UNIDAD 4: PROGRAMACIÓN LINEAL

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Juan Nieto Villanueva
hace 6 años
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1 UNIDD 4: PROGRMCIÓN LINEL Introducción Inecuaciones lineales con dos incógnitas Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas Programación lineal INTRODUCCIÓN Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen incógnitas. Ej. ) x + 3 > 6. Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas que hacen cierta la desigualdad. Ej. ) x + 3 > 6. Solución: x > 3 Inecuaciones lineales con una incógnita ( 3, + ) Son aquellas en las que intervienen polinomios de 1er grado con una incógnita. Se resuelven igual que las ecuaciones, con la siguiente salvedad: si los dos miembros de una inecuación se multiplican (o dividen) por un mismo número negativo, la inecuación cambia de sentido. Ej. ) 2x 8 8 2x 8 x x 4 ó x 2 (, 4] Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita Son los formados por 2 ó más inecuaciones lineales con una incógnita. La solución viene dada por el conjunto de números reales que verifican, a la vez, todas las inecuaciones. Para llegar a la solución del sistema, se resuelven por separado cada una de las inecuaciones y se toman las soluciones comunes (es decir, hay que ver qué números están simultáneamente en todas las soluciones) Ej. ) 4x 6 > x 3 2x 3 x + 2 4x x > x x x > 3 x x > Solución del sistema: ( 1, ] -1-

2 INECUCIONES LINELES CON DOS INCÓGNITS Son aquellas en las que intervienen polinomios de 1er grado con dos incógnitas. La solución es un semiplano, cuyos Forma general: puntos verifican la inecuación. La frontera del semiplano viene < dada por la recta: ax + by + c. ax + by + c 0 Ej. ) x + y 4 > Representamos la recta frontera, dando valores:, y = 4 x + y = 4 = 4, y Para saber cuál es el semiplano de la solución, probamos con un punto cualquiera (que no esté en la frontera) y vemos si cumple (0,0) la inecuación. La frontera se incluye en la solución si el signo de la inecuación contempla la igualdad (, ), es decir, si la inecuación no es estricta. En nuestro caso, el punto (0,0) satisface la inecuación; además, la frontera pertenece a la solución (en la figura, semiplano sombreado). SISTEMS DE INECUCIONES LINELES CON DOS INCÓGNITS Son los formados por 2 ó más inecuaciones lineales con dos incógnitas. La solución viene dada por la región del plano cuyos puntos verifican, a la vez, todas las inecuaciones (región factible). Para llegar a la solución del sistema, se resuelven por separado cada una de las inecuaciones y se toma la intersección de las soluciones (zonas comunes del plano). Un sistema puede tener, o no, solución. Cuando la solución es una región finita (acotada), sus puntos están encerrados en un polígono convexo (es decir, para dos puntos cualesquiera del interior, el segmento que los une también está contenido todo él en su interior) Polígono convexo Polígono no convexo 2x y > 2 Ej.). 3x + y < 0, y = 2 Fronteras: 2x y = 2 = 1, y, y 3x +y = 1, y = 3 ; 2x y = 2 (0,0) no es solución 3x + y (1,0) no es solución factible no acotada -2-

3 Ej.) 0. 0 Fronteras: x (eje de ordenadas) y (eje de abscisas) (fronteras incluidas en la solución) factible no acotada 2x + 3y < 6 Ej.) x > 0. > 0, y = 2 Fronteras: 2x + 3y = 6 = 3, y x (eje de ordenadas) y (eje de abscisas) factible acotada. Solución en polígono convexo PROGRMCIÓN LINEL Es un conjunto de técnicas que pretende optimizar (hallar el máximo o el mínimo) una función lineal de varias variables, llamada función objetivo, sujeta a una serie de restricciones que vienen expresadas en forma de inecuaciones. Se considera al americano George ernard Dantzing como el precursor de esta rama matemática, ya que en 1947 formuló y desarrolló los algoritmos necesarios. Desde entonces, la programación lineal se ha utilizado en problemas concretos, como el de la dieta o el del transporte, y en numerosos problemas de planificación económica y social. En estos últimos, se trata de hallar la ganancia máxima o el coste mínimo cuando se dispone de unos recursos limitados o hay que cubrir unas necesidades mínimas. Ej.) (problema de la dieta) Un atleta debe tomar al día al menos doce vitaminas del tipo, cuatro del tipo y ocho del tipo C. Para ello, dispone de dos tipos de comprimidos, C 1 y C 2, que contienen las siguientes unidades de las citadas vitaminas: C C C Si cada comprimido C 1 cuesta 10 céntimos y cada comprimido C 2, céntimos, cuántos comprimidos de cada clase debe tomar al día para obtener las vitaminas indicadas al mínimo coste? Llamamos x, y al número de comprimidos C 1, C 2 (respectivamente). El programa lineal queda estructurado así: -3-

4 I. Función objetivo (en nuestro caso, hemos de hallar el mínimo coste): z = 10x + y II. Restricciones: 3x + 4y 12 (vitaminas tipo ) 2x + y 4 (vitaminas tipo ) 4x + 3y 8 (vitaminas tipo C) III. No negatividad: x 0, y 0 En general: Se llama programa lineal en dos variables al conjunto formado por: I, II y III Se llama solución factible o admisible a cualquier par (x,y) que satisface II y III. Todas las soluciones factibles configuran la región factible Se llama solución óptima a la solución factible que optimiza I (maximiza o minimiza, según el problema). Si existe, se encuentra en un vértice de la región factible (acotada o no). Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos del segmento que determinan (solución múltiple) Resolución de un programa lineal Se siguen los siguientes pasos para llegar a la solución óptima (si la hubiera): 1º. Se halla la región factible resolviendo el sistema de inecuaciones. Gráficamente, dicha región constará de un conjunto de vértices. 2º. Se determinan las coordenadas de los vértices hallando los puntos de corte de las rectas que confluyen en ellos. 3º. Se sustituyen las coordenadas de los vértices en la función objetivo. La solución óptima corresponde a las coordenadas del vértice que optimice la función objetivo. asándonos en los puntos anteriores, resolvamos el ejemplo de la dieta: C(0,4) 2x + y = 4 (4/,12/) (4,0) 3x 4x + 3y = 8 3x 4x + 3y = 8 2x + y = 4, y = 3 = 4, y, y = 8/ 3 = 2, y, y = 4 = 2, y -4-

5 Observamos que la región factible no está acotada hacia los valores crecientes de x e y, y no podemos encontrar un valor máximo para la función objetivo z = 10x + y. Sin embargo, sí podemos encontrar un valor mínimo en los vértices. Para saber las coordenadas de los mismos, hallamos los puntos de corte de las rectas correspondientes resolviendo el sistema asociado: : 3x = 12 / 3 = 4 : 3x 2x + y = 4 3x 8x 4y = y = 12 x = 4 x = 4 C : 2x + y = 4 = 4 Por último, sustituimos las coordenadas de los vértices en la función objetivo: z = 10x + y z z z C = = = 10 + = 20 = = 20 valores mínimos Como el problema alcanza el mínimo en dos vértices, tendrá infinitas soluciones que corresponderán al segmento que une esos dos puntos, es decir, el deportista podrá tomar cualquier combinación de comprimidos que cumpla la ecuación 2x + y = 4, con 0 x 4/; por ejemplo, 0 comprimidos del tipo C 1 y 4 del tipo C 2, 1/2 del tipo C 1 y 3 del tipo C 2, etc. En todas las soluciones, el gasto será de 20 céntimos. El método anterior es analítico. Para hallar la solución por el método gráfico, utilizaremos las rectas de ecuación 10x + y = k, donde k toma distintos valores; cuanto mayor sea k, mayor valor tiene la función objetivo. Estas rectas se denominan rectas de nivel. Dibujando la recta de nivel que pasa por el origen (k ) y desplazándola paralelamente, encontraremos el vértice o, en este caso, el lado en que la función alcanza el mínimo. 10x + y = 20 10x + y --

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