MATE EJERCICIOS DE PRACTICA

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María del Pilar Ponce Sosa
hace 9 años
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1 MATE EJERCICIOS DE PRACTICA TEMA: de inecuaciones polinómicas por factorización Instructora: Ana María Aparicio A. Hallar los puntos críticos de los siguientes polinomios. Los puntos críticos son los ceros del polinomio, es decir aquellos valores de x para los cuales el polinomio es igual a cero Igualamos el polinomio a cero: +4 5=0 Para que el polinomio dado sea cero por lo menos uno de sus factores debe ser cero, por lo tanto los ceros del polinomio se pueden determinar igualando cada factor del polinomio factorizado a cero y resolviendo para x las ecuaciones resultantes. +4=0 ó = 4 5=0 =5 Entonces los puntos críticos o ceros del polinomio son = 4, = =0 +4+1=0 Luego, +4=0 ó +1=0 = 4 = 1 Entonces los puntos críticos o ceros del polinomio son = 4, = 1

2 B. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones. El método de resolución usado a continuación toma ventaja del hecho de que el polinomio solo puede cambiar de signo en sus ceros (puntos críticos). Esto significa que cuando los ceros reales del polinomio se ponen en orden estos dividen a la recta real en intervalos en los cuales el polinomio no tendrá cambios de signo. 3. +>0 El polinomio 2+2 es el resultante de la factorización del polinomio 4 1. Si el polinomio no esta factorizado, realizar la factorización. 2. Se determinan los puntos críticos y se ordenan de menor a mayor: = 2, =2 3. Estos puntos críticos determinan intervalos en la recta real en los cuales se determinara el signo de cada factor del polinomio. Intervalos de prueba:, 2, 2,2,2, La prueba es: en qué intervalos se cumple que 2+2>0, es decir que el producto de ambos factores sea mayor que cero?. 4. Se toman valores arbitrarios para x en cada intervalo de prueba y se evalúan en los factores del polinomio. Se registra en una tabla el signo del resultado de las evaluaciones. 5. En la última fila de la tabla se realiza la multiplicación de los signos hallados. Para el intervalo, 2 podemos tomar x=-3 Evaluamos en los factores del polinomio y registramos el resultado en la tabla. 2= 3 2= 5 negativo +2= 3+2= 1 negativo Para el intervalo 2,2 podemos tomar x=0 2=0 2= 2 +2=0+2=2 negativo positivo Para el intervalo 2, podemos tomar x=3 2= 3 2=1 +2=3+2=5 positivo positivo

3 ,,, Entonces el conjunto solución es:, 2 U 2, Expresado de otra forma: x< 2 > Puntos críticos ordenados de menor a mayor: = 2,= 1 Intervalos de prueba:, 2, 2, 1, 1, La prueba es: en que intervalos se cumple que , es decir que el producto de ambos factores sea menor o igual que cero?. Para el intervalo, 2 podemos tomar x=-3 Para el intervalo 2, 1 podemos tomar x=-1.5 Para el intervalo 1, podemos tomar x=0,,, Entonces el conjunto solución es: [ 2, 1] Expresado de otra forma: 2 x Puntos críticos ordenados de menor a mayor: = 5,=3 Para el intervalo, 5 podemos tomar x=-6 Para el intervalo 5,3 podemos tomar x=0 Para el intervalo 3, podemos tomar x=4,,,

4 Entonces el conjunto solución es:, ] [3, Expresado de otra forma: < 5 > <0 Puntos críticos: = 2, =,=3 Para el intervalo, 2 podemos tomar x=-3 Para el intervalo 2, podemos tomar x=0 Para el intervalo,3 podemos tomar x=2 Para el intervalo 3, podemos tomar x=4,,,, Entonces el conjunto solución es:,, Expresado de otra forma: < 2 < < <0 Esta inecuación no tiene solución real, ya que el cuadrado de un número real siempre es mayor que cero <0 +2 8<0 x+4x 2<0 Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= 4, =2

5 Para el intervalo, 4 podemos tomar x=-5 Para el intervalo 4,2 podemos tomar x=0 Para el intervalo 2, podemos tomar x=5,,, ) Entonces el conjunto solución es:, Expresado de otra forma: < < >6 +4>6 4 x 6x+8>0 x 2x 4>0 Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x=2, =4 Para el intervalo,2 podemos tomar x=0 Para el intervalo 2,4 podemos tomar x=3 Para el intervalo 4, podemos tomar x=5,,, ) Entonces el conjunto solución es:,, Expresado de otra forma: < > Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x=1, =4

6 Para el intervalo,1 podemos tomar x=0 Para el intervalo 1,4 podemos tomar x=3 Para el intervalo 4, podemos tomar x=5,,, ) Entonces el conjunto solución es: [,] Expresado de otra forma: 11. >+ >+2 2> 0 2+1>0 Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= 1, =2 Para el intervalo, 1 podemos tomar x=-2 Para el intervalo 1,2 podemos tomar x=0 Para el intervalo 2, podemos tomar x=4,,, Entonces el conjunto solución es:,, Expresado de otra forma: < > < < < <0 Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= 2, =

7 Para el intervalo, 2 podemos tomar x=-4 Para el intervalo 2, podemos tomar x=0 Para el intervalo, podemos tomar x=1,,, Entonces el conjunto solución es:, Expresado de otra forma: << Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= 1, = Los intervalos de prueba son:, 1, 1,,, Entonces el conjunto solución es:,, Expresado de otra forma: < > 14. +< 3 +10< < > >0 Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x=, =5,,,5, 5, El conjunto solución es:, 5, Expresado de otra forma: < >

8 15. >4 >4 4>0 +2 2>0 aplicando diferencia de cuadrados Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= 2, =2, 2, 2,2, 2, El conjunto solución es:,, Expresado de otra forma: < > 16. >0 Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= 1, =2 Para el intervalo, 1 podemos tomar x=-2 Para el intervalo 1,2 podemos tomar x=0 Para el intervalo 2, podemos tomar x=3, 1 1,2 2, / Entonces el conjunto solución es:,, Expresado de otra forma: < > 17. < < < < < >0

9 Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= 1, =4 Para el intervalo, 1 podemos tomar x=-2 Para el intervalo 1,4 podemos tomar x=0 Para el intervalo 4, podemos tomar x=5, 1 1,4 4, / Entonces el conjunto solución es:,, Expresado de otra forma: < > Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= 4, =,=0, 4, 4,,,0,0, El conjunto solución es:,, [, Expresado de otra forma: 4<< <<0 Nota. Se excluyen los valores -4, porque esos valores harían cero el denominador generando así una indeterminación. 19.

10 1 >0 1 >0 1 <0 1+1 <0 Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= 1, =0,=1, 1, 1,0,0,1,1, El conjunto solución es:,, Expresado de otra forma: < 1 <<1 20. < Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= 3, = 2,=0,=3, 3, 3, 2, 2,0,0,3,3, El conjunto solución es:, ] [, Expresado de otra forma: < 2 <3 Nota. Se excluyen los valores -3, 3 porque esos valores harían cero el denominador generando así una indeterminación.

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