ESCUELA DE CIENCIAS CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA PROGRAMACION LINEAL Act No. 8. LECTURA LECCION EVALUATIVA 2

Transcripción

1 INTRODUCCION AL METODO GRAFICO Antes de entrarnos por completo en los métodos analíticos de la investigación de operaciones es muy conveniente ver un poco acerca de las desigualdades de una ecuación lineal. Por ejemplo tenemos la ecuación 2X + 3Y = 60 en donde X, Y >= 0 Es decir que para que se cumpla la igualdad de la ecuación nos tocaría adquirir 15 unidades de X y 10 unidades de Y respectiva mente: 2(15) + 3(10) = 60 Y la solución se daría por la misma línea recta. Pero por otra parte si en la ecuación no se quiere llegar a la totalidad del resultado se dará la ecuación en una forma diferente llamada inecuación: 2X + 3Y <= 60 en donde X, Y >= 0 Dándose como solución factible un área sombreada que depende del signo de la desigualdad. Si el signo es el <= la solución será el área inferior esa se sombreará 1

2 o si por el contrario el sigo es >= el área a sombrear será la de todos los puntos por encima de la línea obtenida. En la anterior grafica la solución más factible es la de los puntos más cerca del eje X (bajo la recta de la solución lineal ya que la ecuación es precedida por el signo >=. DEFINICION Y CONCEPTO GENERAL DE METODO GRAFICO Ahora se considerara la forma en que se pueden resolver problemas de tipo lineal, en donde la función dada se tendrá que maximizar o minimizar. Una función lineal en x y y tiene la forma: Z = ax + by Donde a y b son constantes. También se requerirá que las restricciones correspondientes estén representadas mediante un sistema de desigualdades lineales o ecuaciones en x y en y y que todas las variables sean no negativas. A un problema en el que intervienen todas estas condiciones se le denomina problema de programación lineal. La programación lineal fue desarrollada por George B. danzing a fines de la década de 1940 y se utilizo primero en la fuerza aérea de losa estados unidos 2

3 como auxiliar en la toma de decisiones. En la actualidad tiene amplia aplicación en el análisis industrial y económico. En un problema de programación lineal a la función que se desea maximizar o minimizar se le denomina función objetivo. Aunque por lo general existe una cantidad infinitamente grande de soluciones para el sistema de restricciones (a las que se denomina soluciones factibles o puntos factibles), el objetivo consiste en encontrar una de esas soluciones que represente una solución óptima (es decir una solución que del valor máximo o mínimo de la fusión objetivo). En conclusión con lo que acabamos de revisar en la parte anterior sobre las inecuaciones nos da para definir literalmente el método grafico y el método algebraico dentro del ámbito de la programación lineal. Entonces el método grafico en la programación lineal es simplemente sacar de una situación (problema) ecuaciones lineales y convertirlas en desigualdades o inecuaciones para poder graficarlas y así sacar la región mas optima dependiendo del signo de la desigualdad esa área se sombreara y esa será la solución mas optima del problema. PASOS PARA LA SOLUCION POR EL METODO GRAFICO Para llegar a una solución óptima en el método grafico se requiere seguir con una serie de pasos que podemos dar a continuación: 1. formulación del problema El primer paso para la resolución por método grafico es expresar el problema en términos matemáticos en el formato general de la programación lineal (desigualdades) con un solo fin maximizar la contribución a la ganancia. 2. graficar las restricciones El próximo paso de la solución por método grafico es la graficación de las restricciones en el plano cartesiano para establecer todas las posibles soluciones.3. obtención de la solución optima: 3

4 para encontrar la solución óptima, se grafica la función objetivo en la misma gráfica de las restricciones. Se graficara siempre la función objetivo del problema y se dará la solución de acuerdo con el símbolo que este presente en las restricción de la función objetivo. EJEMPLO: Maximizar la función objetivo: Z= 3x + y Sujeto a las restricciones: 2x + y <= 8 2x + 3y <= 12 x, y >= 0 A continuación graficamos las desigualdades planteadas en las restricciones así: 2x + y <= 8 x=0; y=8 x=0; x=4 2x + 3y <= 12 x=0; y=4 y=0; x=6 x, y>= 0 4

5 Se observa que la región factible esta conformada por los puntos A(0,0); D(0,4); B(4,0) y el punto C que es el resultado de la intersección de las 2 inecuaciones cuyo valor aproximadamente en el plano esta dado por las coordenadas (3,2). Ahora bien el problema solicita la maximización de Z = 3x + y que se obtiene precisamente en el punto C(3,2). METODO ALGEBRAICO INTRODUCCIÓN En ocasiones nos encontramos con problemas de índole magnitud, a los cuales se desea maximizar o minimizar una función sujeta a ciertas restricciones. Muchas personas califican al método algebraico, como uno de los métodos más importantes en el campo de la programación lineal. En la actualidad es una herramienta común, que se ha prestado para resolver problemas de gran magnitud; por su simplicidad, sencillez y estilo de uso cientos de empresas, compañías de todo el mundo han ahorrado miles y miles de pesos. 5

6 En este capitulo se tratara la formulación de problemas utilizando el método algebraico para la solución de problemas de programación lineal. Se hace un enfoque a la variedad de aplicaciones del método para que el estudiante interesado pueda tener una visión y ejercitar sus conocimientos. El método algebraico contempla en su desarrollo al método grafico y de la misma manera el método grafico no estaría completo sin la rigurosidad del método algebraico pues la apreciación visual que da el grafico en la solución óptima puede estar sujeta a error por parte del analista. PASOS PARA UTILIZAR EL METODO ALGEBRAICO Dado que tenemos un problema de dos variables, podemos graficar las soluciones posibles y comprender algunos puntos interesantes respecto a las relaciones lineales. Veremos la siguiente manera de obtener gráficamente las soluciones al problema planteado y luego veremos como obtenerlas algebraicamente. 1. Exprésense los datos del problema como una función objetivo y restricciones. 2. Graficar las restricciones. 3. Definir el conjunto factible. 4. Encontrar la solución óptima EJEMPLOS DESARROLLADOS A continuación se presentan el análisis algebraico y grafico de algunos problemas de programación lineal: PROBLEMA 1: Supóngase una compañía fabrica 2 tipos de artefactos, manuales y eléctricos. Cada uno de ellos requiere en su fabricación el uso de 3 maquinas: A, B y C. un artefacto manual requiere del empleo de la maquina A durante 2 horas, de una 1 en B y una 1 en C, un artefacto eléctrico requiere de 1 hora en A, 2 horas en B y 1 hora en C. supóngase además que el numero máximo de horas disponible por 6

7 mes para el uso de las tres maquinas es 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad que se obtiene con los artefactos manuales es de 4000 pesos y de 6000 pesos para los eléctricos. Si la compañía vende todos los artefactos que fábrica, Cuántos de ellos de cada tipo se deben elaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual? A B C UTILIDAD MANUALES(X) ELECTRICOS(Y) HORAS DISPONIBLES SOLUCIÓN: 1.Paso: Planteamos la función objetivo y las restricciones correspondientes: MAX Z= 4000X Y SUJETO A: 2X + Y <= 180 X + 2Y <= 160 X + Y <= Paso: Elaboramos el gráfico correspondiente a las restricciones con el fin de precisar la región factible y determinar los puntos que la conforman: 2X + Y <= 180 X=0 Y= 180 Y=0 X= 90 X + 2Y <= 160 X=0 Y=80 Y=0 X=160 X + Y <= 100 X=0 Y=100 Y=0 X=100 7

8 3. Paso: Resolvemos el sistema de ecuaciones para determinar las coordenadas del punto B y C así: Para B: X + 2Y <= 160 Para C: 2X + Y <= 180 X + Y <= 100 Y= 60 X = 80 X= 40 Y = 20 4.Paso: Con los puntos de la región factible: O(0,0) ; B(40,60) ; C(80,20) ; A(0,80); D(90,0) Maximizamos la función objetivo : MAX Z = 4000x y (0,0) 4000(0) (0) = 0 (0,80) 4000(0) (80) = (40,60) 4000(40) (60)= (90,0) 4000(90) (0) = Paso: La solución para el problema está representada por la fabricación de 40 artefactos manuales y 60 artefactos eléctricos generando una máxima utilidad de $ METODO SIMPLEX 8

9 En las lecciones anteriores vimos como resolver problemas de programación lineal a través del método grafico y el método algebraico, surgen grandes limitaciones a la hora de trabajar con estos dos métodos, es decir que no es posible darle óptima solución a un problema. Esto se debe a que el método grafico no resulta práctico cuando el número de variables se aumenta a tres, y con más variables resulta imposible de utilizar. Por otra parte el método algebraico tarda demasiado tiempo aun para problemas de pocas variables y restricciones. El mejor método para resolver un problema de programación lineal es el método simplex, ya que es un método de fácil aplicación, de tipo algorítmico y conduce a una eficiente solución del problema. PASOS PARA EL DESARROLLO DEL METODO SIMPLEX Elaborar la tabla simplex inicial. Existen cuatro variables de holgura, S1, S2, S3, y S4; una para cada restricción. 1. Si todos lo indicadores del último renglón son no negativos, entonces Z tiene un máximo cuando X1=0, X2=0 y X3=0. El valor máximo es 0. Si existen indicadores negativos, localizar la columna en la que aparezca el indicador más negativo. Esta columna señala la variable entrante. 2. Dividir cada uno de los elementos de la columna de b que se encuentran por encima de la recta punteada entre el correspondiente elemento de la columna de 9

10 la variable entrante. Se debe realizar esta división solo en los casos en los que el elemento de la variable que entra sea positivo. 3. Encerrar en un círculo el elemento de la columna de la variable entrante que corresponde al menor cociente del paso 3. Este es un elemento pivote. La variable saliente es la que se encuentra al lado izquierdo del renglón del elemento pivote. 4. Utilizar operaciones elementales sobre renglones para transformar la tabla en otra tabla equivalente que tenga un 1 en donde se encuentra el elemento pivote y 0 en las demás posiciones de esa columna. 5. La variable entrante debe reemplazar a la variable saliente en el lado izquierdo de esta nueva tabla. 6. Si todos los indicadores de la tabla nueva son no negativos, ya se tiene una solución óptima. El valor máximo de Z es el elemento del último renglón y la última columna. Ocurre esto cuando las variables se encuentran del lado izquierdo de la tabla son iguales a lo elementos correspondiente de la última columna. Todas las demás variables son ceros. Si cuando menos uno de los indicadores es negativo, se debe repetir el mismo proceso con la nueva tabla, comenzando con el paso 2. EJEMPLOS DESARROLLADOS EJEMPLO 1 Maximizar Z= 5X1+4X2 Sujeto a: X1+X2 <= 20 2X1+X2 <= 35-3X1+X2 <= 12 X1>=0, X2>=0 Este problema de programación lineal se ajusta a la forma normal. La tabla simplex inicial es: 10

11 El indicador mas negativo, -5, aparece en la columna x1. Por ello, x1 es la variable entrante. El menor cociente es 17.5, de modo que, S2 es la variable saliente. El elemento pivote es 2. Utilizando operaciones elementales sobre los renglones para obtener un 1 en la posición del pivote y 0 en las demás posiciones de esa columna, se tienen: La nueva tabla es: 11

12 Obsérvese que en el lado izquierdo, x1 reemplazó a S2. Ya que -3/2 es el indicador más negativo se debe continuar con el proceso. La variable entrante es ahora x2. El menor cociente es 5. De modo que S1 es la variable saliente y ½ es el elemento pivote. Utilizando operaciones elementales sobre renglones, se tiene: Usted podrá encontrar mas ejemplos desarrollados en el modulo. 12