u 3 +v 4 =8 2

22 Simplex de Transporte Paso 4 Entra la variable con el h ij más negativo. Si no existe ningún negativo, se llegó al óptimo. Con la variable entrante se forma un circuíto. Entra O u i D v j C=40 22

23 Simplex de Transporte Paso 5 Se determina la variable que sale de entre los xij que presentan un -. Se escoge el de menor valor, y en caso de empate se elige el de mayor costo. toma el valor del xij que sale O u i D v j C=40 =5 Sale 23

24 Simplex de Transporte Paso 6 Se actualizan los valores de los xij sumando o restando en los casos que corresponda y se recalcula el costo. Se vuelve al paso O u i D v j C=335 24